ELIPSE Definición Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante e igual a (2a).
Elementos de una elipse. Gráfica. - Focos son los puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) - Eje Focal es la recta que pasa por los focos - Eje secundario es la mediatriz del segmento FF’ - Centro es el punto de intersección de los ejes - Radio vectores son los segmentos PF y PF’ - Distancia focal es el segmento F’F de longitud 2c; c es el valor de la semidistancia focal - Vértices son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A(a,0), A’(−a,0), B(b,0), B’(−b,0). - Eje o diámetro mayor es el segmento AA’ de longitud 2a; a es valor del semieje mayor. - Eje o diámetro menor es el segmento BB’ de longitud 2b; b es el valor del semieje menor. - Ejes de simetría son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Relaciones entre los parámetros de la elipse Situando el punto P sobre el vértice A se comprueba: PF + PF’ = 2a Situando el punto P sobre el vértice B se comprueba: b² + c² = a² c Excentricidad. e = , c < a a
Ecuación analítica A partir de la definición de elipse: d (P−F) + d (P−F’) = 2a
aplicando la definición de distancia entre dos puntos
(x + c )2 + (y − 0)2
+
(x − c )2 + (y − 0)2
= 2a
elevando al cuadrado dos veces y ordenando: (a² − c²)·x² + a²·y² = a²·(a² − c²) Colocando el punto P sobre el vértice B, se puede observar que la distancia de P a F es igual a la distancia de P a F’, y como la suma de estas distancia es 2a, cada una de ellas debe ser a
por lo que se puede establecer la siguiente relación entre los parámetros de una elipse a² = c² + b² (T. Pitágoras) de la cual se puede deducir a² − c² = b² sustituyendo en la ecuación de la elipse queda b²·x² + a²·y² = a²·b² dividiendo toda la ecuación por a²·b² se obtiene la ecuación canónica y reducida de la elipse: x2 y2 + =1 a 2 b2 La ecuación de la elipse, también se puede escribir en forma paramétrica x = a ⋅ sen t y = b ⋅ cos t despejando las funciones circulares de cada ecuación, elevando al cuadrado y sumando las dos ecuaciones se obtiene la ecuación canónica de la elipse. Si el centro se desplaza al punto O(xo,yo) la ecuación anterior se transforma en: ( x − x o )² ( y − y o )² + =1 a² b²
Tipos de elipses Sea la elipse:
x2 a2
+
y2 b2
=1
Dos casos: I)
a > b a² = b² + c² Distancia focal = 2c Vértices (a,0),(-a,0) ; (0,b),(0,-b) Focos c F(c,0), F'(-c,0) Excentricidad e = < 1 a
ELIPSE DE EJE HORINZONTAL II)
a
