Septiembre 2007. Ejercicio 4B. (3 puntos). Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor real de x, de la que se conoce la siguiente información: i) g '(x) > 0para todo x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), mientras que g '(x) < 0 para todo x ∈ (0, 2). ii) g"(x) > 0 para todo x ∈ (1, 3) y g"(x) < 0 para todo x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞). iii) g(−1) = 0, g(0) = 2, g(2) =1. iv) lím g(x ) = −∞ y lím g(x ) = 3 x → −∞
x → +∞
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) (1 punto).Analizar razonadamente la posible existencia o no existencia de asíntotas verticales horizontales u oblicuas. b) (1 punto). Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g(x). c)
(1 punto). Si G (x ) = ∫ g(t ) dt encontrar un valor xo tal que su derivada G '(xo) = 0. x
0
Solución. c.
Teniendo en cuenta el teorema fundamental de calculo integral, si G (x ) =
∫0 g(t ) dt , entonces x
G ′(x ) = g(x ) ⋅ (x )′ − g(0) ⋅ (0 )′ = g(x ) ⋅1 − g(0) ⋅ 0 = g (x ) . Conocida la expresión de G’(x) y con el dato del enunciado (g(−1) = 0) se calcula el valor de xo. G ′(x ) = g(x ) ⇒ G ′(x o ) = g(x o ) = 0 xo = −1
Modelo 2007. 4A. (3 puntos). a) (1 punto). Si f es una función continua, obtener F'(x) siendo:
F(x ) =
∫0 (f (t ) + t x
2
)
+ t 3 dt
Solución. Si F es una primitiva de f:
F(t ) =
g 2 (t )
g 2 (t )
∫g (t ) f (x )⋅ dx = F(x )]g (t ) = F(g 2 (t )) − F(g1 (t )) 1
1
derivando la expresión de F(t) mediante la regla de la cadena:
F' (t ) = F' (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − F' (g 1 (t )) ⋅ g1 ' (t ) teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral, si F es primitiva de f, entonces, la derivada de F es igual a f
Sí
∫ f = F ⇒ F' = f
sustituyendo en la expresión de F’(t) F’ por f
F' (t ) = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − f (g 1 (t )) ⋅ g1 ' (t ) En este caso el límite inferior de integración es constante (g1(x) = 0), la expresión se simplifica ya que la derivada de una constante es cero, anulando el 2º término. F' (t ) = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − f (0) ⋅ 0 ′ = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) Aplicando a la función propuesta F(x ) =
(
)
∫0 (f (t ) + t x
(
2
F ′(x ) = f ( x ) + x 2 + x 3 ⋅ (x )′ + f (0) + 0 2 + 0 3
1
) )⋅ (0)′ = f (x) + x
+ t 3 dt :
2
+ x3
1
∫ f (t )dt = 1 , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica
b) (2 puntos). Si f(1) = 1 y además
o
de F(x) en el punto (l, F(l)). Solución. Teniendo en cuenta que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, la ecuación de la recta tangente a una función y = F(x) en un punto x = a en forma punto pendiente es:
y − F(a ) = F ′(a ) ⋅ (x − a )
Donde (a, F(a)) es el punto y F’(a) es la pendiente. Aplicado a F(x ) =
F(1) =
∫0 (f (t ) + t 1
2
∫0 (f (t ) + t x
)
+ t 3 dt en x = 1:
2
) ∫
y − F(1) = F ′(1) ⋅ (x − 1)
+ t dt = f (t )dt + 3
1
0
∫0 ( 1
1
)
t3 t4 13 14 0 3 0 4 19 = t + t dt = 1 + + = 1 + + − + 3 3 4 3 4 4 12 0 2
3
F ′(x ) = f ( x ) + x 2 + x 3 ⇒ F ′(1) = f (1) + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3 Sustituyendo:
x−
19 = 3 ⋅ (x − 1) 12
Modelo 2004. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 2 puntos. a)
(1 punto) Sean las funciones F(x ) =
4 5 + e t dt ; g( x ) = x 2 . Calcular (F(g(x )))′ .
x
∫1
Solución. Se pide calculadora la derivada de una función compuesta (F(g(x ))) , aplicando la regla de la cadena.
(F(g(x )))| = F| (g(x ))·g | (x )
Si g(x ) = x 2 ⇒ g ' (x ) = 2x Para calcular F’(g (x)), hay que calcular previamente F’(x) definiendo F(x ) como:
F(x ) =
h (x )
∫k
f (t )dt = F( t )]k
h(x)
= F(h (x )) − F(k )
Derivando: F’(x)=F’(h(x)) · h’(x)−F’(k) · 0 = F’(h(x)) · h’(x) Teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral “Si la primitiva de f es F, entonces la derivada de F es f. F’ ≡ f Teniendo en cuenta esto, la expresión de F’(x) queda de la siguiente forma: F’(x) = f (h (x)) · h’(x) Aplicando al caso propuesto
F(x ) =
x
∫1
5 + e t dt ⇒ F' (x ) = 5 + e x ·1 4
4
Conocida F’(x), se hace la composición.
2
( )
2 4 8 x4 Si: F' (x ) = 5 + e ⇒ F' (g(x )) = 5 + e x = 5+ ex 2 g(x ) = x Sustituyendo en la expresión de la derivada.
[F(g(x ))]' = F' (g(x )) ⋅ g' (x ) =
8
5 + e x ·2x = 2x 5 + e x
8
Otra forma de resolver la cuestión es calcular previamente la función compuesta F(g(x)), y a continuación derivarla: x 4 x2 4 F(x ) = 5 + e t dt ⇒ F ( g ( x ) ) = 5 + e t dt = H ( x ) 1 1 g( x ) = x 2 al derivar la función H(x) se tendrá en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral, explicado anteriormente:
∫
∫
( 2 )4 ⋅ 2x +
4
H' (x ) = 5 + e x
5 + e1 ⋅ 0 = 2 x ⋅ 5 + e x
8
Septiembre 2001. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea la función f ( t ) =
1 1+ e t
∫ f (t)dt
a. (1 punto) Calcular
b. (1 punto) Se define g( x ) =
x
∫0 f (t )·dt . Calcular Lím x→0
g( x ) x
Solución.
∫
x
∫
0
f ( t )·dt f ( t )·dt g(x) 0 b. Lím = Lím o = o = =? x →0 x x →0 x 0 0 Indeterminación que se resuelve por el teorema de L’Hopital g( x ) g' (x ) Lím = Lím x →0 x x →0 1 Para calcular g’(x) se aplica el teorema fundamental del calculo integral. Sea F( x ) =
∫
g2 (x)
g1 ( x )
f ( t )·dt ⇒ F' ( x ) = f (g 2 ( x ) )·g |2 ( x ) − f (g 1 ( x ) )·g 1| ( x )
Este teorema esta basado en que la derivada de la primitiva de una función es la propia función, es decir si
∫
F(x) es la primitiva de f(x), F( x ) = f ( x )·dx entonces, F’(x) = f(x) Aplicando a este caso
g( x ) =
∫
x
0
1 1+ e
t
·dt ⇒ g' ( x ) =
1 1+ e
x
( x )'−
1 1+ e
0
(0)' =
1 1+ ex
sustituyendo en el límite
1 Lím x →0
x g(x) g' ( x ) 1 1 1 1 = Lím = Lím 1 + e = Lím = = = 0 x →0 (x )' x →0 x →0 1 + e x x 1 1 + 1 2 1+ e
3
