En x = 0 discontinua no evitable de salto infinito. • Asíntotas: ... Las funciones hiperbólicas se pueden desplazar horizontal o verticalmente y deformar, siendo la.
Cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Propiedades generales • Dominio: R • Recorrido: R • Continua en todo R Sí a>0 la función puede presentar dos gráficas distintas una con dos extremos relativos (máximo, mínimo) y un punto de inflexión entre ambos ó una gráfica con un punto de inflexión, pero sin extremos relativos.
Lím f ( x ) = −∞
Lím f ( x ) = +∞
x → −∞
x →+∞
Sí a0 la función puede presentar dos gráficas distintas una con tres extremos relativos (mínimo, máximo, mínimo) y dos puntos de inflexión, otra con un mínimo y sin puntos de inflexión.
Lím f ( x ) = +∞
Lím f ( x ) = +∞
x → −∞
x →+∞
Recorrido [ yo ,+∞ ) Sí a 1.
Creciente Lím f ( x ) = 0 Lím f ( x ) = +∞
x → −∞
x →+∞
Sí 0 < a < 1.
Decreciente Lím f ( x ) = +∞ Lím f ( x ) = 0
x → −∞
x → +∞
3
Logarítmica f(x) = Log a x Propiedades generales • Dominio (0 , +∞ ) • Recorrido R • Continua en todo su dominio de definición • Log a 1 = 0 ∀ a ≠ 0 Log a f + Log a g = Log a (f ⋅ g ) • •
f Log a f − Log a g = Log a g
• •
k ⋅ Log a f = Log a f k Log a f = Log a g ⇔ f = g
Sí a > 1.
Creciente Lím f ( x ) = −∞
x →0 +
Lím f ( x ) = +∞
x → +∞
Sí 0 < a < 1.
Decreciente Lím f ( x ) = +∞ Lím f ( x ) = −∞
x →0 +
x → +∞
4
Trigonométricas f(x) = sen x Propiedades generales • Dominio R • Recorrido [−1 , 1] • Continua en todo R • Periódica T = 2π • Simétrica impar
f(x) = cos x Propiedades generales • Dominio R • Recorrido [−1 , 1] • Continua en todo R • Periódica T = 2π • Simétrica par
f(x) = tg x Propiedades generales • • • • • •
{
}
Dominio R − π + πK , ∀ K ∈ Z 2 Recorrido R Discontinua no evitable de salto infinito en x = π + πK : ∀ K ∈ Z 2 Periódica T = π Simétrica impar Asíntotas verticales en x = π + πK : ∀ K ∈ Z 2
Sí x → −∞ : y = − π 2 Asíntotas horizontales: π Sí x → ∞ : y = 2
f(x) = | f (x) | (Valor absoluto).
− f (x ) f (x ) = f (x )
Si f (x ) < 0 Si f (x ) ≥ 0
7
Desplazamiento de funciones. Partiendo de una función elemental, se pueden hacer cambios en la expresión que supongan únicamente desplazamientos laterales o verticales.
Desplazamientos horizontales. Se producen cuando se hace el cambio de x por x ± a. •
Horizontal hacia la derecha.
•
Horizontal hacia la izquierda.
Desplazamientos verticales. Se producen cuando se suma o se resta una constante a la función. •
Vertical hacia arriba.
•
Vertical hacia abajo
.
8
Deformaciones. Las deformaciones se producen cuando se multiplica la función por un número. La deformación más clásica es cuando se multiplica por −1, la gráfica de la función gira en torno al eje OX.
