Curso de Apoyo en Matemática 4.2.4. Ecuación de la recta Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta. Para m , n ∈ R constantes, podemos interpretar una función lineal y = mx + n como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que denominaremos ecuación de la recta.

Ecuación de la recta Forma explícita de la ecuación de la r e cta

A la expresión y = mx + n , donde m, n ∈ R son constantes, la denominamos forma explícita de la ecuación de la recta.

Ejemplo: y=

Forma implícita de la ecuación de la r e cta

2 8 x+ 3 3

Diremos que para a , b , c ∈ R constantes, ax+by+c=0 es la forma implícita de la ecuación de la recta.

Ejemplo: La misma recta del ejemplo anterior se puede escribir como 2 x - 3 y + 8 = 0. x=2 es la ecuación de la recta vertical cuyo gráfico es: y

1

2

3

x=2

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x

Observemos que...

si b = 0 y a ≠ 0, la ecuación implícita de la recta se reduce a a x + c = 0, que representa a la recta paralela al eje y , c x=a la cual, como vimos anteriormente no representa una función y = f (x) .

Función Lineal y Ecuación de la Recta

y

Si tenemos como datos dos puntos (x 0 , y0 ), (x 1 , y1 ) pertenecientes a una recta, podemos construir la ecuación de la misma.

y0

Observemos que...

y1

x0

x

su pendiente es m =

x1

y − y0 y − y0 = 1 . x − x0 x1 − x 0

Así,

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

y1 − y 0 y − y 0 = x1 − x 0 x − x0 es la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 )

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 10) Dadas las siguientes expresiones, señalar con una cruz las ecuaciones asociadas a una función lineal de una variable: a) ¨ 10 x + 8 y - 30 = 0

b) ¨ 2 x + 3 y - z = x + y

c) ¨ 4 (h + 3) - 5 t + 8 (t - h) = 4

d) ¨ x 2 + y2 = 4

e) ¨ 2 t 2 - 5 t = 0

f) ¨

1 1 = 1 x y

11) Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales: a) y = - 4 x + 1 x y + =1 d) 2 3 3 4 g) x = - 3

b) y = - 5

c) x + y = 0

e) 3 x - 2 y + 1 = 0

f)

x y + =1 2 −3

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Curso de Apoyo en Matemática 12) Dar la expresión en forma explícita de las rectas graficadas a continuación, luego indicar en qué casos se trata de un función de proporcionalidad directa: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

13) Hallar el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas: x y a) 3 x - y + 2 = 0 b) =1 c) 2 y - 3 = 0 2 2 Página 64

Función Lineal y Ecuación de la Recta

14) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje x en el punto de abscisa 3 y forma con él un ángulo de 60º.

15) Hallar el valor de k en las siguientes ecuaciones a fin de que cada recta pase por el punto indicado: y a) 4x + 3y - k = 0 A ( 1 , -2 ) b) - k x + -1=0 B(3,0) 2 16) ¿Cuánto debe valer un número real k para que el punto (-1 , 2) se encuentre en la recta 7 y - 7 = 0 ?. Graficar.

kx+

17) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (-2 , -1) y (-4 , -3) c) (6 , -1) y (-2 , 4)

b) (3 , 5) y d) (1 , -5) y

(7 , -2) (10 , 11)

18) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente 5 y -1. Graficar.

19) Averiguar si los puntos (0 , 2) , (1 , -1) y (-1 , 5) están alineados. 20) a) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1 , -2). 1 b) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente − y pasa por el punto P (-4 , 7). 2 1 1 3 c) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto P ( , ). 4 3 5 21) Una recta que pasa por P(3 , -2) , forma un ángulo de 60º con el semieje positivo del eje x . Encontrar su ecuación y graficar. 22) a) Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que y=3x+2 b) ¿Cuáles son paralelas a ella?. i. y = 3x -

1 3

iii. y = 3 ( x + 2 ) v. y = 4 x + 2

1 ii. y = 8 x +  4  iv. y = 7x + 2 vi. y = 3x + 4 Página 65

Curso de Apoyo en Matemática

23) Un kilogramo de papas cuesta $0,65. Escribir y representar la función que define el valor de las papas en función de los kilogramos comprados.

24) Cada una de las siguientes tablas corresponde a una función. Para cada una de ellas: a) Completar la tabla de tal forma que la función represente una función de proporcionalidad directa. b) Escribir una fórmula que relacione los elementos de la primera fila con los de la segunda. c) Representar los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas. Tiempo de marcha (en horas) Espacio recorrido (en km.)

1 80

Capital invertido (en pesos) Interés percibido (en pesos)

1000 100

Masa del aluminio (en gramos) Volumen del aluminio (en cm3 )

2

3 400 800 50

500

250 12.5

2,7 1

75 13,5

2

3

25) El estudio de cierta tabla permite establecer que: f (3) = 7

f (8) = 16,2

f (11) = 26

¿Representa dicha tabla una función de proporcionalidad directa?. Justificar. 26) La siguiente tabla representa la relación existente entre el valor de los lados y el perímetro de tres cuadrados: Lado (l) 1 2 3

Perímetro (p) 4 8 12

Responder: a) ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa?. b) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad?. c) Expresar la función mediante una fórmula y representar gráficamente.

27) Para distintos trozos de un mismo material, el peso es directamente proporcional al volumen. a) Completar los cuadros y las fórmulas para cada uno de los materiales indicados.

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Función Lineal y Ecuación de la Recta Madera de pino: Volumen (en dm3 ) Peso (en kg.)

1

Corcho sintético:

5

10

Volumen (en dm3 ) Peso (en kg.)

20

9

P = ........ . V

1

Granito:

5

10

Volumen (en dm3 ) Peso 60 (en kg.)

20

P = 0,2.V

5

10 30

3

P = ....... . V

b) Representar en un mismo gráfico las tres situaciones. c) Observar en la gráfica: i. ¿Qué pesa más?; ¿3,5 decímetros cúbicos de madera o 3,5 decímetros cúbicos de granito?. ii. Si se tienen 7 kg. de corcho sintético y 7 kg. de madera, ¿cuál es el material que más volumen tiene?. d) Si se dispone de un recipiente cuya capacidad es de 6 decímetros cúbicos, ¿4 kg. de qué material (corcho - madera - granito) molido, puede guardar en dicho recipiente?. En cada caso la constante de proporcionalidad representa la densidad del material (peso por unidad de volumen); gráficamente, la misma, es la pendiente de la recta. 28) Una empresa de transportes establece sus tarifas de este modo: $ 0,10 por km recorrido y $ 5 por paquete o maleta. ¿Cuánto costará trasladarse con una maleta a 100 km?. ¿Y a 200 km?. a) Completar la siguiente tabla considerando que se lleva una maleta: Distancia (en km.) Precio (en pesos)

100

150

200

250

300

b) Expresar por fórmula la función que relaciona número de km y precio del traslado. c) Analizar la misma situación pero trasladándose con dos maletas. d) Representar en un mismo gráfico las dos situaciones (viajar con una maleta - viajar con dos maletas). Interpretar. e) Proponer cómo viajar de tal forma que la función que relacione número de km. y precio del traslado sea de proporcionalidad. Incluir en la gráfica anterior su representación e indicar su fórmula. Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas :

Empresa A Empresa B

Precio por km

Precio por maleta

Ecuación sin maletas

Ecuación con una maleta

0,15

2,5

y = 0,15 x

y = 0,15 x + 2,5

0,06

7

Representar gráficamente; decidir qué empresa contratar para gastar lo menos posible. Página 67