´ LOS BABILONIOS. EL VALOR DE PI (π) SEGUN Patricia Eugenia Jim´enez Gallegos.
[email protected] BABILONIA. En la antigua Mesopotamia, regi´on que se situ´o en Asia, entre el r´ıo Tigris y el Eufrates, floreci´o una civilizaci´on cuya antiguedad se remonta a 57 siglos aproximadamente: los Babilonios. Los Babilonios fueron, hace mas de 6,000 a˜ nos, los inventores de la rueda. Tal vez de ah´ı provino su af´an por descubir las propiedades de la circunferencia, y esto condujo a estudiar la relaci´on entre ella y su di´ametro. Los sabios de esta civilizaci´on cultivaron la Astronom´ıa y, conociendo que el a˜ no tiene aproximadamente 360 d´ıas, dividieron la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo lo que se llama actulmente el grado sexagesimal. Tambi´en sab´ıan trazar el hex´agono (pol´ıgono de 6 lados iguales) inscrito en un c´ırculo y conoc´ıan una f´ormula para encontrar el a´rea del trapecio. Dejemos atr´as la historia y tratemos de recordar cu´ando fue la primera vez que escuchamos mencionar al n´ umero Pi (π). La mayor´ıa coincidir´ıamos que fue en la escuela primaria, cuando curs´abamos el cuarto o quinto grado aproximadamente. En esos a˜ nos escolares aprendemos a calcular el per´ımetro y el a´rea de varias figuras geom´etricas, entre las cuales se encuentra el c´ırculo.
r
Figura 1: C´ırculo de radio r. 1
Recordemos que la distancia entre el centro del c´ırculo y cualquier otro punto sobre la circunferencia se llama radio (r). Para calcular el a´rea del c´ırculo us´abamos la f´ormula A = πr × r = πr 2 o (Pi por radio al cuadrado) donde π (Pi) era un n´ umero cuyo origen rara vez se nos explic´o, que, seg´ un la mayor´ıa de nuestros maestros, val´ıa aproximadamente 3.1416. En este peque˜ no texto no podemos incluir la extensa historia del n´ umero π (Pi). Mencionemos s´olo que hist´oricamente hubo diferentes formas y procesos desarrollados para calcular una buena aproximaci´on de su valor real. Algunos de estos m´etodos fueron creados por los antiguos Egipcios y los Babilonios e incluso algunos por los matem´aticos modernos. De estos procesos unos usaron m´etodos geom´etricos (a base de estudiar figuras y compararlas), aunque tambi´en hubo procesos anal´ıticos (que usan conceptos matem´aticos m´as complicados). Nosotros veremos uno de los primeros m´etodos que se desarrollaron para determinar el valor de π (Pi). Dicha aproximaci´on se le atribuye a los Babilonios. Los Babilonios calcularon el valor de π considerando que el a´rea del c´ırculo era un valor intermedio entre las a´reas de los cuadrados inscritos y circunscritos a ´el. El proceso era el siguiente: 1.Dibujaban un c´ırculo de radio r, 2.Trazaban un cuadrado inscrito a ´el (azul), 3.Trazaban un cuadrado circunscrito a ´el (rojo). El a´rea del cuadrado rojo es 2r × 2r = 4r × r = 4r 2. Para calcular el a´rea del cuadrado azul, necesitamos primero saber cu´anto mide su lado l. Observemos que el lado l es la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo de lados que miden r. El teorema de Pit´agoras (que ya conoc´ıan los Babilonios) nos proporciona una f´ormula para expresar el valor de l: la hipotenusa al cuadrado (es decir l 2) es igual a la suma √ de los catetos al 2 2 cuadrado (r + r ). De aqu´ı √ se tiene √ entonces que l = 2r2 y por lo tanto el a´rea del cuadrado azul es 2r2 × 2r2 = 2r2.
2
l r r
2r Figura 2: Proceso babil´onico.
Como el a´rea del cuadrado rojo es mayor que la del c´ırculo y la del cuadrado azul es menor que la del c´ırculo, tenemos: 2r2 < a´rea del c´ırculo < 4r 2. El valor entre 2r 2 y 4r2 que los Babilonios tomaban para aproximar el a´rea del c´ırculo era 3r 2 . Ya mencionamos que el a´rea ex´acta del c´ırculo de radio r es A = πr2 , por lo que el valor aproximado que los Babilonios le daban a π era 3. As´ı la diferencia entre el valor de π que ellos tom´aban y el que nosotros us´abamos en la primaria es de ¡ 0.1416 ! que puede resultar no tan grande, ¿no creen?
3
