UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Septiembre 2013 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas' que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos. TIEMPO: Una hora treinta minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un planeta cuyo radio es de 3000 km. El primero de ellos orbita a 1000 km de la superficie del planeta y su periodo orbital es de 2 h. La órbita del segundo tiene un radio 500 km mayor que la del primero. Calcule: a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. b) El periodo orbital del segundo satélite. Solución. R s = 4000 Km T1 = 2 h a. R P = 3000 Km :  1 R s1 = 4500 Km T2 = ? M⋅m M En la superficie del planeta, se cumple: P = FG mg = G g=G 2 2 RP RP El Producto G·M, se puede obtener teniendo en cuenta que en los satélites que están orbitando en torno al planeta se cumple que FG = Fc . Si aplicamos al primero de ellos, del que conocemos radio y periodo: G

Mm 2

Rs

=m

1

v2 M v2 = G R s1 R s1

v = ω1 ⋅ R s1 2

Sustituyendo en la expresión de g:

g=G

M R 2P

Partiendo de: G ⋅ M =

=

4π 2 ⋅ R 3s

1

R 2P ⋅ T12

4π 2 R 3 2

=

(

4π 2 ⋅ 4 × 106

1

T12

=

R 3s

2

, se llega rápidamente a

T22

T2 = T1 ⋅

G ⋅M =

)

2

R3 T

M R s1

4π 2 R 3s

1

T12

3

(3 × 10 ) ⋅ (2 ⋅ 3600) 6 2

T de Kepler, aplicando a los dos satélites: R 3s

1

 2π  M   ⋅ R s2 = G 1 R s1  T1 

2π ω1 = T1

b.

ω 2 ⋅ R s2 = G

2

=

= 5,42 m

G⋅M 4π 2

s2

= cte , que es la tercera Ley

R 3s

45003 = 2 ⋅ = 2,39 h ≈ 2 h 23' R 3s 40003 2

1

Pregunta 2.- Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se percibe con un nivel de intensidad sonora de 30 dB. Determine: a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 20 dB.

1

b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la distancia d el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 dB. Dato: Umbral de audición, Io = 10‒12 W m‒2 Solución. a. La intensidad de un sonido, depende de la potencia de la fuente emisora y de la distancia a ella. P I= 4π r 2 Para una misma fuente a dos distancias diferentes: P  I1 =  4 π r12  : Comparando P   I2 = 4π r22 

I1 r22 = I 2 r12

La intensidad de un sonido, también se puede relacionar con el nivel de intensidad sonora con que se percibe (β). I β = 10 log I = I o ⋅ 10β 10 Io Aplicando a dos intensidades diferentes, producidas por la misma fuente:

I1 = I o ⋅ 10β1 I 2 = I o ⋅ 10β 2

 I 10β1 : Comparando 1 = β 10  I 2 10 2 

10

10 10

= 10

β1 −β 2 10

Las relaciones obtenidas permiten obtener otra relación entre las intensidades y el nivel de intensidad sonora. I1 r22  =  I 2 r12  β1 − β 2 β1 − β 2 2  r2 10 ⇒ r2 = r1 ⋅ 10 10  : 2 = 10 β1 −β 2  r1 I1 = 10 10   I2  Sustituyendo por los datos:

r2 = d ⋅ 10

30 − 20 10

⇒ r2 = 10 ⋅ d

b. En este apartado nos piden la potencia de la fuente para que a la misma distancia, aumente el nivel de intensidad sonora. Trabajando de forma análoga al apartado a): P1   I1 =  I1 P1 P  4π d12  I= : =   : Comparando 2 P I P2 1  4 π r I = 2 1 2  4π d1  Teniendo en cuenta la relación obtenida en el apartado anterior entre la intensidad y el nivel de intensidad sonora: I1 P1  = I 2 P2  β1 −β 2 β 2 − β1  P  1 10 = 10 ⇒ P2 = P1 ⋅ 10 10 : β1 −β 2  P2 I1 = 10 10   I2

P2 = P1

70 − 30 ⋅ 10 10

= P1 ⋅ 10 4 = 10000P1

2

Pregunta 3.- Se quiere obtener una imagen derecha y virtual, de 25 cm de altura, de un objeto de 10 cm de altura que se sitúa a una distancia de 1 m de una lente delgada. a) Calcule la potencia, en dioptrías, de la lente que habría que usar así como el tipo de lente. b) Realice el diagrama de rayos correspondiente. Solución. a. Para obtener una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño en una lente delgada, está debe ser convergente, ya que si la lente es divergente, la imagen siempre será virtual, derecha y de menor tamaño. Si la lente es convergente, para que la imagen sea virtual, el objeto deberá estar dentro de la distancia focal (s < f). 1 Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen (f’): P = f′ ′ Para calcular f se tiene en cuenta la ecuación fundamental de la lentes delgadas y la del aumento lateral 1 1 1 1 1 1  − = : s = −1 : − = 1 1 1 s′ s f ′ s′ − 1 f ′  − =  : s′ = −2,5m : −2 ′ y′ s ′ 25 10 s × − 2,5 − 1 f ′  M L = = : y = 10 × 10 − 2 ; y′ = 25 × 10 − 2 : = y s 10 × 10− 2 − 1  1 = 0,6 ⇒ P = 0,6 D f′ b. La imagen está en la intersección de un rayo paralelo al eje óptico o eje principal de la lente, una vez refractado, pasa por el foco imagen con un rayo que pasa por el centro geométrico de la lente, que no se desvía.

Pregunta 4.- Dos muestras de material radioactivo, A y B, se prepararon con tres meses de diferencia. La muestra A, que se preparó en primer lugar, contenía doble cantidad de cierto isótopo radioactivo que la B. En la actualidad, se detectan 2000 desintegraciones por hora en ambas muestras. Determine: a) El periodo de semidesintegración del isótopo radioactivo. b) La actividad que tendrán ambas muestras dentro de un año. Solución. El periodo de semidesintegración T1 2 o periodo de semivida es el tiempo que debe transcurrir a.

( )

para que el número de núcleos presentes en una determinada muestra se reduzca a la mitad. Se puede expresar en función de la constante de desintegración (λ), y esta expresión se obtiene si en la ecuación

(

)

fundamental de la radioactividad N = N o e − λ t se sustituye N por N o 2 , obteniendo:

No Ln 2 −λ T = N oe 1 2 T1 2 = 2 λ Para calcular la constante de desintegración nos dan los siguientes datos:

A A (t1 ) = A B (t 2 ) = 2000 h −1 siendo t1 = t 2 + 3 meses = t 2 + 2160 h y N o (A ) = 2 N o (B) A = λ ⋅ N  A A = λ ⋅ N A = λ ⋅ N o (A ) ⋅ e − λ t1 → N = N o ⋅ e − λ t   A B = λ ⋅ N B = λ ⋅ N o (B) ⋅ e − λ t 2 Igualando:

λ ⋅ N o (A ) ⋅ e −λ t1 = λ ⋅ N o (B) ⋅ e − λ t 2

N o (A ) e − λ t 2 = N o (B) e − λ t1

Teniendo en cuenta los datos: 2 ⋅ N o (B) = e λ (t1 − t 2 ) 2 = e λ (t 2 + 2160− t 2 ) 2 = e 2160λ N o (B) Conocida la constante se calcula el periodo de semidesintegración. Ln 2 Ln 2 T1 2 = = = 2160 h λ Ln 2 2160

3

λ=

Ln 2 2160

b.

La actividad de una muestra viene expresada en función del tiempo y la actividad inicial por:

A = A o ⋅ e−λ t Si se considera la actividad inicial como la actividad que tiene en el momento actual, y la constante de desintegración la despejamos del periodo de semidesintegración: Ln 2 Ln 2 λ= = = 3,21 × 10 − 4 h −1 T1 2 2160 A (t ) = 2000 ⋅ e − 3,21×10 Siendo t el tiempo expresado en horas A (1 año ) = 2000 ⋅ e −3,21×10

−4

−4

t

365⋅24⋅3600

= 141,8 h −1

Pregunta 5.- Se tiene un plano infinito con una densidad de carga superficial positiva σ. a) Deduzca, utilizando el teorema de Gauss, el vector campo eléctrico generado por la distribución. b) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, en el mismo semiespacio, separados una distancia d en la dirección perpendicular al plano cargado. Justifique si cambiaría su respuesta si la dirección fuera paralela al plano cargado. Solución. a. Según el teorema de Gauss, el flujo neto a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica del vacío. Q Φ= εo Para un plano infinito, se toma como superficie gaussiana un paralelepípedo recto como el que muestra la figura. Sólo hay flujo a través de las caras S y S’ paralelas al plano. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme. El flujo a través de las superficies laterales es nulo (ninguna línea de campo las atraviesan).

∑

Aplicando el teorema de Gauss: r r r r Q Φ = E o dS + E o dS = E ⋅ S ⋅ cos 0 + E ⋅ S′ ⋅ cos 0 = 2E ⋅ S = εo

∫

S

∫

S′

Teniendo en cuenta la densidad superficial de carga (Q = σ ⋅ S) σ ⋅S σ 2E ⋅ S = E= εo 2ε o b.

La diferencia de potencial entre dos puntos viene dado por la expresión: rB r r rB rB σ σ VB − VA = − E ⋅ d r = − E ⋅ dr ⋅ cos 0º = − dr = − (rB − rA ) = − σ ⋅ d 2 ε 2 ε 2ε o rA rA rA o o

∫

∫

∫

Si la línea que une los puntos fuese paralela al plano, rB − rA = 0 , y la diferencia de potencial entre ellos seria cero

4

OPCIÓN B Pregunta 1.- Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de 3500 km y el planeta B un radio de 3000 km. Calcule: a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta. b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta. Solución. a. La expresión de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta se obtiene del hecho de que en la superficie de un planeta, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional con la que atrae el planeta al cuerpo. M⋅m M P = FG m⋅g = G g=G 2 2 R R Si se aplica esta expresión a cada uno de los planetas y se compara: M M  G 2A g A = G 2A  RA g A M A ⋅ R 2B R A  gA : = simplificando y ordenando =  M M g B M B ⋅ R 2A g B = G 2B  g B G B R B  R 2B Para encontrar una la relación entre las masas de ambos planeta, se parte de la igualdad de las densidades. MA MA   d A = V =  MA MB M A R 3A  4 3 πR 3A  A dA = dB :  : = = ⇒  3 3 M MB M B R 3B  dB = B =  4 3 πR A 4 3 πR B VB 4 3 πR 3B   Teniendo en cuenta ambas relaciones: g A M A ⋅ R 2B  =  g B M B ⋅ R 2A  g A R 3A R 2B g R 3500 7 : = 3 ⋅ 2 simplificando A = A = = 3  g g B R B 3000 6 MA RA  B R B RA = 3 M B R B 

gA =

7 gB 6

b. Se denomina velocidad de escape de un planeta a la mínima velocidad de lanzamiento de un cohete para que pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta. Teniendo en cuenta que el cohete se mueve sometido a una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva, y suponiendo que el cuerpo llega al infinito con velocidad nula, se ha de cumplir: E M (Superficie ) = E M (Infinito ) = 0

E c (Superficie) + E p (Superficie) = 0

1 Mm   mv 2 +  − G =0 2 R  

v = 2G

M R

Si aplicamos la expresión de la velocidad de escape a los dos planetas y se compara: M M  M 2G A v A = 2G A  2G A RA R A  vA RA MA ⋅ R B = = = : M v MB ⋅ R A M M 2G B v B = 2G B  B 2G B RB R B  RB Teniendo en cuenta la relación entre las masas de los planetas obtenida en el apartado a:

M A R 3A = M B R 3B

vA = vB

MA R B ⋅ = MB RA

R 3A R B ⋅ = R 3B R A

5

R 2A R 2B

=

RA 7 = RB 6

vA =

7 vB 6

Pregunta 2.- La velocidad de una partícula que describe un movimiento armónico simple alcanza un valor máximo de 40 cm s‒1. El periodo de oscilación es de 2,5 s. Calcule: a) La amplitud y la frecuencia angular del movimiento. b) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibrio cuando su velocidad es de 10 cm s‒1. Solución. a. La expresión matemática de un movimiento armónico simple es: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) La velocidad del m.a.s. es la derivada de la posición con respecto al tiempo. d y(t ) d v(t ) = = (A sen (ω t + φ o )) = Aω cos (ω t + φ o ) dt dt La expresión de la velocidad máxima será cuando la parte trigonométrica de la ecuación valga 1. v max = Aω La velocidad angular o frecuencia angular se puede calcular a partir del periodo: 2π 2π 4 π ω= = = rad s T 2,5 5 Conocida la velocidad angular, se calcula la amplitud del movimiento a partir de la velocidad máxima.

v 40 × 10−2 1 A = max = = ≈ 0.16 m = 16 cm 4π ω 2π 5

v max = Aω

b. Partiendo de la expresión de la velocidad y operando con la ecuación se puede obtener una ecuación que relaciona la velocidad y la posición.

v = Aω cos (ω t + φ o ) Elevando al cuadrado v 2 = A 2 ω 2 cos 2 (ω t + φ o )

Por trigonometría se transforma el coseno en seno:    2 2 2 2 2 2 2 2 2 v = A ω 1 − sen (ω t + φ o ) v = ω  A − A sen (ω t + φ o ) 144 42444 3   x2   La última expresión permite despejar x en función de v

(

)

A2 − x2 =

v2

v2 ; x2 = A2 − 2 ω

ω2

(

10 × 10 − 2  1  x=   −  2π  (4π 5)2 2

)

;

v2 x = A2 − 2 ω

2

= 0,154 m = 15,4 cm

Pregunta 3.- Se tiene un prisma rectangular de vidrio de índice de refracción 1,48. Del centro de su cara A se emite un rayo que forma un ángulo a con el eje vertical del prisma, como muestra la figura. La anchura del prisma es de 20 cm y la altura de 30 cm. a) Si el medio exterior es aire, ¿cuál es el máximo valor de α para que el rayo no salga por la cara B? Justifique la respuesta. b) Si el medio exterior es agua, ¿cuál es el máximo valor de α para que el rayo no salga por la cara B? Para este valor de α, ¿cuál es el ángulo con el que emerge de la cara C? Datos: Índice de refracción del aire, naire =1; Índice de refracción del agua, nagua =1,33 Solución. ) a. El ángulo límite l , es el ángulo de incidencia al que le corresponde un ángulo de refracción de 90º, produciendo reflexión total y no permitiendo que el rayo salga del medio. Se calcula aplicando la ley de Snell. ) ) n1 sen i = n 2 sen r ) ) ) Si r = 90 ⇒ i = l

()

6

(

v 2 = ω2 A 2 − x 2

)

) n1 sen l = n 2 sen 90º

) n 1 sen l = 2 = = 0,676 n1 1,48

) l = arcsen 0,676 = 42,5º

Conocido el ángulo límite se calcula α. α = 90 − l = 90 − 42,5 = 47,5º b. agua.

La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es

) ) ) Si r = 90 ⇒ i = l ) n1 sen l = n 2 sen 90º

) ) n1 sen i = n 2 sen r

) n 1,33 sen l = 2 = = 0,899 n1 1,48

) l = arcsen 0,899 ≈ 64º

Conocido el ángulo límite se calcula α. α = 90 − l = 90 − 64 = 26º Una vez conocido el ángulo límite, hay que calcular el desplazamiento del rayo por el prisma de vidrio, para comprobar si el rayo reflejado en la cara B, incide sobre la cara C o sobre la opuesta a la B. x tg l = ⇒ x = 10 tg l = 10 tg 64 = 20,5 cm 20 2 Teniendo en cuenta que 20,5 > 30 2 , el rayo reflejado sobre la cara B incide sobre la cara C. Según las leyes de Snell, el ángulo de incidencia (l ) es igual al ángulo de reflexión (r), por lo que podemos calcular el ángulo de incidencia sobre la cara C (i). ) ) ) ) ) ) r = l = 64 r + i = 90º i = 90º − r = 90º −64º = 26º Conocido el ángulo de incidencia sobre la cara C, aplicando la ley de Snell se calcula el ángulo de emergencia sobre la cara C. ) 1,48 ) ) n ) n1 sen i = n 2 sen r sen r = 2 sen i = sen 26º = 29,2º n1 1,33

Pregunta 4.a) Calcule la longitud de onda de un fotón que posea la misma energía que un electrón en reposo. b) Calcule la frecuencia de dicho fotón y, a la vista de la tabla, indique a qué tipo de radiación correspondería. Ultravioleta Entre 7,5×1014 Hz y 3×1017 Hz Rayos-X Entre 3 ×1017 Hz y 3×1019 Hz Rayos gamma Más de 3×1019 Hz ‒31 Datos: Masa del electrón, me = 9,11×10 kg; Constante de Planck, h = 6,63×10‒34 J s; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3,00×108 m s‒1. Solución. a. La energía de un electrón en reposo se obtiene mediante la ecuación de Einstein para la equivalencia masa-energía.

(

E o = m o ⋅ c 2 = 9,11 × 10 − 31 ⋅ 3,00 × 108 Siendo mo la masa del electrón en reposo

)

2

= 8,199 × 10−14 J

La longitud de onda de un fotón, conocida su energía, se obtiene mediante la ecuación de Planck c  E = h ⋅ ν  E = h⋅ h c c  2 c :E = h ⋅ λ= λ  : mo ⋅ c = h ⋅ ν= λ m λ o ⋅c λ  E = E o = m o ⋅ c 2 

λ=

6,63 × 10−34 J ⋅ s 9,11 × 10 −31 Kg ⋅ 3,00 × 108 m ⋅ s −1

7

= 2,43 × 10−12 m

3,00 × 108 c = = 1,24 × 10 20 Hz λ 2,43 × 10 −12 El fotón corresponde a una radiación de rayos gamma. ν=

b.

Pregunta 5.- Dos partículas idénticas A y B, de cargas 3,2×10‒19 Cr y masas 6,4×10‒27 kg, se mueven r r

( )

en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor: Bo = i + j T . En un instante dado, r r r la partícula A se mueve con velocidad v A = − 103 i + 103 j m s −1 y la partícula B con velocidad r r r v B = − 103 i − 103 j m s −1 a) Calcule, en ese instante, la fuerza que actúa sobre cada partícula. b) Una de ellas realiza un movimiento circular; calcule el radio de la trayectoria que describe y la frecuencia angular del movimiento. Solución. a. La fuerza a la que se ve sometida una carga eléctrica que se desplaza en el seno de un campo magnético viene dada por la expresión: r r r F = q⋅ v×B × ≡ producto vectorial

(

(

)

(

(

)

[(

)

)

) ( )]

[ (

) ( )]

r r r r r r r r r r r FA = q A ⋅ v A × B = 3,2 × 10 −19 ⋅ − 103 i + 103 j × i + j = 3,2 × 10−19 ⋅ 103 ⋅ − i + j × i + j =  1 0 −1 0 −1 1   = 3,2 × 10−16 ⋅ (0, 0, − 2) = 3,2 × 10−19 ⋅ 103 ⋅ [(− 1, 1, 0) × (1, 1, 0)] = 3,2 × 10 −16 ⋅  ,− ,  1 0 1 0 1 1   r r −16 FA = −6,4 × 10 k N

(

[(

)

) ( )]

[ (

) ( )]

r r r r r r r r r r r FB = q B ⋅ v B × B = 3,2 × 10 −19 ⋅ − 103 i − 103 j × i + j = 3,2 × 10−19 ⋅ 103 ⋅ − i − j × i + j =  −1 0 −1 0 −1 −1   = 3,2 × 10 −16 ⋅ (0, 0, 0) = 3,2 × 10−19 ⋅ 103 ⋅ [(− 1, − 1, 0) × (1, 1, 0)] = 3,2 × 10−16 ⋅  ,− ,  1 0 1 0 1 1   r FB = 0 b. La carga A realiza un movimiento circular uniforme, por lo tanto la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella debe ser igual a la fuerza centrípeta. r r ∑ F = Fc Si se supone que la única fuerza que actúa sobre la carga es la magnética, y trabajando en módulo:

v2 R r r Teniendo en cuenta que la velocidad y el campo forman 90º v o B = (− 1, 1, 0) o (1, 1, 0) = 0 v m⋅v qA ⋅ B = m R= R qA ⋅ B q A ⋅ v ⋅ B ⋅ senα = m

(

Los módulos de la velocidad y el campo magnético son:

v=

(− 10 ) + (10 ) + 0 3 2

3 2

R=

Velocidad angular:

m

2

= 103 2 m s −1

m⋅v 6,4 × 10 −27 ⋅ 103 2 = = 2 × 10− 5 m −19 qA ⋅ B 3,2 × 10 ⋅ 2

v  ω⋅R = q A ⋅ B = qA ⋅ B :m R R v = ω ⋅ R 

ω=

B = 12 + 12 + 0 2 = 2 T

ω ⋅ m = qA ⋅ B

q A ⋅ B 3,2 × 10 −19 ⋅ 2 = = 7,07 × 107 rad s m 6,4 × 10− 27

8

)