Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES “Los números naturales son aquellos números exactos; es decir, que no tienen parte decimal ni fraccionaria; además son todos positivos”.
Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración que usamos actualmente es el sistema decimal y tiene las siguientes características: a) Está constituido por 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Combinando estos números podemos formar infinitos números: 25, 34, 65, 79, etc… b) Además es un sistema de numeración posicional porque cada cifra de un número tiene un valor posicional que depende del lugar que ocupe:
De billón
De mil de millón
De millón
De mil
Simples
Unidad
Centena
Decena
Unidad
Centena
Decena
Unidad
Centena
Decena
Unidad
Centena
Decena
Unidad
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.000.000.000.000
Lectura y escritura de números naturales a) 149 = ciento cuarenta y nueve. b) 1087 = mil ciento ochenta y siete c) 42.105 = cuarenta y dos mil ciento cinco.
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ Recta numérica
Para representar números naturales se utiliza una línea recta enumerada, donde se van marcando las cantidades que se quieren representar
a) 4, 7, 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b) 2, 5, 9
Operaciones con números naturales Suma: a la operación suma también se la llama adición. Se suman las cantidades, si hay mas de dos podemos ir sumándolas de dos en dos.
5 7 12 12 15 8 27 8 35 132 335 467 142 265 146 407 146 553
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ La suma cumple con las siguientes propiedades:
Asociativa:
(7 4) 5 7 (4 5) 11 5 7 9 16 16 Conmutativa:
74 47 11 11 Elemento Neutro:
90 9
Resta: a la operación resta también se la llama sustracción.
12 7 5 35 15 8 20 8 12 245 129 116 142 100 20 42 20 22 Multiplicación: cuando multiplicamos los números se llaman factores y el resultado producto.
7 6 42 10 9 90
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: Asociativa:
(3 5) 2 3 (5 2) 15 2 3 10 30 30 Conmutativa:
58 85 40 40 Elemento Neutro:
8 1 8 Distributiva del Producto respecto de la Suma:
5 3 8 53 58 15 40 55
División: Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto. Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. Dividendo
Divisor
Resto
Cociente
15 5 0/3
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ Potenciación: Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo. El exponente de una potencia indica el número de veces que mult iplicamos la base. a)
5 5 5 53 125
La potencia cumple con las siguientes propiedades: Todo número elevado al exponente cero (0) da como resultado el número uno (1):
40 1 Todo número elevado al exponente uno (1) da como resultado el mismo número:
41 4 Producto de potencias de igual bases: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
25 22 252 27 128 División de potencias de igual bases: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes.
25 22 252 23 8 Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base, donde tiene dos exponente, y se hace el producto de los mismos.
2
2 3
223 26 64
Producto de potencias con el mismo exponente: Se tiene dos potencias con el mismo exponente.
22 42 82 64 Cociente de potencias con el mismo exponente: Se tiene dos potencias con el mismo exponente.
63 33 23 8
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ Radicación: Consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que elevado al índice sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, no se coloca. Consiste en hallar un número conocido su cuadrado.
En la raíz cúbica el índice es 3. Consiste en hallar un número conocido su triplo. 3
82
23 8 La radicación cumple con la siguiente propiedad: Distributiva con respecto a la Multiplicación y a la División: a)
b)
94 9 4
100 25 100 25
36 3 2
4 10 5
66
22
Sumas Algebraicas: En las sumas algebraicas solamente tenemos las operaciones de suma y resta. Se ponen en un paréntesis todos los números que tengan el signo positivo, y en otro paréntesis todos los números con signo negativos; sumamos los paréntesis por separado y luego restamos el resultado de ellos. a)-
6 3 7 4 5 9 7 1 4 8
6 7 4 9 1 8 3 5 7 4 35 19 16
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ b)-
8 15 9 2 7 3 6
8 15 7 3 6 9 2 39 11 28 Propiedad Cancelativa: En un ejercicio podemos tener dos números iguales de signo contrario (uno positivo + y otro negativo -), por esta propiedad podemos cancelar esos números y el ejercicio se reduce y es más fácil y rápido para resolver. Luego lo podemos resolver como sumas algebraicas. a)- En el siguiente ejercicio se cancelan los números +7, -7, +4, -4, ya que son iguales pero de signo contrario.
6 3 7 4 5 9 7 1 4 8
6 9 1 8 3 5 24 8 16 b)- En el siguiente ejercicio se cancelaron los números -3, +3, -5, +5, ya que son iguales pero signo contrario.
8 3 4 1 5 3 9 5
8 4 1 9 13 9 4 Números Pares: Los números pares son múltiplos de 2. Terminan con los dígitos 0, 2, 4, 6, 8. Números Impares: Un número es impar si no es múltiplo de 2. Terminan con los dígitos 1, 3, 5, 7, 9. Números Primos: Un número es primo cuando es divisible por sí mismo y uno. a)
b)
17 1 17
23 1 23
17 17 1
23 23 1
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ Números Compuestos: Un número es compuesto cuando tienen más de dos divisores. a)
b)
10 1 10
25 1 25
10 2 5
25 5 5
10 5 2
25 25 1
10 10 1
“Los números 0 y 1 no son ni primos ni compuestos”.
Múltiplos de un número: Los múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces. “El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos. El número 0 es múltiplo de todos los números. Todos los números son múltiplos de 1”. a) Ejemplo: son múltiplos del número 2 el: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, etc…ya que:
22 4 23 6 24 8 2 5 10 2 6 12 Divisores de un número: Los divisores de un número natural son los números naturales que le pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y el resto cero; es decir, los que dividen a éste en forma exacta. “El número 1 es divisor de todos los números. Todo número es divisor de sí mismo”. a) Ejemplo: 4 es divisor de 24, ya que:
24 4 6
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Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en número par. Ejemplo: 8, 14, 54, 382.
Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3. Ejemplo: 6345 donde 6+3+4+5=18, como 18 es múltiplo de 3, decimos que 6345 es divisible por 3.
Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros (00) o múltiplos de 4. Ejemplo: 512, como sus últimas cifras es 12 y 12 es múltiplo de 4, decimos que 512 es divisible por 4; 200, como sus últimas cifras son ceros, decimos que 200 es divisible por 4.
Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5. Ejemplo: 15, 45, 50, 150, 530.
Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplo: 2484, como termina en número par, podemos decir que es divisible por 2; además, al sumar sus cifras 2+4+8+4=18 vemos que 18 es múltiplo de 3, por lo tanto es divisible por 3. Como es divisible por 2 y por 3 a la vez, podemos decir que 2484 es divisible por 6.
Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7 si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, si el resultado es 0 o múltiplo de 7, decimos que ese número es divisible por 7. Ejemplo: 98, separamos el 9 y el 8, multiplicamos a 8 por 2 y nos da 16; ahora a 16 le restamos 9 y nos da 7, por lo tanto 98 el divisible por 7. Ejemplo: 245, separamos a 5 de 24, donde a 5 lo multiplicamos por 2 y nos da10, ahora a 24 le restamos 20 y nos da 14, como 14 es múltipl de 7, decimos que 245 es divisible por 7.
Divisibilidad por 8: un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros (000) o múltiplo de 8. Ejemplo: 86064, como sus tres últimas cifras son 064, que es igual que decir 64 y este número es múltiplo de 8, decimos que 86064 es divisible por 8.
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 1º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre _______________________________________________________________________________________ Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos da como resultado un múltiplo de 9. Ejemplo: 7893, donde 7+8+9+3=27 y como 27 es múltiplo de 9, decimos que 7893 es divisible por 9.
Mínimo común múltiplo (mcm): El mínimo común múltiplo de dos o más factores es aquel número que contiene exactamente a cada uno de ellos. Es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Máximo común divisor (mcd): El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que divide a todos. Es el producto de todos los factores comunes con el menor exponente.
Jerarquía de operaciones: Existen reglas para realizar las operaciones en un orden determinado. 1)- Efectuar las operaciones entre paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. 2)- Calcular las potencias y raíces. 3)- Efectuar los productos y cocientes. 4)- Realizar las sumas y restas. Página 10
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a)-
23 10 2 5 3 4 5 2 8 4 22 16 4
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad .
8 10 2 5 3 4 5 2 8 4 4 16 4 Seguimos con los productos y cocientes.
8 5 15 4 10 8 16 4 Efectuamos las sumas y restas.
13 19 10 8 12 32 10 8 12 22 8 12 14 12 26
b)-
15 23 10 2 5 3 2 4
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
15 28 5 5 6 4 Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
15 3 5 2 Operamos en los corchetes y mult iplicamos.
12 7 84
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Ejercicios combinados: En un ejercicio se pueden combinar varias operaciones. Hay que tener en cuenta los siguientes pasos para poder resolverlo. 1)- Separar en términos, (las sumas + y las restas – separan los términos). 2)- Primero se eliminan los paréntesis, después los corchetes y por último las llaves. 3)- Si tenemos un signo + delante de un paréntesis, corchetes o llaves, los números que estén dentro del mismo no cambian de signo. Si tenemos un signo - delante de un paréntesis, corchetes o llaves, los números que estén dentro del mismo si cambian de signo. 4)- Resolver el ejercicio teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones.
a)-
8 3 5 2 5 5 2 5 7 12 b)-
5 3 2 6 4 4 2 6 3 5 6 6 4 2 6 3 5 1 4 8 3 6 4 8 3 2 5 10
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