ESPACIOS VECTORIALES Problema 1 Debemos recordar la definición de Espacio Vectorial, donde se considera que una cuaterna ordenada formada por: un conjunto V de vectores (números, matrices de cualquier tipo, funciones, vectores, etc.), un campo de números y dos operaciones con propiedades especiales, cumple con los 10 axiomas de la definición. Por lo tanto, ante cada cuaterna del ejercicio 1 habremos de considerar que cumplan los 10 axiomas, no sólo V, sino el resto de los elementos que componen la cuaterna para dar nuestra respuesta.





Por ejemplo, el apartado a) 3 ,  ,  , . sí tiene estructura de espacio vectorial pues:   es campo.  (+) es la suma de vectores en  3 , que ya vimos, es cerrada y conmutativa. o Al decir cerrada, nos referimos al axioma i) de la definición de espacio vectorial:  u , v  V

u  vV

(la suma de 2 vectores de V  3 es

otro vector de  3 ). o Además sabemos que la suma en  3 es asociativa y conmutativa (axiomas iii y ii respectivamente) o Existe el elemento neutro de la suma   0 , 0 , 0  3 (axioma iv) y es único en  3 o y

cada

vector

v  x , y , z  3

posee

su

vector

opuesto

 v   x ,  y ,  z  3 (axioma v)  (.) es el producto de escalar por vector que vimos en clases de Algebra y Geometría Analítica y cumple con los axiomas vi) al x) de la definición de espacio vectorial:  v  V (al multiplicar un escalar real por un o vi)     ,  v  V vector de V  3 el resultado es otro vector de  3 ). o El producto es distributivo respecto de la suma en  3 y en K   (axiomas vii y viii) o El producto por escalar es asociativo (axioma ix) o Y por definición de producto de un escalar por un vector en  3 y existencia  del neutro del producto en sabemos que 1. v  1. x , y , z  1. x , 1. y , 1. z   x , y , z  v Demostrando que los 10 axiomas de definición de espacio vectorial se cumplen, se puede afirmar que la cuaterna

3 ,  ,  , .

tiene estructura de espacio

vectorial. También se puede decir que  3 es un espacio vectorial real con la suma y el producto por escalar definidos en él.





 , . no es un espacio vectorial, puesto que (y En cambio, el apartado b)  4x3 ,  , C aquí haremos referencia directamente al axioma que no se cumple, en lugar de empezar ordenadamente como en la definición):  No se cumple que el producto sea ley de composición externa (l.c.e.), axioma vi. Si realizamos el producto de un escalar complejo por una matriz de orden 4x3 con elementos reales, el resultado será otra matriz del mismo orden pero con elementos, en general, complejos:

 ,  A   4 x3  C



 A   A ij



/

 1 i  4 ; 1  j  3  A ij   . A ij  C





 , . no representa espacio Esto es suficiente para afirmar que la cuaterna  4x3 ,  , C vectorial alguno, ya que no cumple con uno de los axiomas de la definición.  , colocamos el campo  el axioma vi se cumpliría y Observemos que si en lugar de C con él también todos los otros axiomas de la definición. En ese caso se podrá afirmar que

4x3 ,  ,  , . sí tiene estructura de espacio vectorial.

Nadia Plaza