´ EL CAMPO MAGNETICO Roberto Oscar Pautasso El magnetismo natural Desde la antig¨ uedad se conoce la magnetita, un mineral natural que atrae al hierro (pero no a otros metales). Dos trozos de magnetita interact´ uan mediante una fuerza que es alternativamente atractiva o repulsiva dependiendo de la orientaci´ on relativa entre ellos. La magnetita, tallada en forma de aguja y suspendida horizontalmente de su punto medio, constituye la versi´on primitiva de la br´ ujula: uno de los extremos de la aguja apunta siempre al polo norte geogr´afico, raz´on por la cual se lo llama polo norte de la aguja, mientras que su otro extremo (polo sur) apunta siempre al sur geogr´afico. La causa de ´este comportamiento est´a en que la propia Tierra act´ ua como si fuera un im´an natural de proporciones enormes. La br´ ujula es la sonda natural para detectar el magnetismo. Se comprueba experimentalmente que en las inmediaciones de un hilo conductor recorrido por una corriente continua, la br´ ujula se orienta tangencialmente a las circunferencias conc´entricas con el hilo. M´as generalmente, se comprueba que toda corriente el´ectrica genera efectos magn´eticos sobre las agujas magn´eticas.

Fuentes del campo magn´ etico Al dividir transversalmente una aguja magn´etica en dos mitades, se verifica que cada una de ellas se comporta como una nueva aguja magn´etica con sus dos polos. Tambi´en se comprueba f´acilmente que dos polos del mismo tipo se rechazan, mientras que los del tipo opuesto se atraen. Entonces vale para los polos magn´eticos una regla semejante a la que rige entre cargas el´ectricas. Pero hasta donde sabemos no es posible aislar un polo magn´etico y entonces debemos renunciar a describir la fuerza magn´etica mediante el auxilio de cargas magn´eticas. Resumiendo: no hay monopolos magn´eticos. Con el tiempo se lleg´o a admitir que la u ´nica fuente del magnetismo son las cargas en movimiento. A´ un el

magnetismo de la magnetita puede explicarse por las corrientes el´ectricas at´omicas permanentes que la recorren en su interior. La interacci´on magn´etica ocurre entre cargas en movimiento, por ejemplo entre dos corrientes el´ectricas. Un im´an no tiene ninguna influencia sobre una carga que se encuentre en reposo respecto a ´el. Consecuentemente la fuerza magn´etica sobre una carga en movimiento depende de la velocidad de ´esta. A causa de ´esta dependencia con la velocidad, la fuerza magn´etica no es conservativa.

Definici´ on del campo magn´ etico Al igual que lo hemos hecho con la fuerza el´ectrica, vamos a describir ahora la fuerza de interacci´on magn´etica entre una corriente y una carga en movimiento, con el auxilio de un ente vectorial intermedio, el campo magn´etico, que denotaremos con B. Seg´ un ´esta descripci´on, una corriente el´ectrica estacionaria determina en cada punto de su espacio circundante un campo magn´etico que eventualmente afectar´a a cualquier carga en movimiento. El conjunto de observaciones relativas a ´esta clase de problemas ha llevado a la siguiente formulaci´on para la fuerza magn´etica sobre la carga el´ectrica q en movimiento: F = q v × B.

(1)

Aqu´ı v es la velocidad de la carga el´ectrica. Tomaremos a la ec. (1) como la definici´ on del campo magn´etico B. Su determinaci´on supone dos pasos. Primero, establecemos la direcci´on del vector B en el punto P con el auxilio de una aguja magn´etica. Segundo, fijamos el vector velocidad de la carga en el punto P de modo que su direcci´on sea perpendicular a la del campo magn´etico. Entonces usando la ec. (1) determinamos el m´odulo del campo magn´etico con la f´ormula B = F/q v.

Fuerza de Lorentz

Veamos ahora su descripci´on cuantitativa. Hemos dicho que al llegar al equilibrio, la fuerza neta transversal que obra sobre cada electr´on de conducci´on es nula, entonces:

Lo dicho hasta aqu´ı supone haber eliminado cualquier fuente de campo el´ectrico. Si adem´as de corrientes el´ectricas estacionarias hay cargas el´ectricas en reposo, la fuerza total que obra sobre la carga en movimiento es: F = q E + q v × B. (2)

qEt + qv × B = 0, donde q es la carga del electr´on. En consecuencia, el campo el´ectrico transversal al conductor es, en el equilibrio:

y se la llama fuerza de Lorentz.

Et = −v × B.

Fuerza sobre un conductor

Por otro lado la densidad de corriente es: Experimentalmente se comprueba que cuando un hilo conductor, recorrido por una corriente longitudinal, est´a inmerso en un campo magn´etico perpendicular al conductor, aparece sobre ´el una fuerza transversal.

J = n q v, donde n es el n´ umero de electrones libres por unidad de volumen en el conductor y q < 0 es la carga del electr´on.

Supongamos que el conductor sea una cinta met´alica de secci´on rectangular. Situemos la cinta de modo que su dimensi´on longitudinal coincida con el eje x y su dimensi´on transversal con el eje y (el espesor de la cinta en la direcci´on z). Aplicamos un campo el´ectrico longitudinal E orientado hacia la derecha, lo que en virtud de la ley de Ohm determina una corriente el´ectrica longitudinal. Apliquemos ahora un campo magn´etico B perpendicular al plano xy y saliente de ´el.

Eliminando v de las dos u ´ltimas ecuaciones resulta: Et = −

1 J × B. nq

(3)

Sobre cada ion positivo de la red cristalina del conductor act´ ua la fuerza el´ectrica q ′ Et , siendo q ′ > 0 la carga el´ectrica del ion. Entonces la fuerza elemental que obra sobre una peque˜ na longitud dL de conductor se determina mediante la f´ormula:

Suponemos que los portadores de carga el´ectrica son los electrones libres del conductor. La fuerza magn´etica obra entonces sobre los electrones libres y no sobre los iones positivos que est´an fijos a la red cristalina del conductor y en reposo en la referencia del laboratorio. Debido a su carga negativa, la velocidad media v de los electrones tiene sentido opuesto al campo E. La fuerza magn´etica lleva, por su parte, a una acumulaci´on de cargas negativas en el ribete inferior de la cinta y a una correlativa acumulaci´ on de cargas positivas en el ribete superior. Como consecuencia aparece en el interior de la cinta un campo el´ectrico transversal (orientado hacia abajo) que crece en la medida en que la fuerza magn´etica lo supera en intensidad. Al llegar al equilibrio, la fuerza el´ectrica transversal sobre los electrones iguala a la fuerza magn´etica. Desde entonces la direcci´on de la velocidad de los electrones vuelve a ser horizontal y hacia la izquierda. El transitorio que lleva al equilibrio es muy breve. El campo el´ectrico transversal act´ ua ahora sobre los iones de la red cristalina del conductor, lo que se registra macrosc´opicamente como una fuerza orientada hacia ´ abajo sobre la cinta conductora. Esta es la esencia del fen´omeno.

dF = (n′ s dL) q ′ Et . Aqu´ı n′ es la densidad de iones positivos en el conductor, q ′ es la carga el´ectrica de cada uno de ellos y s es la secci´on del conductor. Reemplazando en la u ´ltima f´ormula la expresi´on del campo el´ectrico transversal, ec. (3), resulta: dF = −s dL

n′ q ′ J × B. nq

Pero n = n′ puesto que la materia es el´ectricamente neutra. Y por la misma raz´on q = −q ′ . Consecuentemente: dF = s dL J × B. El producto de la densidad de corriente por la secci´on del conductor es la corriente el´ectrica. Es costumbre asignar el car´acter vectorial de la densidad de corriente no a la la corriente misma sino al hilo conductor. Teniendo en cuenta esto, la fuerza elemental que obra 2

sobre una peque˜ na longitud dL de hilo conductor recorrido por una corriente i en presencia de un campo magn´etico B se calcula como:

corriente continua i. Si sobre ella solamente act´ ua un campo magn´etico uniforme B—es decir: si no hay otras fuerzas presentes—entonces la espira gira sin trasladarse.

dF = i dL × B.

Ilustremos esta afirmaci´on con un caso particular. Consideremos una espira met´alica cuadrada de lado L y situada en el plano x, y. El v´ertice inferior izquierdo de la espira cuadrada coincide con el origen de coordenadas. Adem´as, los lados de la espira son paralelos a los ejes coordenados. Supongamos que el campo magn´etico tiene la direcci´on y sentido del versor i. Finalmente supongamos que la corriente el´ectrica continua, circula por la espira cuadrada en el sentido horario.

El hilo conductor est´a orientado seg´ un la corriente positiva que lo atraviesa. Una regla mnemot´ecnica para recordar ´esta f´ormula consiste en partir de la fuerza de Lorentz sobre una carga elemental dq, a saber: dF = dq v × B. Sustituyendo en ella v por dL/dt y teniendo en cuenta que dq/dt es la corriente, se obtiene la expresi´on deseada.

Espira en un campo magn´ etico uniforme Entonces, la fuerza sobre cada uno de los dos lados paralelos al eje x resulta ser nula (pues la corriente y el campo magn´etico son paralelos). La fuerza sobre el lado vertical derecho de la espira, vale:

Mostremos primero que, dada una espira de cualquier forma, recorrida por una corriente continua e inmersa en un campo magn´etico uniforme, la fuerza neta que obra sobre ella es nula. Dicho de otro modo: en las circunstancias f´ısicas apuntadas, una espira met´alica— cualquiera sea su forma—no se traslada.

Fd = i L × B = i L B k. Mientras que la fuerza sobre el lado vertical izquierdo, vale: Fi = i L × B = −i L B k.

Para demostrarlo, consideremos una espira met´alica de cualquiera forma, recorrida por una corriente continua i, situada en el espacio donde existe un campo magn´etico uniforme B. No hay presentes otras fuerzas. La fuerza elemental que obra sobre un elemento de espira dL cualquiera, vale:

Vemos que sobre la espira cuadrada act´ ua un par de fuerzas antiparalelas y de igual m´odulo, es decir, act´ ua una cupla que efectivamente provoca el giro de la espira alrededor de un eje vertical. Calculemos el momento que ejerce esta cupla sobre la espira. La direcci´on y sentido de esta cupla coincide con −j. Por otra parte, el m´odulo de la cupla es el producto de la distancia entre las rectas de acci´on de las dos fuerzas—distancia que, en nuestro caso, es el lado L de la espira—por el m´odulo de una cualquiera de las dos fuerzas. Consecuentemente, el momento de la cupla es:

dF = i dL × B. Integramos (sumamos) ahora los vectores elementales de ambos miembros de la igualdad, barriendo todos los elementos de la espira. La suma del primer miembro da la fuerza resultante F que obra sobra toda la espira. Teniendo en cuenta que tanto i como B son constantes y que el producto vectorial es distributivo respecto a la suma vectorial, podemos escribir: (I ) F=i dL × B.

M = −i S B j, siendo S = L2 , el ´area de la espira. De manera m´as compacta: M = i S × B.

Pero la suma vectorial representada por la integral del segundo miembro, resulta en el vector nulo. En efecto, basta observar que los vectores elementales dL se distribuyen sobre una curva cerrada (determinada por la forma de la espira). En consecuencia, la fuerza neta sobre la espira es cero.

Esta expresi´on que nosotros obtuvimos para el caso particular de una espira cuadrada, es v´alida para una espira de cualquier forma.

Mostremos ahora que a pesar de que la espira no se traslada, s´ı gira. Podemos considerar, en general, una espira met´alica de cualquier forma, recorrida por una 3