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Guía Matemática FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Y PARTE ENTERA ´ Melgarejo profesor: Nicolas
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1.
Contexto
En el diario vivir siempre estamos usando las funciones valor absoluto y parte entera, pero son tan comunes que no nos damos cuenta. Un taxista que cobra los viajes por tramos de distancia, la cuenta de la luz o los planes de telefon´ıa m´ ovil que cobran una tarifa fija cada minuto o fracci´on de conversaci´ on. En todos estos casos estamos usando la funci´ on parte entera. Por su parte el valor absoluto est´a relacionado con los conceptos f´ısicos de magnitud, distancia y norma.
2.
Valor absoluto
Anteriormente hablamos del valor absoluto | | de un n´ umero como una operaci´on en donde obten´ıamos su valor num´erico sin importar que ´este sea positivo o negativo, por ejemplo: |3| = 3 | − 3| = 3 | − 0, 5| = 0, 5 |0, 5| = 0, 5 En esta ocaci´ on estudiaremos la operaci´on valor absoluto como una funci´on f (x) = |x| : R −→ R+ que podemos definir as´ı: x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0
2.1.
Caracter´ısticas
Podemos notar que Rec(f (x) = |x|) = R+ , entonces el codominio es igual al recorrido y, por lo tanto, la funci´ on valor absoluto es epiyectiva. Por otro lado, fij´emonos que |3| = | − 3| = 3, de hecho para cualquier x se cumple que |x| = | − x|. Esto quiere decir que las preim´ agenes diferentes x y −x tienen una misma imagen. Por ejemplo: f (3) = |3| = 3 f (−3) = | − 3| = 3 f (−0, 5) = | − 0, 5| = 0, 5 f (0, 5) = |0, 5| = 0, 5 Con esta informaci´ on podr´ıamos concluir que f (x) = |x| no es inyectiva. Como es epiyectiva y no es inyectiva, la funci´ on valor absoluto no es biyectiva y, por lo tanto, no tiene funci´on inversa en el intervalo R −→ R+ , pero si acotamos el dominio a R+ la funci´on s´ı tiene inversa.
f (x) = |x| de R −→ R+ es epiyectiva y no es inyectiva, por lo que no tienen funci´on inversa. Pero f (x) = |x| de R+ −→ R+ es epiyectiva e inyectiva, por lo que tiene funci´on inversa.
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open green road 2.2.
Gr´ afica de la funci´ on |x|
Para hacernos una idea de la representaci´on gr´afica de f (x) = |x| podemos darnos una serie de puntos para ver la tendencia. x −15 −12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15
y 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 15
24 21 18 15 12 9 6 3 -18 -15 -12
-9
-6
-3
3
6
9
12
15
18
-3 -6 -9 -12
2.2.1.
Gr´ afica de f (x) = |x + a|
Veamos la gr´ afica del valor absoluto pero de una funci´on del tipo x + a para diferentes valores de a. La gr´afica de f (x) = |x + 3| es: 21 18 15 12 9 6 3
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-3
3
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3
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-3 -6
La gr´afica de f (x) = |x − 3| es: 21 18 15 12 9 6 3
-21
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-15
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-9
-6
-3 -3 -6
3
open green road En general podr´ıamos decir que la gr´ afica de la funci´on f (x) = |x + a| est´a formada por dos rectas que forman una “V” donde el v´ertice de la V est´a en la posici´on −a del eje x y corta al eje y en |a|. 2.2.2.
Gr´ afica de f (x) = |x| + a
Veamos algunos ejemplos para f (x) = |x| + a para diferentes valores de a. La gr´afica de f (x) = |x| + 6 es: 21 18 15 12 9 6 3
-21
-18
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-9
-6
-3
3
6
9
12
15
-3 -6
Notar que es igual a la gr´ afica de f (x) = |x| pero desplazada hacia arriba 6 unidades. La gr´afica de f (x) = |x| − 6 es: 21 18 15 12 9 6 3
-21
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-6
-3
3
6
9
12
15
-3 -6
Notar que es igual a la gr´ afica de f (x) = |x| pero desplazada hacia abajo 6 unidades.
Un buen consejo para hallar las gr´aficas de ´estas funciones es ver d´onde intersectan a los ejes y d´onde est´ a el punto m´as bajo de la funci´on.
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Parte entera bxc
3.
Es una funci´ on que toma cualquier n´ umero real x y nos devuelve el entero menor m´as pr´oximo a x. A este tipo1 de funci´ on parte entera tambi´en se le conoce como funci´ on piso o funci´on floor. Si lo miramos en la recta num´erica, lo que hace la funci´ on parte entera es devolver el entero m´as cercano de la izquierda. Veamos algunos ejemplos num´ericos para la parte entera.
3.1.
b2c = 2
b−2c = −2
b1, 1c = 1
b−1, 1c = −2
b1, 9c = 1
b−1, 9c = −2
b3, 5c = 3
b−3, 5c = −4
Caracter´ısticas
Es una funci´ on que va de R en Z, es f´ acil notar que la funci´on parte entera no es inyectiva, pero es epiyectiva, ya que el codominio es igual al recorrido, es decir, Rec(f (x) = bxc) = Z.
3.2.
Gr´ afica de la funci´ on f (x) = [x]
Tomemos un intervalo de n´ umeros reales compuesto por todos los n´ umeros entre el entero z y su sucesor z + 1. La parte entera para cualquier x ∈ [z, z + 1[ ser´a z, es decir: bxc = z
∀x ∈ [z, z + 1[
Tomemos el entero z = 4 para crear el intervalo real [4, 5[. Si tomamos cualquier n´ umero real x de ese intervalo y le aplicamos la funci´ on parte entera obtendremos como resultado z = 4, es decir: bxc = 4
para todo x ∈ [4, 5[
Si hacemos este ejercicio para varios enteros se obtiene la siguiente gr´afica: x −3 −2, 8 −2 −1, 6 −1, 1 0 0, 8 1 1, 1 2 2, 4 3 3, 8
y −3 −3 −2 −2 −2 0 0 1 1 2 2 3 3
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Existen por lo menos 4 tipos de funci´ on parte entera, pero en este caso s´ olo abordaremos la funci´ on piso porque es la que se eval´ ua en la PSU.
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open green road . Ejemplo La tarifa por usar el estacionamiento subterraneo de una comuna es de $550 por derecho a entrar m´ as $250 por cada 15 minutos o fracci´ on. 1. Hallar una funci´ on que determine el precio a pagar por usar el estacionamiento t minutos. Soluci´ on: Sabemos que por cada 15 minutos o fracci´on debemos pagar 250 pesos. Esto quiere decir que si estamos 15,1 o 15,8 minutos debemos pagar $250 por los 15 minutos solamente. A esto debemos agregarle los $550 por derecho a entrar. Una ecuaci´on que puede modelar el precio a pagar en funci´on de los minutos t es: p(t) = 550 + 250 · bt/15c 2. Usar la funci´ on encontrada para saber cu´anto habr´ıa que pagar si se usa el estacionamiento por 123 minutos. Soluci´ on: Usando p(t) = 550 + 250 · bt/15c para t = 123 minutos: p(t) = 550 + 250 · bt/15c p(123) = 550 + 250 · b123/15c = 550 + 250 · b8, 2c = 550 + 250 · 8 = 550 + 2.000 = 2.550 Se deber´an cancelar $2.550 por los 123 minutos de estacionamiento.
- Ejercicios
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1. Bosqueja la gr´ afica de las siguientes funciones, determinando los puntos de intersecci´on con los ejes en caso de existir. a) b) c) d) e)
f (x) = |x − 1| g(x) = |1 − x| h(x) = |x| + 3 f (x) = |x − 1| + 1 g(x) = 3 − |x|
f ) h(x) = bx − 1c g) f (x) = b2 − xc h) h(x) = bxc + 1 i ) f (x) = bxc − 2
Bibliograf´ıa ´ [1 ] Apuntes de Algebra I, Tomo I, Segunda edici´ on 1993, Facultad de Ciencias, USACH Antonio Orellana Lobos. ´ [2 ] Apuntes Algebra, Edici´ on 2003, Facultad de Ciencias, USACH Ricardo Santander Baeza.
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