Estadística I

– Examen Final –

15/12/2010

Nombre y Apellido:…………………………………………………. D.N.I.:…………………………………………………………………. Método de puntuación: cada ejercicio tiene una puntuación que se detalla en paréntesis (expresado como % del examen total). Los acápites de cada ejercicio (a, b…..) poseen una ponderación particular (peso relativo) sobre la puntuación del ejercicio que también se detalla en cada acápite. Para aprobar es necesario obtener al menos el 60% del examen correcto.

1. (10%) Si un aeropuerto posee en promedio 20 salidas por semana. A) (60%) Calcular la probabilidad que en un día salgan más de 3 aviones de dicho aeropuerto. B) (40%) Calcular la probabilidad de que en 21 días salgan más de 55 aviones.

2. (15%) Si el gasto por día de los turistas que visitan la ciudad de San Carlos de Bariloche es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media 350 $ y varianza 144 $2. A) (30%) Calcular la probabilidad de que al seleccionar un turista al azar, el gasto diario que posea esté comprendido entre 345$ pesos y 360$. B) (15%) Si se toma una muestra simple al azar de tamaño 25, ¿Que distribución sigue la variable aleatoria media muestral? (incluido media y varianza ) C) (30%) Calcular la probabilidad de que al tomar la muestra del acápite B), la media muestral sea menor a 348$. D) (25%) Cual debería ser el tamaño de la muestra que garantiza la siguiente probabilidad: P (349 < X < 351) ≥ 0,95

3. (10%) Una empresa de alquiler de autos pose una flota de 14 unidades, de los cuales: 7 son de clase A, 4 de clase B y 3 de clase C. Un importante cliente le solicita a la empresa que le envíe 3 autos, pero no especifican que clase quiere. Si la empresa selecciona aleatoriamente los autos que le enviará. ¿Calcular la probabilidad que le envíe 2 de clase A y 1 de clase B?

4. (15%) Dada la V.A X, cuya distribución de probabilidades se presenta en el siguiente cuadro: X: P(X): A) B) C) D)

0 0,3

1 0,5

2 0,1

3 0,05

4 0,05

(25%) Calcular la varianza y esperanza de X (25%) Calcular la probabilidad de que X sea mayor a 2, dado que X es mayor a 0. (25%) Sea Y= 3X, calcular la esperanza matemática y varianza de Y. (25%) Confeccionar la tabla de distribución de probabilidades para la variable Y.

5. (12%) Una revista de la ciudad afirma que mas del 60% de las personas empleadas en la ciudad de Bariloche de dedican a la actividad turística. Para verificar la veracidad de dicha información se procedió a realizar una encuesta a 500 residentes empelados de la ciudad y se obtuvo que 315 trabajaban el la actividad turística. Para un nivel de significación del 5%, que puede inferirse respecto la afirmación de la revista.

6. (12%) La producción anual de miel de un panal de abejas es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media 12 kg. Se está probando un nuevo cuidado de abejas y quiere saberse si mejora la producción media anual de miel. Para ello se probó el nuevo tratamiento en 15 panales y se obtuvo una media 13 kg y desvío de 5 kg. Para un nivel de significación del 1% ¿Qué puede decirse al respecto?

1

7. (11%) El rendimiento anual de un activo financiero es una variable aleatoria que sigue una distribución normal. Se desea analizar la incertidumbre de dicho activo (medido como la varianza del rendimiento anual). Para ello, se analizó lo que sucedió en los últimos 30 meses y se obtuvo una varianza muestral de 0,4. Calcular el intervalo de confianza del 95% para la varianza del rendimiento anual del activo financiero.

8. (15%) Los siguientes datos corresponden a las ventas anuales realizadas por una empresa comercializadora de camas y colchones.

Camas

Colchones

Mes Precio

Cantidad

Precio

Cantidad

20 30 50 40

20 21 22 16

43 35 42 51

6 8 12 10

2005 2006 2007 2008

A) (60%) Para la cesta de bienes, construir el índice de precio ponderado tipo Laspeyres con base 2005 =100. B) (20%) Calcular el incremento % que se produjo en los precios en el año 2007. C) (20%) Calcular el incremento % que se produjo en los precios durante el período 2007-2008. P (A/B) = P (A ∩ B) / P(B)

P(A ∪ B)= P(A)+P(B) - P(A ∩ B)

n

P( B / Ak ) P( Ak ) P( Ak / B) = ∑ P( B / Ai ) P( Ai ) n

C= r

m =

P= r

n! r!(n − r )!

σ m

mk = E ( X k ) = ∑ x k P( x) o

∞

∫ xf ( x)dx = E(X)

n! (n − r )!

o

−∞

mk = E ( X k ) =

m = ∑ x P ( x)

∑i =1 ( xi − m x ) 2 * f i

σ x2 =

n

= m2 x − m12x

∫x

k

f ( x)dx

−∞ ∞

n

∞

σ x2 = ∫ ( x − m x ) 2 f ( x)dx = −∞

∞

∫x

2

f ( x)dx − m x2

−∞

σ x2 = ∑ ( x − m x ) 2 p( x)

    σ =  ∑ xi2 p( xi )  −  ∑ xi p( xi )     

µ k = [ E ( x − m x ) k ] = ∫ ( xi − m x ) k f ( x)

µ k = [E( x − mx ) k ] =

2

2 x

2

∑ (x

i

− mx )

∑ (x P( x ) =

k

∑ (x ρ =

Cov( X ; Y )

σ xσ y

− m x ) k fi

i

n

Cov( xy ) = E ( xy ) − E ( x) E ( y ) = m xy − m x m y

i

i =1

Cov (x;y) =

i

n

− m x ) * (yi − m y ) n

m − me s

3 * ( m − me ) s

;

∞

µ k = E[( x − m) ] = ∫ ( x − m) k f ( x)dx

µ 2 = σ x2 = m2 − 2m12 + m12 = m2 − m12

µ 3 = m3 − 3m1 m2 + 2m13

µ 3 = m3 − 3m1 m2 + 2m13

k

−∞

∑

n

( Xi − X ) * fi i =1

u3

n = n σ3 ( xi − x) 2 * fi 3 ∑ i =1 ( ) 2 n n f ( x) = P ( X = x) =   p x q ( n− x )  x  N * p  N * q     x  n − x   f ( x) = P( X = x) = N   n

x−m

σ

n x − mx

σx

≈ N (0,1)

∑

3

;

u4

σ

=

4

n i =1

( Xi − x) 4 * fi

n ∑i =1 ( xi − x) 2

(

n

f ( x) = P( X = x) =

∑P ∑P

−3

n

it

* Qit

i0

* Qit

∑ P *Q ∑ P *Q it

it

it

i0

;

;

)2

λx e −λ x!

∑P ∑P

it

* Qi 0

i0

* Qi 0

∑P ∑P

i0

* Qit

i0

* Qi 0

 → N (0,1)

3