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Ecuaciones que cambiaron nuestra historia Texto Yaiza Saiz
Las leyes nos gobiernan, algunas son caprichosas y sobre todo efímeras; otras, como las científicas, nos acompañan siempre y marcan nuestra vida: desde la ley de la gravedad de Newton hasta el modelo de BlackScholes, usado por los banqueros para predecir el comportamiento del mercado financiero
Imagine que, como cada mañana, su alarma suena a las 8 h de la mañana. Al escuchar el sonido del despertador, mira su reloj de pulsera para asegurarse de que aún puede aprovechar esos últimos cinco minutos de gloria, o sueño extra, que tan bien sientan al cuerpo. Ni siquiera ha llegado a saltar (es un decir) de la cama, y ya son por lo menos seis las ecuaciones matemáticas que han hecho posibles estas dos escenas cotidianas. Por un lado, el chip de memoria que almacena la hora en su reloj jamás podría haber sido inventado sin la ecuación fundamental de la mecánica cuántica. Por otro lado, gracias a las cuatro ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell, el ser humano pudo fijar el tiempo en una señal de radio que nos informa constantemente de la hora en la que vivimos. Y esta señal electromagnética –el tiempo que aparece en la pantalla de nuestro reloj–, sólo se puede desplazar de acuerdo con lo que se conoce como la ecuación de onda. Estas seis fórmulas matemáticas no sólo cambiaron el despertar suyo y el de toda la humanidad, sino que, junto a otras, han cambiado nuestra historia. DAVID STANLEY
Si las expresiones matemáticas nunca hubieran existido, el mundo sería muy distinto a tal como lo conocemos hoy. “Internet utiliza constantemente
TEOREMA DE PITÁGORAS
Significado En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Relevancia Gracias a esta ecuación, que nos explica la relación entre los tres lados
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EN CASA
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de un triángulo rectángulo, el hombre aprendió a calcular distancias en términos de coordenadas. “Abrió la posibilidad a medir en la tierra, a navegar por los mares y a edificar en arquitectura”, afirma Claudi
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Alsina. Y aunque el teorema parezca ser un revelación única del mundo occidental (su descubrimiento recae en la escuela pitagórica de la antigua Grecia), “otras culturas que no tuvieron conexión entre sí también
descubrieron esta relación”, añade el matemático. Los egipcios utilizaban la fórmula para construir sus pirámides triangulares, y en el Chou Pei, una obra matemática china escrita entre el 500 y el 300 a.C., también
se recoge el teorema. Aplicaciones Fue vital para el trazado de mapas y posteriormente para el desarrollo del sistema de navegación por satélite (GPS), presente en teléfonos móviles y otros equipos.
Uno de los triángulos más bellos del mundo, una cara de la pirámide de Kefrén,
en Giza
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E = mc 2
¹· H =0
2
¹· E =0
2
] u = c2 ] u 2 2 ]x ]t
M2 ps
F (x) =
ECUACIONES DE MAXWELL
TEORÍA DE LA RELATIVIDAD
Significado En cualquier poliedro convexo, cara más vértices igual a aristas más dos. Relevancia Formulada por el alemán Leonhard Euler en 1750, describe la forma o estructura de un espacio, independientemente de la alineación. “Matemáticamente es de una gran belleza y sorpresa, pues esta relación numérica no sirve sólo para poliedros, sino que puede valer para infinitas figuras geométricas”, asegura Alsina. Fue fundamental para el desarrollo de la topografía y es una herramienta esencial para el trabajo de ingenieros y biólogos. Aplicaciones “Tiene múltiples aplicaciones, no sólo en geometría o topografía, sino también a la hora de definir y delinear grandes redes de transporte”, explica el matemático. Además, se utiliza para comprender el comportamiento y función del ADN.
Significado En una curva en forma de campana, la probabilidad de observar un valor concreto es mayor cerca de la media, y disminuye rápidamente a medida que uno se aleja. Relevancia Ecuación de Abraham de Moivre, hallada en 1733. Es la base teórica imprescindible de la estadística moderna y de la sociología. “Se aplica para estudiar distribuciones que ayuden a tomar decisiones sobre algo”, aclara Alsina. Permite hacer sondeos políticos, estudios para decidir en qué punto es mejor construir un centro médico según la densidad de población (por ejemplo). Aplicaciones Según explica Claudi Alsina, “gracias a esta fórmula es posible regular las colas en las autopistas, las acumulaciones de tráfico en un determinado punto o el tiempo de espera para pagar en las cajas de un supermercado, entre otros”.
Significado Si algo oscila, afecta a su entorno propagándose como una onda. Esta vibración puede transmitirse por el agua, la acústica del aire o la luz. Relevancia El matemático suizo Daniel Bernoulli y su colega francés Jean D’Alembert fueron los primeros en describir este concepto en el siglo XVIII al estudiar cómo vibraban las cuerdas de un violín. “Es una de mis ecuaciones favoritas porque, aunque explica muchos aspectos de la música –afirma Stewart–, también describe ondas de todo tipo”. La ecuación de onda generaliza la forma en que se propaga el sonido y la electricidad o cómo ocurren los terremotos. Aplicaciones Las petroleras, por ejemplo, activan explosivos en la tierra para luego poder analizar los datos de las ondas de sonido y así determinar la presencia de formaciones geológicas.
Significado Demuestran que los campos eléctricos y magnéticos viajan en ondas que se desplazan por el espacio a la velocidad de la luz, lo que quiere decir que la electricidad y el magnetismo no son dos fenómenos aislados. Relevancia Estas cuatro ecuaciones, descubiertas por físico escocés James Clerk Maxwell a finales del XIX, describen y predicen el comportamiento de todos los fenómenos electromagnéticos. Según Carlos Muñoz, este estudio es importantísimo porque “unificó dos teorías físicas, la de la electricidad con el magnetismo, dando lugar a una única teoría al descubrir que la luz es una onda electromagnética”. Aplicaciones Casi todas las tecnologías que usamos a diario se basan en este grupo de ecuaciones. “De aquí han surgido las ondas de radio o los móviles”, añade el físico teórico. También la televisión, el radar, el wi-fi...
Significado La energía es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado. Relevancia Cuando Einstein la formuló en 1915 nadie pensó que, tanto ecuación como autor, se convertirían en icono de la ciencia moderna del siglo XX. “Es importantísima porque lo que define es que energía y masa son lo mismo”, asegura Muñoz. Explica la transformación en energía de los cuerpos que viajan cerca de la velocidad de la luz, cambiando nuestra visión de la materia y sustituyendo las leyes de Newton. Aplicaciones Sirvió de base para el desarrollo posterior de la energía atómica, las plantas nucleares y las bombas. Ha sido crucial para la construcción de los aceleradores de partículas, como el GHC de la Organización Europea para la Investigación Nuclear, donde se investigan los orígenes del universo.
THOMAS WINZ
LA ECUACIÓN DE ONDA
NASTASIC
DISTRIBUCIÓN NORMAL
ESTHER MOLINÉ
STOCKTREK
Significado Fuerza es igual a masa por aceleración. Relevancia La ecuación del físico inglés Isaac Newton, publicada en 1687, “inicialmente explicaba por qué un planeta orbita alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, pero la misma ecuación es aplicable a cualquier número de cuerpos –explica el matemático Ian Stewart–; puede describir la órbita de todo el sistema solar o de una galaxia entera”. Con esta ley se pueden predecir los eclipses, las órbitas planetarias, la reaparición de cometas y la rotación de las galaxias. Aplicaciones Se usa para diseñar sondas espaciales y “ayuda a calcular nuevas trayectorias eficientes para los satélites”, añade Stewart. A través de este cálculo es posible ahorrar combustible en el despegue y desplazamiento de las misiones espaciales.
LA FÓRMULA DE EULER
RALF HETTLER
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
BJORN HOLLAND
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mm F=G d
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V + F =E + 2
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e
1 ]H ¹ xE=- c ]t ¹ x E = 1c ]]Et
(x - m) 2s2
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ecuaciones para intercambiar datos de forma fiable, el sistema de navegación (GPS) de nuestros coches necesita de al menos cuatro ecuaciones distintas para funcionar, y escuchar la radio o ver la televisión nunca hubiera sido posible sin las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell”, explica Ian Stewart, catedrático de Matemáticas en la Universidad de Warwick (Inglaterra), miembro de la Royal Society y autor del libro 17 ecuaciones que cambiaron el mundo (Crítica). “Hay muy pocas actividades cotidianas que no revelen ecuaciones. ¡Incluso la compra de verduras por parte de una cadena de alimentación se basa en ecuaciones estadísticas para comprobar qué variedades de estos vegetales son mejores!”, añade el matemático. Una ecuación siempre actúa como puente, importando más bien poco lo grande que sea el abismo entre dos ideas en los lados opuestos de un símbolo =. Sin ecuaciones viviríamos de nuevo en un mundo hoy en día inimaginable. Tendríamos que olvidarnos de hablar por el teléfono móvil, de asistir a una reunión en avión, de saber si mañana lloverá o por el contrario hará sol e, incluso, de poder pulsar un interruptor para que se haga la luz. Del wi-fi, de internet, de la tele, en definitiva de toda la tecnología. “Las ecuaciones están por todos lados, pero no se ven. Nosotros vemos el móvil, pero no vemos las matemáticas que hay dentro”, asegura Manuel de León, director del Icmat (Instituto de Ciencias Matemáticas), investigador del CSIC y único español miembro del comité ejecutivo de la Unión Matemática Internacional. El sistema financiero, las redes de transporte público, los sistemas informáticos que gestionan el tráfico de las ciudades, el abastecimiento de productos… todo se gestiona con ecuaciones. Sin ellas no existirían las ciencias sociales, la economía, la estadística y quizás tampoco la sociología. “Leonardo Da Vinci decía que ninguna ciencia se puede considerar ciencia si no tiene contenido matemático –recuerda Manuel de León–. De hecho, no podemos entender nada del mundo hasta que no ponemos las matemáticas detrás”. Tampoco sin ecuaciones podríamos entender nuestra vida cotidiana. Según Claudi Alsina, catedrático de Matemáticas de la UPC (Universitat Politècnica de Catalunya) y autor de varios libros de divulgación como Vitaminas matemáticas o El club de la hipotenusa (Ariel), “la ecuación de levantarse
OTRAS ECUACIONES RELEVANTES
Transformada de Fourier Se utiliza para comprimir información en el formato de imagen JPEG –uno de los más usados en la fotografía digital– y para descubrir la estructura de las moléculas, información vital para combatir males como el cáncer y alteraciones genéticas.
MATEMÁTICAS PARA EXPLICAR LA CRISIS O EL CAMBIO CLIMÁTICO
por la mañana afortunadamente no existe, pero no salimos de casa sin las matemáticas incorporadas. Preparamos nuestra agenda diaria de acuerdo con ecuaciones, con una estructura matemática”. Gran parte de lo que hacemos en la vida es “resolver problemas”, dice el matemático, y las matemáticas son el camino para resolverlos. “Algunos de los problemas que se nos plantean incluyen números, otros no. La lógica, el razonamiento, el argumentar, no necesitan de un cálculo, pero también son una parte de las matemáticas”, afirma Alsina. Ese lenguaje tan abstracto e incomprensible para muchos (el lenguaje matemático) no sólo explica el día a día del mundo, sino también el del universo. “Fórmulas tan sencillas y clásicas como las ecuaciones de Newton revelan por qué nos movemos por el suelo y al saltar caemos de nuevo sobre él –explica Carlos Muñoz, catedrático de Física Teórica de la UAM (Universidad Autónoma de Madrid) y director del Instituto de Física Teórica del CSIC-UAM–. Si saltásemos sobre la Luna nos elevaríamos mucho más alto porque su masa es más pequeña y hay mucha menos atracción gravitacional”. Toda ecuación es importante, y nadie puede certificar que alguna sea más relevante que otra, pero algunas fórmulas clave están presentes en la cabeza de todos por haber contribuido a cambiar la historia de la humanidad. s
Ecuación de Navier-Stokes Permitió la fabricación de vehículos aerodinámicos y el desarrollo de los actuales jets de pasajeros. Es fundamental en medicina para el estudio del flujo sanguíneo y a nivel ambiental para el análisis de la polución.
Ecuación de Schrödinger Revolucionó el mundo de la física a pequeña escala y fue esencial para el desarrollo de semiconductores y transistores, base de la tecnología informática más moderna.
Las ecuaciones ayudan a hacer más fácil nuestra vida cotidiana, pero también nos proporcionan información sobre los fenómenos que suceden a nuestro alrededor. Comprendemos el cambio climático gracias a las matemáticas y actuamos junto a ellas frente a los desastres naturales. Ian Stewart recuerda, por ejemplo, que “cuando el volcán islandés Eyjafjalla entró en erupción en el 2010 produciendo nubes de polvo que impedían el tráfico aéreo, las ecuaciones se utilizaron para seguir el movimiento de esas nubes, ya que era imposible observarlo directamente”. También las ecuaciones pueden predecir “cómo la lluvia radiactiva, consecuencia por ejemplo del desastre de Fukushima, se extenderá y cómo decaerá con el tiempo”, añade el matemático. Casi todas las catástrofes naturales se pueden explicar a través de las matemáticas, “el problema deviene en poder prevenir cuándo van a ocurrir esas catástrofes –advierte Manuel de León–; la tierra no está pasiva y no podemos controlarla, pero si lo hacemos bien en un futuro sí que podremos y, además, será factible aprovechar a nuestro favor la gran cantidad de energía que generan esos fenómenos”. En el último año también se ha culpado a una ecuación de ser la responsable del derrumbe del sistema financiero. Supuestamente el mal uso del modelo Black-Scholes propició una coartada matemática para la creación de inmensos mercados financieros globales que finalmente estallaron. “Se ha culpabilizado a los matemáticos de haber desarrollado los instrumentos que pos-
Teoría de la información de Shanon Contribuyó al campo del desciframiento de códigos y al desarrollo de comunicaciones seguras. Se utiliza para detectar errores en códigos tanto en internet como en criptografía, neurobiología o códigos moleculares.
teriormente han servido al mercado de valores –explica De León–; pero la culpa no la tiene una ecuación, sino el mal uso de las cosas. ¿O acaso Einstein, al formular la teoría de la relatividad, fue responsable de la invención de la bomba atómica?”, se pregunta De León. Las matemáticas pueden prever como funcionará el mundo, pero no tienen la verdad absoluta sobre cada situación futura. “Algunos economistas están trabajando ahora en la mejora de ecuaciones para poder controlar el sistema económico global con sensatez – afirma Stewart –, pero hay mucha resistencia por parte de la industria, que no quiere ser controlada”.
LAS ECUACIONES RIGEN NUESTRO DÍA A DÍA Y EL DEL UNIVERSO ANTES DE SALTAR DE LA CAMA YA SE HAN ‘DESPERTADO’ HASTA SEIS ECUACIONES
El modelo de Black–Scholes Es especialmente polémico porque algunos expertos dicen que el uso indebido de esta fórmula es el responsable de la actual crisis financiera.
