CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Una función es creciente en un punto x0 cuando en un entorno suyo a incrementos positivos de la variable independiente (∆x > 0) corresponden incrementos positivos de la función (∆y > 0): f (x) − f (x o ) ∆y ∆y > 0 ⇒ Lím = Lím = f ' (x) > 0 ∆x x − xo ∆x →0 ∆x ∆x →0 Por el contrario, una función es decreciente en un punto x0 cuando en un entorno suyo a incrementos positivos de la variable independiente (∆x > 0) corresponden incrementos negativos de la función (∆y < 0): f (x) − f (x o ) ∆y ∆y < 0 ⇒ Lím = Lím = f ' (x) < 0 ∆x x − xo ∆x →0 ∆x ∆x →0 El estudio del crecimiento de una función se resume por tanto al estudio del signo de la derivada, en los intervalos en los que la derivada sea positiva la función será creciente, en los que sea negativa la función será decreciente.

EXTREMOS RELATIVOS. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Teorema de Weierstrass. Un punto es máximo relativo si en todo entorno suyo es el valor mayor de la función, por lo que a su izquierda la función es creciente (f’(x) > 0) y a su derecha es decreciente (f’(x) < 0) por lo que en el máximo f’(x) = 0. De forma análoga se razona para el mínimo relativo, menor valor de la función en un entorno, por lo que f’(x) = 0. En cuanto a la derivada segunda: f ' (x) − f (x 0 ) f ' ' ( x ) = Lím x − x0 x→x0 en el máximo, a su izquierda, x − x0 < 0  x − x0 ⇒ < 0 ⇒ f ' ' (x) < 0 x → x 0− :  f ' (x) − f (x 0 ) f ' ( x ) − f ( x 0 ) = f ' ( x ) > 0 a la derecha del máximo, x − x0 > 0  x − x0 ⇒ < 0 ⇒ f ' ' (x) < 0 x → x 0+ :  f ' (x) − f (x 0 ) f ' ( x ) − f ( x 0 ) = f ' ( x ) < 0 los resultados anteriores nos permiten caracterizar un máximo como un punto donde se cumple:  f ' (x 0 ) = 0  f ' ' ( x 0 ) < 0 En el mínimo, de forma análoga, se demuestra que se verifica:  f ' (x 0 ) = 0  f ' ' ( x 0 ) > 0

Otra forma de calcularlo es por el criterio de Taylor. Una función tiene un extremo relativo en un punto, sí, en ese punto la primera derivada es nula y la segunda es distinta de cero., con el siguiente criterio: - Si la segunda derivada es positiva, la función presenta un mínimo local ó relativo - Si la segunda derivada es negativa, la función presenta un máximo local ó relativo

El calculo de los extremos relativos de una función se puede escalonar por pasos: 1. 2. 3. 4.

5.

Se calcula la derivada de la función Se iguala a cero la derivada y se resuelve la ecuación, obteniendo las raíces de la derivada Se calcula la segunda deriva de la función. Se sustituyen las raíces de la primera deriva en la segunda derivada, con el siguiente criterio:  f ′′(x o ) > 0 ⇒ x = x o Hay un mínimo relativo Sí f ′(x o ) y :  f ′′(x o ) < 0 ⇒ x = x o Hay un máximo relativo Si f ´´ es nula en el punto, se busca la primera de las sucesivas derivadas que no sea nula en el punto, si es de orden par(segunda, cuarta, ...), en el punto habrá un extremo relativo con el mismo criterio que antes, si es de orden impar(tercera, quinta, ...), hay un punto de inflexión. Se sustituye la raíces de la primera derivada en la función para hallar la coordenada “y” de los extremos relativos

CONCAVIDAD CONVEXIDAD Si una función presenta un máximo, en un entorno a él, la función es cóncava y si presenta un mínimo, convexa. Luego se puede asimilar la curvatura de la función al signo de la segunda derivada, cóncava sí f ′′(x ) < 0 y convexa con f ′′(x ) > 0

La curvatura de una función también se puede referir a la posición relativa de la función con respecto a su tangente. Si la función está por debajo de su tangente, cóncava, por el contrario si la función está por encima de su tangente, convexa. El estudio de la curvatura de una función se resume por tanto al estudio del signo de la derivada segunda, en los intervalos en los que la derivada segunda sea positiva la función está por encima de la tangente y por tanto es convexa, en los que sea negativa la función está por debajo de la tangente y por tanto será cóncava.

PUNTO DE INFLEXIÓN Es el punto de transición de cóncava a convexa o viceversa y, por tanto, f ’’(x) = 0, mientras f ’’’(x) ≠ 0.

i. ii.

En los puntos de inflexión se cumple además dos condiciones interesante: La tangente corta a la función Son puntos donde la pendiente de la recta tangente alcanza un valor extremo relativo(máximo ó mínimo) Su calculo se puede escalonar: 1. Se calcula la segunda derivada 2. Se iguala a cero y se calculan sus raíces 3. Se calcula la tercera deriva 4. Se sustituyen las raíces de la segunda derivada en la tercera, si es distinta de cero hay un punto de inflexión, si fuese cero, se hace igual que en los extremos relativos, se busca el orden de la primera derivada que no se anule. Si fuera par, extremo relativo, si fuera impar, punto de inflexión.