El problema de Fermat

Enunciado Dados los puntos A, B, C de la figura 1, ¿dónde debe situarse el punto P para que la suma de distancias PA+PB+PC sea mínima? Solución Se construyen los tres triángulos equiláteros sobre los lados de ABC y hacia el exterior de éste, como en la figura 3: Figura 1

ABC´ de lado AB, BCA´de lado BC y ACB´ de lado BC. El punto buscado P es la intersección de las tres rectas AA´, BB´ y CC´.

Demostración Situamos P en cualquier posición, como por ejemplo la que se muestra en la figura 2. A continuación, tomamos el triángulo BPA y lo giramos 60º alrededor de B, obteniendo el triángulo BQC´. Igualando los correspondientes lados de esos dos triángulos resultan BP=BQ, PA=QC´, BA=BC´ Entonces, el triángulo BAC´ tiene dos lados iguales y el ángulo comprendido mide 60º, por lo cual cada uno de los otros dos ángulos también deberá medir 60º y por ello es un triángulo equilátero. Análogamente ocurre con el triángulo BPQ, por lo que también será equilátero. Se deduce PB=PQ. Figura 2

Por tanto, la suma de distancias PA+PB+PC es igual a QC´+PQ+PC, que es la longitud de la línea quebrada de extremos C y C´ que pasa por P y Q. El problema consiste en situar P de forma que esta longitud sea lo menor posible, y eso ocurrirá cuando P y Q estén alineados con C y C´, pues entonces la línea quebrada se hace recta y dicha longitud coincide con la distancia entre C y C´. Así, deducimos que el punto P debe situarse en algún lugar de la recta CC´. Para hallar el punto C´, por lo visto anteriormente, basta construir el triángulo equilátero de lado AB, hacia el exterior del triángulo inicial ABC.

Si repetimos un razonamiento análogo girando ahora el triángulo BPC alrededor de C, también 60º, llegamos a expresar la suma de distancias PA+PB+PC como la longitud de una línea quebrada de extremos A y A´. Como antes, llegamos a la conclusión de que la longitud de dicha línea se hace mínima al situar el punto P en algún lugar de la recta AA´. El punto A´ se halla construyendo el triángulo equilátero de lado BC, hacia el exterior del triángulo inicial ABC. Uniendo ambos razonamientos, vemos que el punto P que hace mínima la suma de distancias debe estar situado simultáneamente en las rectas AA´ y CC´, por lo que el punto buscado es la intersección de ambas.

Figura 3

Por otra parte, también puede probarse que P debe estar situado en la recta BB´, (se deja como ejercicio detallar el razonamiento) con lo cual se completa la demostración. 

NOTA Con los razonamientos anteriores se han demostrado, además, las siguientes propiedades: 1. Que para el triángulo ABC las tres longitudes AA´, BB´ y CC´ son iguales. 2. Que la suma de distancias mínima PA+PB+PC es igual a cualquiera de ellas.