FÍSICA Modelo 2007 PRIMERA PARTE Cuestión 1.- Un objeto de 5 kg de masa posee una energía potencial gravitatoria EP = −2×108 J cuando se encuentra a cierta distancia de la Tierra. a) Si el objeto a esta distancia estuviera describiendo una órbita circulas. ¿cuál sería su velocidad? b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, ¿cuál sería su energía mecánica? ¿Podría el objeto estar describiendo una órbita elíptica es este caso? Solución. a) Sobre un objeto que describe una órbita circular la única fuerza que a actúa sobre él es la fuerza de atracción gravitatoria, es una fuerza centrípeta dirigida hacia el centro de la tierra. Fg = Fc G

MT ⋅m d

2

=m

v2 d

despejando v =

G⋅MT d

Por otro lado, la energía potencial gravitatoria es: M ⋅m M 2 × 10 8 J E p = −G T = −2 × 10 8 J ⇒ G T = d d m(kg )

Sustituyendo en la expresión de la velocidad:

v= G

MT = d

2 × 10 8 J = m(kg )

2 × 10 8 J ≈ 6324 m ≈ 6'3 Km s s 5 kg

b) La energía mecánica es la suma de la energía potencial y de la energía cinética. 1 1 E m = E p + E c = E p + mv 2 = −2 × 10 8 + ⋅ 5 ⋅ (9000)2 = 2´5 × 10 6 J 2 2 Si la energía mecánica es mayor que cero, el objeto se escapa del campo gravitatorio, y por tanto no describe ningún tipo de órbita. Nota

• • •

El criterio que se debe seguir para evaluar el tipo de órbita es el siguiente: Si EM > 0, el objeto se escapa del campo gravitatorio, llegando al infinito con velocidad, seguirá una trayectoria hiperbólica. Si EM = 0, el objeto se escapa del campo gravitatorio, llegando al infinito sin velocidad (caso teórico, el tiempo que tardaría seria infinito), seguirá una trayectoria parábolica Si la EM < 0, el objeto queda atrapado en el campo gravitatorio. En este caso se pueden dar tres situaciones diferentes: 1 E p < E c < E p El objeto describe una órbita elíptica, aumentando la excentricidad de la 2 elipse a medida que aumente la velocidad (energía cinética). 1 E p = E c El objeto describe una órbita circular. 2 1 E p > E c El objeto no describe ningún tipo de órbita y acaba colapsando contra el 2 planeta.

Cuestión 2.- Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule: a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente. b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 130 dB? −12 Datos: Intensidad umbral de audición Io = 10 W·m−2 Solución. a) La intensidad I de un sonido puede medirse mediante la energía que transporta por unidad de 2 superficie, se expresa en W/m . P P 80 I= = = = 6'4 × 10 − 2 W·m − 2 S 4πR 2 4π(10 )2 b) El volumen acústico ß de un sonido de intensidad I expresado en Bels se define como: I β = log (Bels) Io

Como la unidad resultaba demasiado grande, se utiliza el decibelio (décima parte del Bel) designado dB que ha quedado como unidad para la medida del volumen acústico. Así pues, el volumen acústico ß de un sonido de intensidad I expresado en decibles se define como: I β = 10 log (dB) Io

Siendo Io la intensidad umbral de audición para el oído humano. Aplicando a los datos propuestos se despeja la intensidad: I I I : 13 = log : 130 = 10 log = 1013 : I = 10 W·m−2. −12 −12 −12 10 10 10 P P P I= = = 2 S 4πR 4π ⋅ d 2 d=

P = 4π ⋅ I

80 W 4π ⋅10 Wm − 2

= 0'8 m

Cuestión 3.- Indique el tipo de trayectoria descrita por una partícula cargada positivamente que posee r r inicialmente una velocidad v = v i al penetrar en cada una de las siguientes regiones: r r a) Región con un campo magnético uniforme: B = B i r r b) Región con un campo eléctrico uniforme: E = E i r r c) Región con un campo magnético uniforme: B = B j r r d) Región con un campo eléctrico uniforme: E = E j r r Nota: Los vectores i y j son los vectores unitarios según los ejes X e Y respectivamente. Solución. r r a) Campo magnético uniforme: B = B i . Cuando una partícula con carga eléctrica y en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo magnético, además de los efectos regidos por la ley de Coulomb, se ve sometida a la acción de una fuerza denominada Fuerza de Lorentz, cuyo valor viene dado por la expresión: r r r F = q⋅ v×B r r Como v es paralelo a B , su producto vectorial es nulo. r r r r v × B = v ⋅ B ⋅ sen α  r r : v×B = 0  α=0 Por lo tanto al no estar sometida a fuerza, la partícula sigue una trayectoria rectilínea y uniforme (M.R.U).

(

)

r r b) Campo eléctrico uniforma: E = E i . Cuando una partícula con carga eléctrica y en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo eléctrico se ve sometida a una fuerza cuyo valor viene dado por la expresión: r r F = q⋅E La partícula se ve sometida a una fuerza paralela al campo eléctrico, y por tanto a una aceleración en la misma dirección del campo y sentido, el mismo si la carga es positiva y opuesto si es negativa. En el caso propuesto: r r r F = m ⋅ a = q p+ ⋅ E i

La partícula se ve sometida a una aceleración en la misma dirección y sentido que su velocidad, por tanto describe una trayectoria rectilínea uniformemente acelerada, suponiendo que el campo eléctrico es constante.

r r c) Campo magnético uniforma: B = B j . La carga se ve sometida a una fuerza (Fuerza de Lorentz) perpendicular en todo momento a la velocidad (fuerza centrípeta), lo que provoca una trayectoria circular en el plano XZ de radio R. r r r r r r F = q ⋅ v × B = qvB ⋅ i × j = qvB k

(

FM = Fc :

)

q p + vB = m p +

( )

v2 : R

R=

m p+ v q p+ B

r r d) Campo eléctrico uniforme: E = E j . La carga se ve sometida a una fuerza cuyo valor viene dado por la expresión: r r r r F = q ⋅ E : F = qE ⋅ j r r r r qE r F = m ⋅ a = qE ⋅ j : a = ⋅j m p+ La fuerza sobre la carga es paralela al eje OY en todo momento, lo cual, provoca una aceleración en ese eje, manteniéndose la velocidad constante en el eje OX. El resultado es un movimiento parabólico, combinación de ambos movimientos: M.R.U. (OX), M.R.U.A. (OY).

Cuestión 4.- determine el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto delante de una lente divergente en los siguientes casos: a) El objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal. b) El objeto se sitúa a una distancia la mitad de la distancia focal de la lente. Efectué la construcción geométrica en ambos casos. Solución. a) Lente divergente. Los rayos procedentes de un mismo punto de un objeto divergen al atravesar la lente. Sus prolongaciones convergen a la izquierda de la lente formando una imagen virtual directa y reducida. El objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal. La construcción geométrica se puede hacer de dos formas:

Imagen virtual derecha y de menor tamaño. La ecuación de la lente es: 1 1 1 − = s' s f ' Teniendo en cuenta que s = 2 f’ 1 1 1 1 1 1 3 − = = + = s ′ 2f ′ f ′ s ′ 2f ′ f ′ 2f ′ El aumento o disminución lateral viene dado por: 2 f′ 2 y ′ s ′ s ′ = f ′ y ′ 3 1 = : = 3 : = y s  s = 2f ′  y 2f ′ 3  

s′ =

y′ =

b) El objeto se sitúa a una distancia la mitad de la distancia focal de la lente. Al igual que antes, la construcción se puede hacer de las dos formas descritas en el apartado a), escojo esta por ser un poco más clara. Imagen virtual derecha y de menor tamaño. La ecuación de la lente es: 1 1 1 − = s' s f ' Teniendo en cuenta que s = f ’/2 1 1 1 1 1 1 3 − = = + = s′ f ′ f′ s′ f ′ f′ f′ 2 2 El aumento o disminución lateral viene dado por: 1 1   f′ ′ ′ y ′ s ′ s = 3 f  y ′ 3 2 = : : = =  1 y s s = f ′ y 1 ′ 3 f 2   2

1 y 3

s′ =

y′ =

2 f′ 3

1 f′ 3

2 y 3

Cuestión 5.- Un electrón de un átomo salta desde un nivel de energía de 5 eV a otro inferior de 3 eV, emitiéndose un fotón en el proceso. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de la radiación emitida, si ésta se propaga en el agua. Datos: Índice de refacción n agua = 1,33 Velocidad de la luz en el vacío c = 3 × 10 8 m/s Constante de Planck h = 6,63 × 10 −34 Js

Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6 × 10 −19 C

Solución. La energía asociada a una radiación viene determinada por la ecuación de Planck: ∆E = h ⋅ ν Donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la radiación.

ν=

∆E h

∆E = 5eV − 3eV = 2eV = 2eV ⋅1'6 × 10 −19 ν=

J = 3'2 × 10 −19 J eV

∆E 3'2 × 10 −19 J = = 4'83 × 1014 s −1 −34 h 6'63 × 10 J ⋅s

La frecuencia no depende del medio material por el que se propaga la radiación sino de la energía, por lo tanto, la frecuencia de la radiación será la misma en cualquier medio. La longitud de onda si depende del medio de propagación, se calcula a partir de la velocidad de propagación en el medio. v Agua v Agua = λ ⋅ ν : λ = ν Para calcular la velocidad de propagación en el agua se emplea el índice de refracción (n), que es el cociente de la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio cuyo índice se conoce.

n Agua =

c v Agua

:

v Agua =

c n Agua

=

3 × 10 8 m s −1 = 2'26 ×10 8 m s −1 1'33

Sustituyendo en la expresión de la longitud de onda: v Agua 2,26 × 10 8 m s −1 λ= = = 4'7 × 10 −7 m = 4700 nm 14 −1 ν 4'83 × 10 s

SEGUNDA PARTE REPERTORIO A Problema 1.- La expresión matemática que representa una onda armónica que se propaga a lo largo de una cuerda tensa es: y(x, t) = 0’01 sen (10π t + 2π x + π), Donde x e y están dados en metros y t en segundos. Determine: a) El sentido y la velocidad de propagación de la onda. b) La frecuencia y la longitud de onda. c) La diferencia de fase de oscilación entre dos puntos de la cuerda separados 20 cm. d) La velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un punto de la cuerda. Solución. a) La ecuación general de una onda armónica es; y(x, t) = A sen(ωt − kx + ϕo), donde A es la amplitud, ω la velocidad angular, k el número de ondas y ϕo el desfase inicial. Comparando la expresión general con la expresión propuesta: A = 0’01 m; ω = 10π rad/s; k = −2π rad/m; ϕo = π rad. Sentido. El valor de k negativo indica que el sentido es de propagación es el negativo en la dirección r x −i . • Velocidad de propagación. Por definición: 2π 10π rad λ s = −5 m k =ω= vp = = s T 2π k − 2π rad ω m “El signo negativo es debido al sentido de desplazamiento” •

( )

b) La frecuencia se obtiene a partir de la velocidad angular, y la longitud de onda del número de ondas.

rad ω 10π s = 5 Hz s −1 = 2π 2π rad 2π 2π rad λ= = = 1m k 2π rad m “En el calculo de la longitud de onda, no tiene sentido incluir el signo del número de ondas puesto que se trata de una longitud” ω = 2π ⋅ ν

ν=

( )

c) La diferencia de fase de oscilación en un instante dado (mismo tiempo) entre dos puntos viene dado por la diferencia entre sus fases. El ángulo de fase de una onda es (ω t − k x + ϕ o ) , por lo tanto la diferencia de fase es: ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = (ω t − k x 2 + ϕ o ) − (ω t − k x 1 + ϕ o ) = k (x 2 − x 1 ) = k ⋅ ∆x Sustituyendo por los valores numéricos: ∆ϕ = k ⋅ ∆x = {∆x = 20 cm = 0'2 m} = 2π rad ⋅ 0'2 m = 0'4π rad m

d y(x, t ) d = (A sen (ω t − k x + ϕ o )) = A ⋅ ω cos(ω t − k x + ϕ o ) dt dt La velocidad será máxima cuando cos(ωt − kx + ϕo) = 1. v(x , t )max = A ⋅ ω = 0'01 m ⋅10π rad = 0'1π m rad s s d v(x, t ) d a (x, t ) = = (A ⋅ ω cos (ω t − k x + ϕ o )) = −A ⋅ ω 2 sen(ω t − k x + ϕ o ) dt dt La aceleración será máxima cuando sen(ωt − kx + ϕo) = 1.

d) Por definición: v(x, t ) =

a (x, t )max = −A ⋅ ω 2 = −0'01⋅ (10π)2 = −π 2 m

s2

Problema 2.- En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con una velocidad constante de valor v = 2 m/s en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0,4 T. Sabiendo que el valor de la resistencia R es 60 Ω y que la longitud de la varilla es 1,2 m: a) Determine la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de la corriente que circula en el circuito. b) Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se frena con aceleración constante hasta pararse en 2 s, determine la expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos. Solución. a. La corriente se induce en un sentido tal que los efectos que genera tienden a oponerse al cambio de flujo que la origina, en definitiva, el flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor. Al desplazarse la varilla hacia la izquierda, aumenta el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie cerrada, produciendo un aumento del campo inductor, según la ley de Lenz, la corriente inducida, deberá producir un campo magnético que se oponga al aumento del campo inductor, por lo que el campo inducido deberá dirigirse hacia dentro del papel, y para que eso ocurra la corriente inducida deberá girar en el sentido horario, tal y como puede observarse en la figura. La fuerza electromotriz inducida es: dΦ d r r d d d ε=− =− B o S = − (B ⋅ S ⋅ cos α ) = − (B ⋅ S ⋅ cos 0º ) = − (B ⋅ S) dt dt dt dt dt La magnitud variable en este caso es la superficie (s(t)) atravesada por el campo magnético. s(t ) = (s o + v ⋅ t ) ⋅ l Donde l representa la longitud de la varilla MN Sustituyendo en la expresión de ε d d ε = − (B ⋅ S) = − (B ⋅ (s o + vt ) ⋅ l ) = − B ⋅ v ⋅ l = −0,4T ⋅ 1,2m ⋅ 2 m = −0,96 v s dt dt

(

)

Aplicando la ley de Ohm se calcula la intensidad. ε 0,96v = 0,016A V = ε = I⋅R ⇒ I = = R 60Ω

b. Si a partir de t = 0, la varilla se ve sometida a una aceleración que la frena en 2 segundos m    a = ∆v = − 2 s = −1 m  , la superficie atravesada por el campo magnético tambien se vera afectada por 2  ∆t 2s s    esta aceleración. 1   s(t ) =  s o + v o t + at 2  ⋅ l 2   d d  1 2  ε = − (B ⋅ S) = −  B ⋅  s o + v o t + at  ⋅ l  = − B ⋅ l ⋅ (v o + at ) dt dt   2   Sustituyendo los valores ε = −B ⋅ l ⋅ (v o + at ) = −0,4 ⋅ 1,2 ⋅ (2 − 1 ⋅ t ) = −0,48 ⋅ (2 − t )

REPERTORIO B Problema 1.- Una carga positiva de 2 µ C se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x = 10 m lleva una velocidad de 1000 m/s. Calcule: a) El campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A. b) El potencial y la energía potencial del protón en el punto A. c) La energía cinética del protón en el punto A d) El cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por efecto de la repulsión vuelve al mismo punto A. Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9 × 10 9 N m 2 C −2 ; Masa del protón m p = 1,67 × 10 −27 kg; Carga del protón q

p+

= 1,6 × 10 −19 C

Solución. a) Campo eléctrico es la región del espacio que se ve afectada por la presencia de una carga eléctrica. Según la Ley de Coulomb: r r Q r 2 × 10 −6 C EA = K ⋅ i = 9 × 10 9 Nm 2 C − 2 ⋅ = 180 N i . C rA2 10 2 m 2 b) El potencial en un punto de un campo eléctrico, es el trabajo necesario para desplazar la carga unidad positiva desde ese punto al infinito. 1 ∞r Q 2 × 10 −6 C V = ∫ F ⋅ dr = K ⋅ = 9 × 10 9 Nm 2 C − 2 ⋅ = 1800 V J C q r r 10 m El potencial en un punto se puede expresar en función de la energía potencial en ese punto. Ep V= ⇒ E p = V ⋅ q + = 1800 J ⋅1'6 × 10 −19 C = 2'88 × 10 −16 J C p q

( )

r ∆p = m

1 1 m ⋅ v 2 = ⋅1'67 × 10 − 27 kg ⋅ 10 3 m s 2 2

(

c)

Ec =

d)

r r r ∆p = p f − p i = m

p+

(vr A

2

= 8'35 ×10 −22 J

r r r v Ao = m + v A − v Ao p r r r − v A o = 1'67 ×10 −27 kg ⋅ 1000 m i − − 1000 m i s s r −24 −1 ∆p = 3'34 ×10 kg m s

)

p+

r vA − m

)

(

p+

(

(

)

))

Problema 2.- Una muestra contiene inicialmente 1020 átomos, de los cuales un 20% corresponden a material radiactivo con un periodo de semidesintegración (o semivida) de 13 años. Calcule: a) La constante de desintegración del material radiactivo. b) El número de átomos radiactivos iniciales y la actividad inicial de la muestra. c) El número de átomos radiactivos al cabo de 50 años. d) La actividad de la muestra al cabo de 50 años. Solución. a) Se llama constante de desintegración radiactiva (λ) a la constante de proporcionalidad entre el número de desintegraciones por segundo y el número de átomos radiactivos (λ = A / N). Se puede calcular a partir del periodo de semidesintegración.

N = N o ⋅ e −λ t La semidesintegración se produce cuando la muestra inicial se ha reducido a la mitad. −λ t 1 −λ t 1 No 1 2 2 = No ⋅e : =e 2 2 Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y operando: Ln 2 Ln 2 λ= = = 0'053 años −1 t1 13 años 2

En el sistema internacional:

λ=

Ln 2 Ln 2 = = 1'69 ×10 −9 s −1 t1 13 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 2

20 ⋅10 20 at = 2 × 1019 at. 100 Se define la actividad de una muestra como el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo. dN d A=− =− N o e −λ t = N o λ ⋅ e −λ t dt dt En las condiciones iniciales (t = 0).

b)

N o = 20% N T =

(

)

A o = N o λ ⋅ e −λ 0 = N o λ = 2 ×1019 at ⋅1'69 × 10 −9 s −1 = 3'38 ×1010 Bq Nota: Bq (Becquerelio) = desintegraciones por segundo c)

−1 N = N o ⋅ e −λ t = 2 × 1019 ⋅ e −0'053 año ⋅50 año = 1'4 × 1018

d)

A(t ) = −

dN d =− N o e − λ t = λ N o ⋅ e − λ t = λ N(t ) 1424 3 dt dt

(

)

N (t )

A(50 años) = λ N(50 año) = 0'053 ⋅1'4 × 1018 = 7'4 ⋅1016 Bq