UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Modelo 2012 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos. TIEMPO: Una hora treinta minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- Se ha descubierto un planeta esférico de 4100 km de radio y con una aceleración de la gravedad en su superficie de 7,2 m s‒2. a) Calcule la masa del planeta. b) Calcule la energía mínima necesaria que hay que comunicar a un objeto de 3 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y situarlo a 1000 km de altura de la superficie, en una órbita circular en torno al mismo. Dato: Constante de Gravitación G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2.

Solución. a. La masa de un planeta se puede calcular conocida su gravedad y su radio teniendo en cuenta que en su superficie, el peso de un cuerpo es la fuerza con la que el planeta lo atrae. P = FG mg = G

M=

M⋅m R2

; g=G

(

M R2

7,2 m s − 2 ⋅ 4,1 × 10 6 6,67 × 10 −11

)

; M=

g ⋅ R2 G

2

= 1,81 × 10 24 kg

b. La energía necesaria para lanzar un satélite desde la superficie de un planeta y situarlo en órbita, es la diferencia entre la energía mecánica que tiene en la órbita y la que tiene en la superficie del planeta. ∆E = E Órbita − E (Superficie)

(

)

La energía mecánica de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial. 1 M⋅m  E m Órbita = E c + E p = mv 2 +  − G  2 R   Donde R es el radio de la órbita

(

)

Para calcular la velocidad del satélite en la órbita, se iguala la fuerza centrípeta

con la gravitatoria Fg = Fc

G⋅

M⋅m R

2

= m⋅

v2 R

⇒

v2 = G ⋅

M R

Sustituyendo en la expresión de la energía:

Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)

1

(

)

E m Órbita =

1 M  M⋅m 1 M⋅m M⋅m 1 M⋅m m⋅G + − G −G =− G = G 2 R  R  2 R R 2 R

En la superficie del planeta, la energía mecánica es únicamente potencial. M⋅m E m (Superficie ) = E p = −G RP Donde RP es el radio del planeta. Sustituyendo en la primera expresión se obtiene la energía necesaria para lanzar un satélite desde la superficie del planeta.  1 1 M⋅m  M⋅m 1   = −G ⋅ M ⋅ m ⋅   ∆E = E Órbita − E(Superficie) = − G −  − G − 2 R RP    2R R P 

(

)

 1 1 ∆E = −6,67 × 10 −11 ⋅ 1,81 × 10 24 ⋅ 3 ⋅  − 6 4,1 × 10 6  2 ⋅ 5,1 × 10

  = 5,28 × 10 7 J  

Pregunta 2.- Un objeto de 2 kg de masa unido al extremo de un muelle oscila a lo largo del eje X con una amplitud de 20 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El objeto tarda 9 s en completar 30 oscilaciones, y en el instante de tiempo t = 0 su posición era xo = +10 cm y su velocidad positiva. Determine: a) La velocidad del objeto en el instante t = 1,2 s. b) La energía cinética máxima del objeto. Solución. 9 A = 20 cm T= = 0,3 s 30  y = 10 cm = 0,1 m Si t = 0 :  v > 0 a. Para calcular la velocidad del objeto en un instante determinado (t = 1,2 s) es necesario conocer la ecuación que describe el movimiento. El objeto realiza un movimiento armónico simple que viene descrito por la ecuación: y = A sen (ω t + φ o ) 2 π 2π 20π rad Donde A = 20 cm = 0,2 m; ω = = = ; y el desfase inicial se calcula con s T 0,3 3 los datos de condiciones iniciales. π  1  φo = 6 Para t = 0: y = 0,1 = 0,2 sen (ω ⋅ 0 + φ o ) : sen φ o = :  2 φ = 5π o 6  Las posibles expresiones de la posición son: π 5π   20 π  20 π y = 0,2 sen  t+  y = 0,2 sen  t+  6 6   3  3 El signo de la velocidad para t = 0 nos permite deducir cual de las dos expresiones es la que corresponde al movimiento La expresión de la velocidad, es la derivada de la posición respecto del tiempo. dy d  π  20π π  4π π  20π  20 π  20 π =  0,2 sen  t +   = 0,2 t+ = t+  v= cos cos 6 dt dt  6  3 6 3  3  3  3 v=

dy d  5π   20π 5π  4 π 5π   20 π  20 π  20 π =  0,2 sen  t+ cos t+ cos t+   = 0,2 =  dt dt  6  3 6  3 6   3  3  3

Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)

2

 4π π  20 π  v = 3 cos 3 ⋅ 0 + 6  =   Para t = 0:  4 π 20 π 5 π   v = cos ⋅0+ =  3 3 6  

• •

π  20 π Posición: y = 0,2 sen  t+  6  3 4π π  20 π Velocidad: v = cos t+  3 6  3 Para t = 1,2: v(t = 1,2 ) =

b.

4π π cos > 0 3 6 4π 5π cos