FÍSICA SEPTIEMBRE 2003 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos partes. La primera parte consiste en un conjunto de cinco cuestiones de tipo teórico, conceptual o teórico-práctico, de las cuales el alumno debe responder solamente a tres. La segunda parte consiste en dos repertorios A y B, cada uno de ellos constituido por dos problemas. El alumno debe optar por uno de los dos repertorios y resolver los dos problemas del mismo. TIEMPO: Una hora treinta minutos. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos, salvo indicación expresa en los enunciados.

PRIMERA PARTE Cuestión 1. a) Defina las superficies equipotenciales en un campo de fuerza conservativo. b) ¿Cómo son las superficies equipotenciales del campo eléctrico creado por una carga puntual? c) ¿Qué relación geométrica existe entre las líneas de fuerza de un campo conservativo y las superficies equipotenciales? d) Indique un ejemplo de campo de fuerzas no conservativo. Solución. a. Son aquellas superficies cuya característica principal es el valor constante del potencial creado por un campo conservativo en cualquier punto de dicha superficie. b.

En el caso del campo eléctrico creado por una carga puntual, el potencial tiene la forma: V ∝

1 . r

Es decir, su valor solo depende del radio r (distancia de la carga al punto del campo), por tanto las superficies equipotenciales son superficies esféricas de radio r, con la carga en el centro de todas ellas. c. Las líneas de fuerza de un campo conservativo, son las trayectorias que seguiría una partícula (con carga, si es un campo eléctrico), abandonada en un punto del campo conservativo. Dicha línea de fuerza, siguen la dirección del gradiente del potencial, de modo que deben ser perpendiculares a las superficies equipotenciales, ya que esa dirección es la de máxima variación del potencial. Constituye un campo radial, de la forma:

d. Un ejemplo seria el campo gravitatorio terrestre, si tuviéramos en cuenta el rozamiento con el aire, como no despreciable. En este caso, la energía de un cuerpo en este campo, ya no dependería sólo de la posición (campo conservativo), sino de la trayectoria seguida en un movimiento por dicho campo.

Autora: Beatriz San Juan Garrido Lda. Ciencias Físicas. Dpto. Física Teórica U.A.M.

Cuestión 2. La expresión matemática de una onda armónica es y(x , t ) = 3 sen (200πt − 5x + π ) , estando todas las magnitudes en unidades SI. Determine: a) la frecuencia y la longitud de onda. b) La amplitud y la velocidad de programación de la onda. Solución. ω k! ! y( x, t ) = 3 ⋅ sen (200π ⋅ t − 5 ⋅ x + π) −1−

a.

Identificando los términos de la expresión dada, con la ecuación general: y( x, t ) = A sen (ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕo ) −2− se obtiene: ω = 200π rad seg Puesto que ν =

ω , sustituyendo: 2π ν=

200π 2π

ν = 100Hz

De la identificación, también se obtiene: k=5 2π Y puesto que: k = λ λ=

2π m 5

Directamente de las ecuaciones −1 y 2− se obtiene que A = 3m.

b.

Teniendo en cuenta que: v =

ω y puesto que conocemos ambas magnitudes: k 200π v= v = 40π m s 5

Cuestión 3. Una partícula de carga positiva q se mueve en la dirección del eje de las X con una velocidad " " constante V = a i y entra en una región donde existe un campo magnético de dirección eje Y y módulo " " constante B = b j . a) Determine la fuerza ejercida sobre la partícula en módulo, dirección y sentido. b) Razone que trayectoria seguirá la partícula y efectúe un esquema gráfico. Solución.

a.

El modulo de la fuerza es, según la ley de Lorentz:

" " " " " F = q ⋅ v × B = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α donde α es el ángulo entre v y B

" F = q·a·b·sen 90º

" F = q·a·b N

Autora: Beatriz San Juan Garrido Lda. Ciencias Físicas. Dpto. Física Teórica U.A.M.

(

)

" " La dirección y sentido se hallan mediante el producto vectorial v × B . " " " i j k " " " " F = q ⋅ v × B = q ⋅ a 0 0 = qab ⋅ k 0 b 0 " " F = q⋅a ⋅b k La dirección y sentido del vector fuerza es la del eje z positivo, que también se puede deducir a través de la regla de la mano izquierda.

(

b.

)

Trayectoria de la partícula:

La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta en cada punto de la trayectoria, haciendo que describa una circunferencia de radio: " " Fn = Fmagnética m⋅

v2 m⋅v = q⋅v⋅B : R = R q⋅B

Utilizando los parámetros del problema: R=

m⋅a q⋅b

(m )

Cuestión 4. a) Explique qué son una lente convergente y una lente divergente. ¿Cómo están situados los focos objeto e imagen en cada una de ellas? b) ¿Qué es la potencia de una lente y en qué unidades se acostumbra a expresar? Solución. a. Una lente es un dispositivo óptico formado por un medio transparente limitado por dos superficies esféricas. Una lente convergente tiene dos superficies cóncavas, mientras que en una lente divergente estas superficies son convexas. Suponemos, en la óptica geométrica, que estas lentes son delgadas, es decir que la distancia entre ambas superficies es mucho menor que el radio de las mismas, siendo aplicable en este caso la ecuación general de las lentes delgadas: 1 1 1 − = s' s f ' La diferencia entre ambas lentes estriba en la formación de imágenes. Una lente convergente genera imágenes por convergencia de rayos reales al atravesarla, por lo que se forman imágenes reales. Una lente divergente, solo forma imágenes VIRTUALES de un objeto situado frente a ella. El foco imagen está situado a la derecha de la lente, si es convergente, y a la izquierda de la misma, si es divergente; por tanto las distancias focales imagen f ’ tienen signos contrarios.

Autora: Beatriz San Juan Garrido Lda. Ciencias Físicas. Dpto. Física Teórica U.A.M.

b.

La potencia de una lente, se calcula como la inversa de la distancia focal imagen: 1 p= f' Se mide en dioptrías. Cuestión 5. A una partícula material se le asocia la llamada longitud de onda de De Broglie. a) ¿Qué magnitudes físicas determinan el valor de la longitud de onda de De Broglie? ¿Pueden dos partículas distintas con diferente velocidad tener asociada la misma longitud de onda de De Broglie? b) ¿Qué relación existe entre las longitudes de onda de De Broglie de dos electrones cuyas energías cinéticas vienen dadas por 2 eV y 8 eV? Solución. a

La longitud de onda de De Broglie, depende, según la ecuación:. h h λB = λB = m⋅v p donde h es la constante de Planck, y p es la cantidad de movimiento de la partícula.

Si, dos partículas diferentes a distinta velocidad pueden tener igual λB, siempre y cuando el producto de su masa por su velocidad (p) sea igual en ambas partículas. b.

E c1 = 2 eV , E c2 = 8 eV

La relación existente entre la energía cinética y la longitud de onda de De Broglie se obtiene a partir de: h   λ B = m·v  1 E c = mv 2 2  operando con las ecuaciones anteriores : mv 2 = 2E c

m 2 v 2 = 2m ⋅ E c

mv = 2m ⋅ E c

y sustituyendo mv en la longitud de onda de De Broglie: h λB = 2mE c Aplicando esta ecuación a ambos electrones h   λ B1 =   2m e ⋅ 2eV  1eV =1'6×10−19 J  4m e ⋅1'6 × 10 −18      →  h h  λ B = λ B2 =  2 2m e ⋅ 8eV  16m e ⋅1'6 × 10 −18  dividiendo ambas expresiones h λ B1 =

h

λ B1 λ B2

=

4m e ⋅1'6 × 10 −18 λ B1 16m e : = =2 h 4m e λ B2 16m e ⋅1'6 ×10 −18

por lo tanto: λ B1 = 2 ⋅ λ B2 A menor energía cinética, mayor longitud de De Broglie asociada

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SEGUNDA PARTE REPERTORIO A Problema 1. Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una órbita circular de 7100 km de radio. Determine: a) El periodo de revolución del satélite. b) El momento lineal y el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. c) La variación de energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa posición. d) Las energías cinética y total del satélite. Datos: Masa de la Tierra MT = 5’98×1024kg Radio de la Tierra RT = 6’37×106m Constante de Gravitación Universal G = 6’67×10−11 N m2kg−2 Solución.

a.

La relación entre el periodo T y la velocidad angular ω es: 2π -1ω= T

A partir de la igualdad entre la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria se obtiene la velocidad lineal, de esta la angular y de la angular el periodo. " " Fc = FG m⋅

m⋅MT v2 = G⋅ R R2

despejando la velocidad v = G⋅

MT R

teniendo en cuenta que v = ω · R -2M G⋅ T M v 5'98 ×10 24 R ω= = = G ⋅ T = 6'67 × 10 −11 = 1'24 × 10 −3 rad s R R 6 3 R3 6'37 ×10

(

)

despejando el periodo de -1- y sustituyendo la velocidad angular obtenida 2π 2π T= = = 5067 s = 1 h 24' 27' ' ω 1'24 × 10 −3 b.

La expresión para el momento lineal es

" " p = m⋅v

siendo su módulo p=m·v utilizando la relación -2p = m ⋅ ω ⋅ R = 100 ⋅1'24 × 10 −3 ⋅ 6'37 ×10 6 = 7'90 × 10 5 kg ⋅ m

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s

" " la dirección y sentido de p es la misma que la de v , perpendicular al radio en todo punto de la trayectoria circular:

La expresión para el momento angular es " " " L = R × mv que constituye el momento de la cantidad de movimiento (ó momento lineal ). El módulo de L es: " L = R ⋅ mv ⋅ sen α " " teniendo en cuenta que el ángulo formado por R y m·v es de 90º en todo momento " L = R ⋅ m·v ⋅ sen 90 = R ⋅ m·v aplicando -2-

" L = R ⋅ m·v = R ⋅ m ⋅ ωR = m ⋅ ω ⋅ R 2

sustituyendo los valores numéricos: " L = m ⋅ ω ⋅ R 2 = 5'98 × 10 24 ⋅1'24 × 10 −3 ⋅ 6'37 × 10 6

(

)

2

= 3 × 10 35 kg ⋅ m

2

s

La dirección del vector es perpendicular al plano de la órbita, y en dirección positiva(eje z)

c. La variación de energía potencial que experimenta el satélite al elevarlo desde la superficie de la tierra hasta su posición en la órbita, se obtiene restando la energía potencial que tiene el satélite en la órbita, menos la que tiene en la superficie de la tierra.  1 m ⋅MT  m⋅MT  1  = G ⋅ m ⋅ M T  ∆E p = − G ⋅ −  − G ⋅ −  R R R R T    T  sustituyendo los datos numéricos del problema:  1   1 1 1  = 6'44 × 10 8 J ∆E p = G ⋅ m ⋅ M T  −  = 6'67 ×10 −11 ⋅100 ⋅ 5'98 ×10 24  − 6 6 7'1× 10   6'37 × 10  RT R 

1 m ⋅ v2 . 2 La velocidad se calcula mediante la ecuación -2v = ω ⋅ R = 1'24 × 10 −3 ⋅ 7'1× 10 6 = 8.804 m

d.

Energía cinética: E c =

s

conocida la velocidad, la energía cinética se calcula sustituyendo en su expresión 2 1 1 E c = m ⋅ v 2 = ⋅ 100 kg ⋅ 8.804 m = 3'88 ×10 9 J s 2 2

(

)

La energía total del satélite es la suma de su energía cinética más su energía potencial m⋅MT  1 1 100 ⋅ 5'98 × 10 24  E T = m ⋅ v 2 +  − G  = ⋅100 ⋅ 8.804 2 − 6'67 × 10 −11 = −1'74 × 10 9 J  2 R  2  7'1× 10 6

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Problema 2. Un metal tiene una frecuencia umbral de 4’5×1014 Hz para el efecto fotoeléctrico. a) Si el metal se ilumina con una radiación de 4×10−7m de longitud de onda ¿cuál será la energía cinética y la velocidad de los electrones emitidos? b) Si el metal se ilumina con otra radiación distinta de forma que los electrones emitidos tengan una energía cinética el doble que en el caso anterior ¿cuál será la frecuencia de esta radiación? Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1’6×10−19C Masa del electrón en reposo me = 9’1×10−31kg Constante de Planck h = 6’63×10−34J s Velocidad de la luz en el vacío c = 3×108 m s−1 Solución. a.

El balance energético del efecto fotoeléctrico es: 1 h ⋅ ν = h ⋅ ν o + m ⋅ v 2 -12 Si la luz incidente tiene una λ = 4 × 10−7 m, su frecuencia es: 8 m c 3 × 10 s = 7'5 × 1014 Hz ν= = λ 4 × 10 − 7 m

De la expresión -1- se despeja la energía cinética de los electrones: 1 mv 2 = h ⋅ (ν − ν o ) -22 sustituyendo los valores numéricos: 1 mv 2 = 6'63 × 10 −34 J·s ⋅ 7'5 × 1014 − 4'5 × 1014 s −1 = 1'99 × 10 −19 J 2 conocida la energía cinética, se despeja la velocidad

(

Ec = b.

1 m ⋅ v2 2

⇒

v=

)

2E c = m

2 ⋅ 1'99 × 10 −19 9'1× 10 −31

= 6'61× 10 5 m

Si la energía cinética es doble que en el caso anterior: E ' c = 2 ⋅1'99 × 10 −19 = 3'98 ×10 −19 J

teniendo en cuenta la expresión -2-

E ' c = h ⋅ (ν '−ν o ):

(

3'98 × 10 -19 = 6'63 × 10 −34 ν '−4'5 × 1014

despejando la frecuencia pedida ν' =

3'98 × 10 −19 J 6'63 × 10 -34 J·s

+ 4'5 × 1014 s −1 = 1'05 × 1015 s −1

Autora: Beatriz San Juan Garrido Lda. Ciencias Físicas. Dpto. Física Teórica U.A.M.

)

s

REPERTORIO B Problema 1. Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras de 2’5 cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0’3 T, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0’1s, determine: a) El flujo que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida. b) La intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo de tiempo. Solución.

a.

El flujo inicial que atraviesa el solenoide tiene la expresión " " " " φ = B # S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos α " " el ángulo que forman S y B es constante y vale 0º, con lo que la expresión anterior queda φ = B⋅S El área de una espira viene dada por la expresión S = π⋅R 2 donde R es el radio de la espira circular.

R=

d 2'5 × 10 −2 = = 1'25 × 10 − 2 m 2 2

(

)

2

S = π ⋅ R 2 = π ⋅ 1'25 ×10 −2 = 4'91× 10 −4 m 2 con el valor del área de la espira y el del campo magnético inicial, se calcula el flujo inicial φ i = B o ⋅ S = 0'3 T ⋅ 4'91× 10 −4 m 2 = 1,47 × 10 −4 Wb La fuerza electromotriz inducida es función de la variación del flujo a través de la superficie respecto del tiempo según la expresión: dφ ε = −N ⋅ dt En el caso propuesto, la variación del flujo a través de la espira es debido a la variación del campo magnético. Puesto que la variación del campo magnético se produce uniformemente, se puede sustituir la derivada por un incremento: φ − φi ∆φ ε = −N ⋅ = −N ⋅ f ∆t ∆t φi = 1’47×10−4 Wb φf = Bf · S = 0 por tanto, y puesto que esta variación se produce en un ∆t = 0’1 s, la fuerza electromotriz es: ε = −500 ⋅

0 − 1'47 × 10 −4 = 0'735 V 0'1

b.

La intensidad se puede hallar mediante la ley de Ohm: V = I⋅R : ε = V⋅I dado que R = 20Ω, se despeja I: ε 0'735 V I= = = 0'037 A R 20 Ω La relación entre la intensidad y la carga eléctrica es:

Autora: Beatriz San Juan Garrido Lda. Ciencias Físicas. Dpto. Física Teórica U.A.M.

I=

∆Q ∆t

de donde ∆Q = I ⋅ ∆t = 0'037 A ⋅ 0'1 s = 3'7 × 10 −3 C Problema 2. Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamaño 1 cm sobre una pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamaño 3 cm. Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, calcule: a) La distancia del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construcción geométrica. b) El radio del espejo y la distancia focal. Solución. a. Puesto que la imagen que se quiere obtener tiene que ser invertida y de mayor tamaño que el objeto, se debe situar a este entre el foco y el centro del espejo cóncavo Si el tamaño del objeto y de la imagen son 1 cm y 3 cm respectivamente y teniendo en cuenta que: y' s' =− y s aplicando los datos del enunciado s' −3 cm =− 1 cm s obteniéndose la ecuación

s' = 3s

-1-

Sabiendo que la distancia entre el objeto y la imagen es de 2 m: s' − s = 2 m puesto que ambas magnitudes son negativas, hay que cambiar el signo de ambas para quitar el valor absoluto −s'+s = 2 m -2resolviendo el sistema formado por 1 y 2: s' = 3s   s = −1 m : − s'+s = 2 s' = −3 m Construcción geométrica:

b.

La distancia focal se halla a partir de la ecuación del espejo: 1 1 1 + = s' s f sustituyendo los valores 1 1 1 + = − 3 −1 f despejando f: f = −0'75

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El radio , es doble de la distancia focal, por tanto: R = 2·f

R = −1’5 m

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