1. Dada la función 1  x si x < 0  e  h (x ) =  k si x = 0  cos x − 1 si x > 0  sen x a) Determinar el valor de k para que f sea continua en x = 0. b) Para eso valor de k ¿es derivable en x = 0? Solución. a. Para que la función f(x) sea continua en x = 0, se debe cumplir: Lím f (x ) = f (0)

x →0

Para que una función tenga límite en un punto, debe de tener límites laterales y además, deben ser iguales. Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (0) x →0 −

x →0 +

Teniendo en cuenta la definición de la función: 1

1

− Lím f (x ) = Lím e x = e 0 = e −∞ = 0

x →0 −

x →0 −

(0 )

1

cos x − 1 0 − − sen x − 0 − sen 0 0 Lím f (x ) = Lím = e 0 = Lím = = =0 + + sen x L´H + cos x cos 0 1 x →0 x →0 x →0 f (0) = k Por la definición de continuidad: k = 0 1  x si x < 0  e  h (x ) =  0 si x = 0  cos x − 1 si x > 0  sen x b.

Para que la función sea derivable en x = 0 debe existir Lím

x →0

f (x ) − f (0) , y para que existe este x−0

límite deben existir los laterales y ser iguales. f (x ) − f (0) f (x ) − f (0) Lím = Lím x−0 x −0 x →0 − x →0 +

f (x ) − f (0) e1 x − 0 e1 x 0 = Lím = Lím = =? x−0 x 0 x →0 − x →0− x →0 − x Para resolver esta indeterminación hay que tener la idea feliz de invertir la fracción para aplicar el teorema de L`Hopital. Lím

∞

−1 1 ∞ e1 x x x 2 = Lím − 1 = − 1 = − 1 = − 1 = 0 Lím = Lím −1 x = Lím − − −1 x ∞ L´H x → 0 − −1 x 1 e∞ x →0 − x x →0 − e e −1 0 e ⋅ 2 x →0 e x 0 0 cos x − 1     −0 0 0 cos x − 1 − senx senx = Lím = Lím = x−0 x → 0 + x ⋅ senx L´H x → 0 + senx + x cos x L´H − cos x − cos 0 1 = Lím = =− + cos x + cos x + x (− senx ) cos 0 + cos 0 + 0 ⋅ ( − sen 0 ) 2 x →0 f (x ) − f (0) f (x ) − f (0) Lím ≠ Lím En x = 0 la función no es derivable. − + x − 0 x−0 x →0 x →0

f (x ) − f (0) Lím = Lím x−0 x →0 + x →0 +

1

2. Dada la función g(x ) =

ax 4 + 1 x3

a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, estudia su monotonía. b) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f (x) para a = 1. Esbozar la gráfica de la función para a = 1. Solución. a. Para que f(x) tenga un extremo relativo en x = 1, se debe cumplir que f ′(1) = 0 f ′(x ) =

(

)

4ax 3 ⋅ x 3 − ax 4 + 1 ⋅ 3x 2

(x )

3 2

f ′(1) = Para a = 3: f ′(x ) =

• • • •

=

(

(

) ) = 4ax

x 2 ⋅ 4ax 3 ⋅ x − ax 4 + 1 ⋅ 3 x6

a ⋅ 14 − 3 14

4

. − 3ax 4 − 3 x4

=

ax 4 − 3 x4

=0 ; a −3=0 ; a = 3

3x 4 − 3

; f ′(x ) = 0 ; 3x 4 − 3 = 0 ; x = ± 4 1 = ±1 x4 Si x ∈ (‒∞, ‒1) ⇒ (por ejemplo x = ‒2) f ′(x ) > 0 ⇒ f(x) es creciente Si x ∈ (‒1, 0) ⇒ (por ejemplo x = ‒1/2) f ′(x ) < 0 ⇒ f(x) es decreciente Si x ∈ (0, 1) ⇒ (por ejemplo x = 1/2) f ′(x ) < 0 ⇒ f(x) es decreciente Si x ∈ (1, +∞) ⇒ (por ejemplo x = 2) f ′(x ) > 0 ⇒ f(x) es creciente

b. Para esbozar la gráfica de la función se requiera como mínimo analizar el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo de la función y sus asíntotas x4 +1 f (x ) = x3  x 4 + 1 • Dominio: D  3  = x ∈ R x 3 ≠ 0 = R − {0}  x  • Corte con los ejes:

{

•

OX (y = 0): y =

}

x 4 +1

= 0 ; x 4 + 1 = 0 ; x = ± 4 − 1 ∉ R . No corta al eje OX x3 OY (x = 0): Como 0 ∉ Dominio, tampoco corta al eje OY si x < 0 Negativo si x ∈ (− ∞,0 ) f (x ) < 0 Signo: x 4 + 1 > 0 ∀ x ∈ Dominio; x 3  ⇒ si x > 0 Positivo  si x ∈ (0,+∞ ) f (x ) > 0

2

•

Asíntotas: -

Vertical: x = a / a∉ Dominio y Lím f (x ) = x→ a

 x + 1 04 + 1 Lím = =  3 − − 3 x 4 + 1 1  x →0 x 0 x = 0: Lím = : x →0 x 3 0  x 4 + 1 04 + 1 Lím = =  x →0 + x 3 + 3 0  - Horizontal: y = L; L = Lím f (x ) 4

( ) ( )

1 0− 1 0+

k 0 = −∞ Asíntota vertical: x = 0 = +∞

x → ±∞

 Lím x = −∞ x → −∞ Lím x = =  Lím x = +∞ x → ±∞ x 3 x → ±∞ x 3 x → ±∞ x →+∞ La función no tiene asuntota horizontal, los límites indican que cuando x tiende a +∞, la función tiende a +∞, y cuando x tiende a ‒∞, la función tiende a ‒∞ f (x ) - Oblicua (y = mx + n): m = Lím ; n = Lím (f (x ) − mx ) x → ±∞ x x → ±∞ 4 x +1 3 f (x ) x4 +1 x4 m = Lím = Lím x = Lím ≈ Lím =1 x → ±∞ x x → ±∞ x → ±∞ x 4 x → ±∞ x 4 x 4 4  x4 +1   = Lím x + 1 − x = Lím 1 = 1 = 0 n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  − 1 ⋅ x  x →±∞ x →±∞ x → ±∞ x 3 x → ±∞ x 3 x3 (± ∞ )3   Asíntota oblicua y = x. x +1 4

Lím

≈ Lím

x4

Posición relativa de la función respecto de la asíntota. 1 1 1  = Lím 3 = = = 0−  4 3  x +1  x → −∞ − ∞ 1  x (− ∞ ) − x  = Lím 3 =  n = Lím (f (x ) − (mx − n )) = Lím   x →±∞ x 1 1 1 x →±∞ x → ±∞ x 3 = Lím   = = = 0+ 3 3  x →+∞ x (+ ∞ ) + ∞

Cuando x tiende a ‒∞, la función se aproxima a la asíntota por debajo (0‒), cuando x tiende a +∞, la función se aproxima a la asíntota por encima. Con las asíntotas, y la posición relativa, se puede esbozar la gráfica de la función.

3

3. Sea la función t (x ) = x ⋅ e −ax a) Calcular el valor de a para que la función tenga un extremo relativ0 en x = 3, ¿de que extremo se trata? b) Para ese valor de a estudia la curvatura. Solución. a. Para que la función tenga un extremo relativo en x = 3 se debe cumplir: t ′(3) = 0

t ′(x ) = 1 ⋅ e −ax + x ⋅ e −ax ⋅ (− a ) = (1 − ax ) ⋅ e −ax 1 t ′(3) = (1 − 3a ) ⋅ e −3a = 0 ⇔ 1 − 3a = 0 ⇒ a = 3 Para estudiar el tipo de extremo se estudia el signo de la segunda derivada en el punto.  x t ′(x ) = 1 −  ⋅ e − x 3  3

−1  x 2  −x 3  1  x t ′′(x ) =  −  ⋅ e − x 3 + 1 −  ⋅ e − x 3 ⋅ =  − ⋅e 3 9 3  3  3 1 3 2 t ′′(3) =  −  ⋅ e −3 3 = − ⋅ e −1 < 0 ⇒ Máximo. 3 9 3 b.

• •

La curvatura se relaciona con el signo de la segunda derivada. x 2  x 2 t ′′(x ) =  −  ⋅ e − x 3 = 0 ⇒ − = 0 ⇒ x = 6 9 3  9 3 Si x ∈ (‒∞, 6) ⇒ t ′′(x ) < 0 ⇒ Convexa (∩) Si x ∈ (6, +∞) ⇒ t ′′(x ) > 0 ⇒ Cóncava (∪)

4