Elementos de Matemática

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d. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ¿Cómo resolver problemas? La pregunta que nos planteamos es lo que pretendemos abordar en esta clase a fin de contar con mayores herramientas para encarar los temas de Matemática del Ciclo de Conocimientos Iniciales y en general de la carrera de Ingeniería Agronómica La metodología para la "Resolución de Problemas" que se utiliza en matemática, no se limita tan solo al ámbito de ésta, sino que se puede aplicar a distintas asignaturas o áreas de estudio. En genera! los problemas son situaciones nuevas, de cualquier área, que requieren para su respuesta combinar conocimientos existentes con procedimientos nuevos, encontrar y desarrollar estrategias para poder llegar a la solución. En nuestra vida cotidiana permanentemente enfrentamos "problemas" y aparecerán continuamente en nuestro quehacer como Ingenieros Agrónomos. Un problema matemático es una situación en la que se encuentran tres elementos: «

Un contexto inicial, que plantea la situación misma.

»

Una situación final u objetivo a alcanzar con la solución del problema.

•

Restricciones, actividades, tipos de operaciones, etc., que constituyen la base teórica matemática que ayuda a la resolución.

La metodología sobre como resolver problemas más clásica y muy conocida es la que presentó Polya G. (1945) en su libro "Cómo plantear y resolver problemas". Propone cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, esta estrategia se constituyó en el punto de partida de la mayoría de los autores que abordan el tema, y la base de la mayoría de estudios e investigaciones posteriores. Para resolver un problema se distinguen 4 etapas o pasos: 1. 2. 3. 4.

Comprender e interpretar el problema Idear o elaborar un plan de resolución Ejecutar el plan Verificar los resultados

Etapa 1: Comprendere interpretar el problema Esta primera etapa comprende: ^ Lectura comprensiva del problema, leyendo el enunciado despacio, v' Reconocer cuáles son los datos ¿que conocemos?

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^ Establecer claramente el objetivo del problema, es decir a qué se quiere dar solución ¿que buscamos?. s Encontrar la relación entre los datos y las incógnitas ¿son suficientes para determinar la incógnita, o no lo son? s Representar el problema de diferentes modos (dibujos, gráficos, esquemas, etc).

Etapa 2: Idear o elaborar un plan de resolución Un camino posible es siempre tratar de hacer analogía con problemas afines ya resueltos. Para todos los problemas las estrategias a seguir son: • Recordar estructuras análogas. ¿Este problema es parecido a otros que conocemos? ¿Se puede plantear el problema de otra forma? v Simplificar la situación, descomponiendo el problema en partes, según la información. s Pensar si existen fórmulas o definiciones matemáticas conocidas que puedan ser de utilidad en la búsqueda de la solución. • ¿He utilizado todos los datos en este plan? ¿Hay datos innecesarios?

Etapa 3: Ejecutar el plan El plan ideado proporciona una línea general sobre los pasos que vamos a seguir, es la hora de "aplicar los conceptos matemáticos". s Si el problema necesita fórmulas matemáticas o geométricas para su formalización se plantearán éstas y se incorporarán en la misma ios datos conocidas. s Si el problema presenta incógnitas se identificará una representación de la/s mismas y en esta etapa se "representan" mediante ecuaciones el esquema realizado, para una formalización matemática del problema. ^ Éjeputar el plan, implica realizar las operaciones que permitan encontrar la los resultados, efectivizando los cálculos correspondientes. • Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar nuevamente.

Etapa 4: Verificación de los resultados Esta es una de las estrategias que suele dejarse de lado. Una vez encontrada la solución, existe una tendencia generalizada de darse por satisfechos. Sin embargo, es la etapa más importante en la vida diana, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver. v' La solución características)

¿parece

lógicamente

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posible?

(unidades,

tamaño,

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s Al comprobar la solución el error puede estar en el cálculo (lo que significa error operatorio) o bien en la selección de las operaciones (falta de comprensión del problema o mal planteo del plan) s ¿Se puede hallar alguna otra solución?

Es importante tomar conciencia del proceso seguido para formular y resolver nuevos problemas. La simbolización de un problema es un aprendizaje constructivo, en el cual siempre se aprenden nuevas estrategias.

Otra propuesta para la resolución de problemas, también a partir de los planteamientos de Polya, es la que desarrolla Schoenfeld (1985). Su estrategia de resolución abarca las siguientes tres etapas: 1. Análisis 2. Exploración 3. Comprobación de la solución

Etapa 1: Análisis Trazar un diagrama o esquema, si es posible. Examinar casos particulares Probar a simplificar el problema

Etapa 2: Exploración ^ Reconocer problemas equivalentes: sustituir las condiciones por otras equivalentes, recombinar los elementos del problema de modo diferente, replantear el problema. v" Examinar problemas ligeramente modificados: descomponer el problema en casos y analizar caso por caso. s Examinar problemas ampliamente ¿modificados: problemas análogos con menos variables, mantener fijas todas las variables menos uña para determinar qué efectos tiene esa variable. Etapa 3: Comprobación de la solución ^ Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes, uso de estimaciones o predicciones. v' Verificar la solución obtenida siguiendo criterios generales: examinar la posibilidad de obtener la solución por otro método, reducir la solución a resultados conocidos.

Ejemplo 1: Polya.

Resolvemos el siguiente problema, de acuerdo con las etapas que plantea

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Pérez y González tenían cada uno la misma cantidad de animales. Ambos productores enviaron para la venta, a un remate feria, durante dos semanas sus animales de la siguiente manera: Durante la primera semana Pérez envió al remate feria la tercera parte del total de animales, durante la segunda semana envió la mitad del total de sus animales y el resto lo conservó para engorde. En cambio, González envió durante la primera semana la cuarta parte de su ganado, y conservó para engorde el doble de los que conservó Pérez. Si conocemos que González conservó 156 animales para engorde, ¿cuántos animales envió González la segunda semana al remate feria?

1)

COMPRENSIÓN E INTERPRETACIÓN DEL PROBLEMA

¿ Cuáles son los datos que presenta el problema ? • • • • • • • •

Pérez y González tenían cada uno la misma cantidad de animales Durante la primera semana Pérez envió al remate feria la tercera parte del total de animales. Durante la segunda semana Pérez envió la mitad de sus animales. Conservó para engorde una cierta cantidad de animales. González envió durante la primera semana la cuarta parte de su ganado. No se sabe cuántos animales vendió González la segunda semana. González conserva, para engorde, el doble de animales de los que conservó Pérez. González conservó 156 animales para engorde.

¿ Que pide el problema ? ¿ Cuál es la incógnita ? •

¿Cuántos animales envió González la segunda semana a la feria? x = número de animales envió González la segunda semana al remate feria

¿Se puede establecer alguna relación entre datos que ayuden a la resolución del problema?

•

Pérez conserva para engorde78 animales, que representa la mitad de los que conservó González.

Representación esquemática de la relación entre los datos e incógnita de problema. Tabla

Productor/Decisión

Envío 1 ° semana

Envío 2° $emana

Engorde

Pérez

1/3 del total

1/2 del total

La mitad que González

González

1/4 del total

incógnita

156

O bien se puede representar:

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Gráficamente 1° semana

2° semana

1J Á

ÍF ¡

i

i

I

/v---x-'V' -* i;*" -*-: • .-.--.-. - 1/2 de G

Pérez

||

1 i!

Engorde

(1

González j

« ~

^.

». « *.

v.^~

~,^^~,^*^w.^ ~.^~^«

^

-~ ,.

\6

í

1 ° semana

í

2° semana

Engorde

¿Qué ofro esquema o gráfico puede utilizarse para representar el problema, diferente a la presentada?

2) ELABORACIÓN DE UN PLAN DE RESOLUCIÓN IMPORTANTE; En general existe más de un camino de resolución, aquí presentamos uno a modo de ejemplo: Podemos simplificar la situación planteada, descomponiendo el problema en partes, según la información. • « ;

• «

Como conocemos que Pérez conservó la mitad de los animales que guardó para engorde González, podríamos averiguar cuántos animales conservó el primero. Sabiendo la fracción de animales que vendió Pérez en las dos semanas podemos calcular la fracción de animales que conservó, la cual deberá ser iguaí al número obtenido en el paso anterior. A partir del dato de que el número total de animales de ambos productores es igual podemos obtener los que vende González la primer semana. Como conocemos el total de animales que tenía González, de los resultados anteriores encuentro el valor de la incógnita.

3) EJECUCIÓN DEL PLAN

De acuerdo a nuestra propuesta planteada Pérez conservó la mitad de los animales que guardó para engorde González, y como éste conservó 156 animales para engorde (dato) entonces: Pérez conservó para engorde 78 animales.

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s é é.

3

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Entonces el total de animales a que tenía Pérez lo podemos encontrar resolviendo la ecuación.

— a + — a + 78 = a 3 2

a = 468

~ 6

Luego González tenía entonces 468 animales, por lo cual si planteamos la ecuación: 1

T 468

4

+ ;c + 156 = 468

~> x= 195 animales

Respuesta: González envió durante la segunda semana a la feria 195 animales.

4) VERIFICACIÓN Y REVISIÓN Verificar los pasos de la resolución • •

¿Planteamos bien las ecuaciones? ¿Sumamos correctamente las fracciones?

Verificar el resultado en todas las afirmaciones del problema Pérez:

- 468 + - 468 + 78 = 156 + 234 + 78 = 468 3 2

González:

- 468 + 195 + 156 = 117 + 195 + 156 = 468 4

¿Qué otra estrategia puede utilizarse para resolver el problema, diferente a la presentada?

Ejemplo 2: Schoenfeld.

Resolvemos el siguiente problema, de acuerdo con las etapas que plantea

Al examen de Introducción a la Matemática en la Comisión 12 asistieron 75 alumnos y aprobaron el mismo el 60% de los presentados. ¿Qué número de alumnos resultaron desaprobados?

1) ANÁLISIS Trazar un diagrama o esquema:

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xDes.

75 alumnos 2) EXPLORACIÓN El enunciado del problema expresa que hay que determinar el número de alumnos reprobados. Como sabemos que los aprobados y los reprobados representan la totalidad del curso, podemos resolver el problema estableciendo dos subproblemas. Subproblema 1. Transformar el 60% de aprobados en número de alumnos. 75 al.

100% 60%

x

*=

75al.60%

Ar

,

—=45 al.

100%

Respuesta: 45 alumnos aprobaron, los cuales representan el 60% del total de la Comisión 12. Subproblema 2. Transformar el 40% de reprobados en número de alumnos. Este subproblema, que se puede resolver de dos formas, da la solución del problema inicial planteado. ,, a) En forma inmediata, encontrando la diferencia entre el número total de alumnos del curso y ei número de alumnos aprobados. Esto es: 75 - 45 = 30 alumnos desaprobados b) Calculando el número de alumnos que representa el 40% de desaprobados sobre el total, ya que éste porcentaje es el complemento del 60% de alumnos aprobados. 75 al. —• 100% x 40%

;c=

75a .40%

100%

„„ , = 30 al.

Respuesta: 30 alumnos desaprobaron, los cuales representan el 40% del total de la Comisión.

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3. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN Sumando los alumnos aprobados y reprobados debemos obtener el total de alumnos del curso. En efecto: 30 alumnos reprobados + 45 alumnos aprobados = 75 alumnos en la Comisión 12.

Ejemplo 3:

Resolvemos el siguiente problema:

¿Cuántos litros de solución acida al 35 % y cuántos de solución acida al 14 % deberán combinar un químico para obtener 50 litros de solución acida al 22 %?

Se llama soluciones a las mezclas homogéneas de sustancias simples o compuestas. Una solución acida al x % es aquella en ia cual cada 100 mi de solución hay x mi de soluto (ácido).

1) COMPRENSIÓN E INTERPRETACIÓN DEL PROBLEMA ¿Cuáles son los datos que presenta el problema? Hay dos soluciones Hay una cantidad de litros de una solución A que es acida al 35%. Hay una cantidad de litros de otra solución B que es acida al 14%. Se quiere obtener 50 litros de una nueva solución Esta nueva solución debe ser acida al 22%. ¿ Que pide el problema ? ¿ Cuál es la incógnita ? •

¿Cuántos litros deben de la solución A y cuántos de la solución B se deben combinar para obtener los 50 litros de solución acida al 22%?

Representación esquemática de la relación entre los datos e incógnita del problema. Gráficamente: Solución A

Solución B

Solución Final

50

Ácido

Acido

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Ácido

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Donde x = cantidad de litros a utilizar de la solución A para formar la solución final y = cantidad de litros a utilizar de la solución B para formar la solución final ¿Qué otro esquema o gráfico puede realizarse para representar el problema?

2) ELABORACIÓN DE UN PLAN DE RESOLUCIÓN • • « •

Podemos saber la cantidad, en litros, de ácido que debe contener la solución final, el 22% de los 50 litros que se quiere obtener. La suma de las cantidades que coloquemos de cada una dé las soluciones debe dar 50 litros. La solución A aporta e! 35% de ácido, y la solución B aporta el 14% de ácido. La cantidad de ácido aportadas por las soluciones A y B debe completar el 22 % de ácido en la solución final. "* -

3) EJECUCIÓN DEL PLAN La solución final que se quiere obtener debe ser acida al 22%, luego en los 50 litros, la cantidad de ácido será de: 22

— .501 = 111 100 Con x se representa la cantidad de litros á utilizar de la solución A para formar la solución final, con y la cantidad de litros a utilizar de la solución B. Entonces la primer ecuación será:

La cantidad de ácido aportado por las soluciones A y B debe completar los 1 1 litros de ácido en ia solución final. Como de la solución A colocamos * litros, entonces él ácido que aporta será el 35% de dichos x litros y como de la solución B colocamos y litros entonces razonando análogamente, la segunda ecuación será:

35 100

14

—. 100

De la primer ecuación podemos despejar la variable variable en la segunda ecuación, obtenemos:

35

14

— .jc + — ,(50I-*) = 100 100 ;

= 5Q-x)\o ésta

x = 19,05 litros

Respuesta: Se deben colocar 19,05 litros de la solución A y por lo tanto 30,95 litros de la solución B (y = 50 -19,05 = 30,95). r

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4) VERIFICACIÓN Y REVISIÓN •

Cantidad de litros a formar: solución A + solución B = 19,05 litros + 30,95 litros = 50 litros

•

Cantidad de ácido que conforma la solución final: 35% de solución A 114% de solución B =

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100

. 19,051+

100

. 30,95! = 11 litros