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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 2, NO. 3, SEPTEMBER 2004

Diseño Integrado con Realimentación Robusta de Estados vía Desigualdades Lineales Matriciales O. Pérez, P. Vega, W. Colmenares, Member, IEEE y M. Francisco

Resumen—La idea del diseño integrado se fundamenta en la posibilidad de diseñar procesos con criterios de optimización, incorporando condiciones que garanticen un buen desempeño dinámico del sistema en las primeras etapas del diseño. De esta forma se obtienen, tanto los parámetros de la planta como los del controlador de forma simultánea. En este trabajo se presenta una metodología que permite realizar el diseño optimizado de una planta no lineal con restricciones de operación no lineales, calculando simultáneamente un control por realimentación de estado que garantiza que el sistema controlado presenta una serie de características de estabilidad, ubicación de sus polos y rechazo a las perturbaciones. Se considera además, la existencia de incertidumbre paramétrica lo que conlleva a la obtención de las ganancias robustas de realimentación. La idea se basa en una optimización con dos consideraciones fundamentales. En la primera, se tiene un proceso clásico de optimización no lineal donde en cada iteración se calculan parámetros del proceso basándose en las restricciones estáticas. En la segunda se calculan los controladores (si existen) para la linealización de la planta en cada punto de operación calculado. De esta forma las condiciones dinámicas impuestas al controlador pasan a ser restricciones implícitas del problema de optimización no lineal. La metodología se utiliza en el diseño de un sistema hidráulico controlado por una ley de realimentación de estados, incorporando una condición integral en el lazo de control, para obtener condiciones de error iguales a cero ante señales de referencia de valores constantes. Al final se presentan algunos resultados y simulaciones de la respuesta del sistema no lineal, donde se aprecia la influencia de las condiciones dinámicas sobre el sistema diseñado. Palabras claves—Diseño de procesos, optimización no lineal, desigualdades lineales matriciales, incertidumbre paramétrica, controlador robusto, realimentación de estados.*

I. INTRODUCCIÓN

E

l diseño clásico de los procesos, en general, persigue la determinación de las condiciones de operación de cada una de las unidades de proceso y de las dimensiones que se requieren para lograr un objetivo de producción. Los ingenieros de procesos determinan las estructuras necesarias, *

Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el CICYT proyecto DPI2000-0665-C02-02, por el DID-USB y FONACIT, proyecto S12001000708. Omar Pérez L. y Williams R. Colmenares M. pertenecen al Departamento de Procesos y Sistemas de la Universidad Simón Bolívar, Venezuela. (e-mail: operez/[email protected]). Pastora Vega C. y Mario Francisco S. pertenecen al Departamento de Informática y Automática de la Universidad de Salamanca, España. (e-mail: pvega/[email protected]

las condiciones de operación y calculan los parámetros físicos de la planta. El objetivo general se asocia a la optimización económica, evaluando las diferentas alternativas posibles. En esta etapa no se da mucha importancia a condiciones de controlabilidad dinámica del proceso o a los sistemas de control que deben implementarse para el funcionamiento correcto de la planta. Para mejorar este proceso, se ha introducido el concepto de diseño integrado de sistemas. La idea del diseño integrado de procesos con sus sistemas de control persigue la obtención de plantas que funcionen de forma óptima, para lo cual es necesario que sus características dinámicas se garanticen ante diversas situaciones y que condiciones tales como respuestas temporales adecuadas, buen rechazo a perturbaciones externas y robustez, se mantengan a pesar de las variaciones y los efectos ambientales a los que están sometidos todos los procesos en la vida real. El concepto de controlabilidad se relaciona con el mejor comportamiento que se puede obtener al controlar un proceso, siendo ésta una propiedad intrínseca del propio proceso. Los primeros en introducir ideas de controlabilidad en el diseño fueron Nishida y sus colaboradores [1]-[2]. En [3] se define por primera vez la controlabilidad de una red de intercambiadores de calor y en [4] se presenta para el mismo sistema un estudio dirigido a la compensación entre su controlabilidad y su coste económico. En [5] se proporciona una visión industrial sobre la necesidad de integrar el diseño y el control de sistemas que ya había sido planteada en [6] y reforzada en [7]. Durante muchos años, investigadores han dedicado buena parte de sus esfuerzos hacia el mejoramiento del diseño de procesos bajo estas perspectivas. En [8] se introducen indicadores de la sensibilidad del lazo cerrado y el número de condición de un sistema. En [9] se analiza el problema de selección de la estructura de control, con un problema de programación lineal mixta entera. Algunas aplicaciones recientes sobre diseño de procesos se presentan en [10], donde se estudia la influencia de la controlabilidad de plantas en lazo cerrado, definiendo alguna medida útil de controlabilidad y el coste de explotación, así como en [11] se muestra el trabajo de diseño integrado sobre una planta de control de pH. En los últimos años la utilización de las desigualdades lineales matriciales se ha empezado a tomar en cuenta para el diseño de sistemas de control. El elevado poder computacional que se ha alcanzado recientemente y la aparición de poderosos algoritmos de optimización convexa han contribuido fuertemente a la popularidad de las desigualdades lineales matriciales LMIs. En este trabajo se muestra una metodología para el diseño

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integrado de procesos, considerando una estrategia de control por realimentación de estados, optimizando parámetros de diseño y operación de la planta y tomando en cuenta condiciones tipo desigualdades lineales matriciales LMI para el desempeño del sistema a lazo cerrado, en las que se incorpora incertidumbre en el modelo, dándole así robustez al diseño del controlador. II. DESIGUALDADES LINEALES MATRICIALES Una desigualdad lineal matricial [12] es una restricción de la forma: F ( x ) F0  x1 F1  x 2 F2  "  x N F N  0

(1)

donde

donde x  Rn es el vector de estados del sistemas, u  Rm es el vector de entradas, w  Rq es el vector de perturbaciones y y  Rp es el vector de salidas medibles del sistema. A, B, B1, C son matrices constantes de dimensiones apropiadas. Para un sistema lineal de este tipo se pueden imponer restricciones tipo LMI para garantizar condiciones en la operación de la planta a lazo cerrado, considerando un esquema de control por realimentación de los estados. Entre estas condiciones nos interesan las siguientes. B. Estabilidad asintótica Para el sistema (3) se define una ley de control por realimentación de estados de la forma u = Kx, con lo que se obtiene la condición de estabilidad asintótica [15@:

x  x1 , x 2 , " , x N es un vector de escalares desconocidos (variables de optimización o de decisión). F0 , F1 , " , F N son matrices simétricas conocidas.

`< 0´ indica la condición de “negativa definida”, es decir, que el mayor autovalor de F ( x ) es negativo.

Una LMI define un problema convexo sobre la variable x. La convexidad tiene una importante consecuencia, debido a que en la mayoría de los casos la condición que define F(x) no tiene solución analítica. Si esto ocurre, este problema se puede resolver numéricamente con la garantía de encontrar una solución, si existe alguna. Un sistema basado en múltiples LMIs puede ser considerado como un conjunto de LMIs simples, como en el caso:

­ F1 ( x )  0 ° F ( x)  0 ° 2 ® # ° °¯FK ( x )  0

(2)

que equivale a F ( x ) : diag F1 ( x ), F2 ( x ),", FK ( x )  0 , donde diag F1 ( x ), F2 ( x ),", FK ( x ) representa una matriz por bloques, cuya diagonal está compuesta por F1 ( x ), F2 ( x ),", FK ( x ) . Observe que la convexidad del problema se conserva cuando se tienen múltiples desigualdades lineales matriciales.

AP+PAT+ BR +RTBT < 0

que representa un problema convexo en P>0 y R, que puede resolverse de forma simple con herramientas de programación convexa. Para este problema la ganancia de realimentación 1 está dada por K=RP- . Esta definición de la ganancia se aplica a todas las condiciones LMI que se presentan en este trabajo. Con estos resultados [15], la expresión de estabilidad asintótica puede expresarse como una desigualdad lineal matricial como la que se muestra a continuación, donde se debe encontrar matrices P>0 y R tal que la siguiente LMI sea factible.

§P ¨¨ ©0

­ x ® ¯y

Ax  Bu  B1 w Cx

(3)

0 · ¸!0  AP  PA  BR  RT B T ¸¹

(5)

T

C. Ubicación de polos Tal como aparecen en [16], es posible obtener condiciones que permitan modificar el comportamiento temporal de las respuestas de los sistemas, garantizando la ubicación de los polos a lazo cerrado en regiones del plano S, como se señala a continuación. 9Condición de eje imaginario desplazado D0

Para garantizar que los polos del sistema con realimentación de estados se encuentren a la izquierda del eje imaginario desplazado D0, se debe cumplir la existencia de matrices P > 0 y R tal que la siguiente condición sea factible:

III. CONDICIONES LMI PARA REALIMENTACIÓN DE ESTADOS A. Introducción Múltiples condiciones para el análisis y diseño de sistemas de control se han desarrollado utilizando LMIs [13]-[14]. Para resolver el problema de diseño integrado con realimentación de los estados, se plantea la utilización de una serie de condiciones tipo LMI, basadas en la descripción de una planta lineal e invariante en el tiempo en variables de estado, dada por:

(4)

AP+PAT+BR+RTBT+2D0P < 0

(6)

9Condición de cono centrado en el origen con ángulo T

Para que los polos del sistema a lazo cerrado se encuentren en la región del semiplano izquierdo definida por un cono centrado en el origen, con un ángulo T, se deben encontrar matrices P > 0 y R tal que la siguiente expresión sea factible para un ángulo T dado:





§ senT AP  PAT  BR  R T B T ¨ ¨ cosT  AP  PAT  BR  R T B T ©





 

cosT AP  PAT  BR  R T B T senT AP  PAT  BR  R T B T

0 y R tal que la LMI (9) sea factible:

realimentación de estados, lo cual es equivalente a u j < u , entonces la condición de acotamiento de la entrada al sistema está dada por [17]:

§ P ¨ ¨ R ©

RT

· ¸ C

0@

B1

ª B1 º «0» ¬ ¼

En la expresión (17) aparece el nuevo vector de estados del sistema presentado en la figura 2, donde se observan los estados originales de la planta y un nuevo estado que resulta de la incorporación de un integrador asociado a la señal de error resultante de la diferencia entre la referencia y el valor de la salida del sistema, con lo que se pretende asegurar un seguimiento de la señal de referencia que permita eliminar el error del sistema ante valores constantes de la misma. El nuevo vector de ganancias de realimentación está dado por: K >K k n1 @

Residuo R1 -0.000000005247

Residuo R2 0.0000000030953

Altura h1 4.6663

Altura h2 3.0950

Apertura a1 79.77%

Apertura a2 56.84%

Ganancia K1 -0.1182

Ganancia K2 -0.1789

Ganancia K3 0.0499

Con estos valores obtenidos para los parámetros de la planta y las ganancias de realimentación, se simula la respuesta del sistema no lineal a lazo cerrado ante una señal de referencia tipo salto. En la fig. 3 se presenta la respuesta temporal y en la fig. 4 se tiene la señal de control u que genera dicha respuesta.

Entonces en función de las matrices originales del sistema se pueden aplicar las condiciones LMI mostradas, considerando las matrices del sistema extendido. Para probar diferentes diseños, se impusieron condiciones multiobjetivo sobre el sistema linealizado, considerando incertidumbre en el modelo. A continuación se presentan los resultados en dos casos, uno impone condiciones de estabilidad y cota de las variables de entrada y salida, y otro resuelve un problema multiobjetivos, adicionando ubicación de polos y rechazo a perturbaciones. VIII. RESULTADOS DEL DISEÑO

Fig. 3. Respuesta del sistema a lazo cerrado ante un cambio en la señal de referencia tipo salto

A. Diseño con condición de estabilidad con incertidumbre en las variables de estado h1 y h2

Para este caso, se presentan los resultados cuando se considera simultáneamente la condición de estabilidad, elipsoide inicial mínima, entrada acotada u =2, salida acotada en y =0.5h2 e incertidumbre del 10% en h1 y 6% en h2. El valor de la cota de entrada surge de la consideración de que el máximo valor de entrada en el sistema no lineal es u=4, por lo que la máxima variación de u sobre el sistema linealizado solo es 2. Para la salida, como es un valor a ser optimizado que varía durante el proceso de cálculo, se toma como máximo valor de la altura del depósito 2, el 50% del valor óptimo de la altura de operación h2. En la tabla II se presentan los resultados obtenidos bajo estas condiciones. Fig. 4. Señal de control para la respuesta de la fig. 3

Para evaluar el comportamiento del sistema, se grafica la respuesta temporal ante una señal de perturbación tipo salto en el flujo fd que aparece sobre el segundo depósito, aplicada en t=300 seg. La respuesta temporal y la señal de

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control obtenidas se presentan en la fig. 5 y fig. 6 respectivamente.

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El sistema no lineal a lazo cerrado se simula ante cambios en la señal de referencia tipo salto. La respuesta temporal se presenta en la fig. 7. La señal de control u asociada a dicha respuesta se muestra en la fig. 8.

Fig.5. Respuesta del sistema no lineal ante una perturbación en el segundo deposito Fig. 7. Respuesta del sistema a lazo cerrado ante un cambio en la señal de referencia tipo salto

Fig. 6. Señal de control para la respuesta de la fig. 5

B. Diseño con ubicación de polos, rechazo a perturbaciones e incertidumbre En este caso se imponen para el problema lineal que los polos del sistema a lazo cerrado se encuentren a la izquierda del eje imaginario desplazado D0 = 0.03, en un cono centrado en el origen con un ángulo T=S/4 y se garantice un rechazo a perturbación medido por la norma Hf