Asignatura impartida por Ascensión Hernández Encinas

Repaso de la función compleja Teorema de los residuos Aplicaciones

AUTORES Baena González, Julio Alberto Moreno Gómez, Roberto Muñoz Miguel, Jesús Núñez Ortiz, Jonathan

www.complementosdematematicas.tk

Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas INDICE

1.- Introducción ------------------------------------------------------------------------------------- 6 2.- Números complejos ---------------------------------------------------------------------------- 9 2.1 Antecedentes históricos de los números complejos ------------------------------ 9 2.1.1 Principales Autores ------------------------------------------------------- 10 2.2 Introducción a los números complejos -------------------------------------------- 12 2.2.1 Definición de número complejo ----------------------------------------- 12 2.2.2 Representación geométrica de los números complejos -------------- 13 2.2.3 Módulo y argumento de un número complejo ------------------------ 13 2.2.4 Formas de escribir un número complejo ------------------------------- 14 2.2.5 Operaciones elementales con números complejos ------------------- 15 3.- Funciones de variable compleja ------------------------------------------------------------- 17 3.1 Definición de función de variable compleja -------------------------------------- 17 4.- Funciones holomorfas ------------------------------------------------------------------------- 19 4.1 Derivación de funciones complejas ------------------------------------------------ 19 4.2 Definición de función holomorfa -------------------------------------------------- 20 4.3 Propiedades de la función holomorfa ---------------------------------------------- 21 5.- Funciones analíticas --------------------------------------------------------------------------- 22 5.1 Definición ----------------------------------------------------------------------------- 22 5.2 Ejemplos ------------------------------------------------------------------------------- 22 5.3 Operaciones con funciones analíticas --------------------------------------------- 23 5.4 Teoremas y corolarios derivados de la función analítica ----------------------- 23

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 6.- Funciones elementales complejas ----------------------------------------------------------- 25 6.1 Exponencial compleja --------------------------------------------------------------- 25 6.1.1 Propiedades de la exponencial ------------------------------------------ 25 6.2 Logarítmica compleja ---------------------------------------------------------------- 25 6.2.1 Propiedades de la logarítmica ------------------------------------------ 25 6.3 Trigonométricas complejas --------------------------------------------------------- 26 6.3.1 Definiciones ---------------------------------------------------------------- 26 6.3.2 Propiedades de seno y coseno complejos ------------------------------ 26 6.4 Otras funciones complejas ---------------------------------------------------------- 27 7.- Integración sobre caminos -------------------------------------------------------------------- 28 7.1 Definición (camino) ------------------------------------------------------------------ 28 7.2 Definición (integración de funciones complejas sobre caminos) -------------- 28 7.3. Propiedades---------------------------------------------------------------------------- 28 8.- Teoría de Augustin Louis Cauchy ----------------------------------------------------------- 31 8.1 Teoría local de Cauchy -------------------------------------------------------------- 31 8.1.1 Teorema y fórmula de Cauchy ------------------------------------------ 31 8.1.2 Consecuencias de la fórmula de Cauchy ------------------------------- 31 8.2. Teoría global de Cauchy ------------------------------------------------------------ 32 9.- Ceros y singularidades ------------------------------------------------------------------------ 34 9.1 Ceros en una función holomorfa --------------------------------------------------- 34 9.2 Singularidades aisladas -------------------------------------------------------------- 35 9.3 Singularidades en el infinito ------------------------------------------------------- 35 10.- Series de Laurent ----------------------------------------------------------------------------- 37 11.- Definición del teorema de los residuos ---------------------------------------------------- 39 11.1 Definición de residuo --------------------------------------------------------------- 39 11.2 Teorema de los residuos ------------------------------------------------------------ 39 11.3 Corolarios y Teoremas -------------------------------------------------------------- 40

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 12.- Cálculo de impropias ------------------------------------------------------------------------- 41 12.1 Integrales de funciones racionales sin polos en el eje real--------------------- 42 12.1.1 Ejemplo -------------------------------------------------------------------- 42 13.- Bibliografía ------------------------------------------------------------------------------------ 43 14.- Apéndice --------------------------------------------------------------------------------------- 46

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 1.- Introducción. Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o "incontables". Si retrocedemos en el tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo (Babilonia, Egipto, Grecia y Roma), veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas. Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el año 2000 a. de C., un sistema de numeración útil. Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos. Aunque los egipcios no hicieron aportaciones tan significativas como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones. Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al denominador. Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas no es una fracción. Creyeron que el caos entraba en su mundo ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional. Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los problemas. Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición (valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales. En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente. La civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que difundió por Europa la numeración india. En Europa, fue Cardano, durante el siglo XV, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos. El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria. Como ha podido comprobarse, para llegar a conceptos que hoy nos parecen sencillos y lógicos, han tenido que pasar muchos siglos y muchas culturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones al conocimiento de los números.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 2.- Números complejos. 2.1 Antecedentes históricos de los números complejos. Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de las matemáticas fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el período del Renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los números complejos aparecen inicialmente en el libro Ars Magna de Gerolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿cómo surge la idea de usar estos números? ¿Por que no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del Álgebra. Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos más adelante. Con el surgimiento del álgebra durante La Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Se puede considerar al matemático árabe Al-Jwarizmi como el padre de esta disciplina. El fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en el año 830 d.C., primer libro de álgebra, de gran influencia en toda Europa, donde se recojan todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.C. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotámicos e hindúes en toda Europa, a través de España. 2.1.1 Principales Autores. CARDANO. Girolamo Cardano fue un destacado matemático, así como también medico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Millán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseñó geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Fazio fue asesor del célebre Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de peste azotó a Milán y sus padres se trasladaron a Pavia. Allí nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de médico. En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y consideró la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dijo el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. BOMBELLI. Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia, siendo su padre Antonio Mazzoli, un comerciante en lanas. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano, pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia. Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había ledo el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre Álgebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podrán hacer mucho más comprensibles para el gran público. Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrollo el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma a + b − 1 A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica, los matemáticos de entonces se negaban a aceptarlos. Ellos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o Imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. Algunos genios como Newton, Leibnitz y Descartes nunca los comprendieron. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = a + bi en el Plano Cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Ver la figura:

Con esta representación, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799. En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a + bi, llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss, entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podrá sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del álgebra. Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas, de la mano de grandes matemáticos como Hamilton, Cayley, Cauchy (quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas) y finalmente el matemático alemán B. Riemann (creador de una nueva ciencia llamada la topología).

2.2 Introducción a los números complejos. 2.2.1 Definición de número complejo. Se llama número complejo a toda expresión de la forma z = a + bi donde a y b son números reales, e i es la llamada unidad imaginaría, definida por i 2 = −1 ( Notación : i = − 1 )

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas -

a es la parte real del número complejo z y b es la parte imaginaría de dicho número complejo.

-

Se dice que dos números complejos z = a + bi, w = c + di son iguales cuando a = c, b = d , es decir, cuando son iguales sus partes reales e imaginarias.

-

Un número complejo es igual a cero cuando son cero su parte real e imaginaría.

-

Se llama complejo conjugado del número complejo z = a + bi al número complejo z = a − bi

2.2.2 Representación geométrica de los números complejos.

2.2.3 Módulo y argumento de un número complejo. -

Sea z = a + bi un número complejo.

-

Se define el módulo de z como el número real positivo

z = a2 + b2 -

El argumento de z es un ángulo ϕ denotado Arg (z ), tal que

a = z cos(ϕ )

Así pues,

b = z sen(ϕ )

b z sen(ϕ ) b , de donde ϕ = arctg   = a z cos(ϕ ) a

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 2.2.4 Formas de escribir un número complejo. 1. Forma estándar, binómica o cartesiana:

z = a + bi 2. Forma trigonométrica: Sea z = a + bi, ϕ = Arg( z ), y r = z .Se tiene entonces, utilizando las conocidas fórmulas trigonométricas, que a = r ⋅ cos(ϕ )

b = r ⋅ sen(ϕ )

Así pues, z = a + bi = r (cos(ϕ ) + i ⋅ sen(ϕ )) = z (cos(Arg( z )) + i ⋅ sen(Arg( z ))) Esta expresión recibe el nmbre de forma trigonométrica del número complejo z = a + bi 3. Forma módulo argumental. Dado que para conocer un número complejo z basta conocer su módulo r y su argumento j, se puede escribir z = rϕ = (r , ϕ )

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que es la forma conocida como forma módulo-argumental de z. 4. Forma exponencial. La fórmula de Euler eiy = cos( y ) + i ⋅ sen( y ) nos proporciona una nueva forma de escribir el número complejo z, que es la forma exponencial z = r ⋅ eiy siendo r = z , ϕ = Arg( z )

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 2.2.5 Operaciones elementales con números complejos -

Suma (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i

Ejemplo de la suma: (4 + 3i ) + (3 + 2i ) = (4 + 3) + (3 + 2)i = 7 + 5i

-

Resta Es exactamente igual que la suma. Se resta la parte real con la parte real y la

imaginaria con la imaginaria. Ejemplo de la resta:

-

(4 − 2i ) − (2 + i ) = (2 − 3i )

Producto Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por

los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos: (a + bi ) ⋅ (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd )i + (ad + bc)i Ejemplo del producto: (4 + 2i ) ⋅ (3 + 2i ) = 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2i + 2 ⋅ 3i + 2 ⋅ 2i 2 = (4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2) + (4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3)i = 8 + 14i

-

Cociente La división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado

del denominador: a + bi (a + bi ) ⋅ (c − di ) ac − adi + bci + bd ac + bd + (bc − ad )i = = = = c + di (c + di ) ⋅ (c − di ) c 2 − cdi + cdi + d 2 c2 + d 2 ac + bd bc − ad = 2 + i c + d 2 c2 + d 2

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Ejemplo del cociente: (3 + 2i ) (3 + 2i ) ⋅ (−1 − 2i ) −3 − 6i − 2i − 4i 2 −3 − 8i + 4 = = = = (−1 + 2i ) (−1 + 2i ) ⋅ (−1 − 2i ) 1 − 4i 2 1+ 4 1 − 8i 1 8 = = − i = 0.2 − 1.6i 5 5 5

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 3.- Funciones de variable compleja. 3.1 Definición de función de variable compleja. Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir, f : A⊆ C →C

Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja, u ( z ) = ℜe f ( z ), v( z ) = ℑm f ( z )

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), z = x + iy ∈ A Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales. Ejemplo: La función f ( z ) = z 2 , puede expresarse f ( z ) = ( x + iy ) 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi En este caso u ( x, y ) = x 2 − y 2 , v( x, y ) = 2 xy .

Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de estos sólo interviene el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C. Observación Principalmente, trataremos con funciones f : Ω ⊆ C → C definidas en Ω abierto de C. Entonces, todo punto z O ∈ Ω es de acumulación (1) de Ω. f es continua en zO ∈ Ω si y sólo si

∀ε > 0 ∃δ tal que D (2) ( zO , δ ) ⊆ Ω y z − zO < δ ⇒ f ( z ) − f ( zO ) < ε (1) diremos que f es continua en Ω si lo es en zO , ∀zO ∈ Ω .

(1) El concepto de punto de acumulación de un conjunto en un espacio precisa que dicho punto está extremadamente cercano al conjunto sin pertenecer necesariamente a él. (2) Dado un punto z0 ∈ C y un ε > 0, entonces, D( z0 ; ε ) = { z ∈ C : z − z0 < ε } . Se llama disco (abierto) de centro z0 y radio ε . Es lo que en espacios métricos abstractos se denomina bola. La familia de todas las bolas centradas en un punto z0 , ( D( z0 ; ε ))ε >0 es una base de entornos del punto z0 .

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre un abierto de C. Las propiedades de los límites y funciones continuas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados. Sean f , g : Ω ⊆ C → C y z O ∈ Ω tal que lim f ( z ) = α , lim g ( z ) = β z → zO

z → zO

Entonces: 1. Si f ( z ) = u ( z ) + iv( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), z = x + iv ∈ Ω, z O = xO + iy O

lim f ( z ) ⇔

z → zO

lim

( x , y ) →( xO , yO )

u ( x, y ) = ℜe α Λ

lim

( x , y ) → ( xO , yO )

v( x, y ) = ℑm α

2. lim ( f ( z ) + g ( z )) = α + β z → zO

3. lim ( f ( z ) ⋅ g ( z )) = α ⋅ β z → zO

4. Si β ≠ 0

lim

z → zO

f ( z) α = g ( z) β

5. Si f y g son continuas en z0 , también lo son las funciones f + g y f ⋅ g . Asimismo, lo es f / g siempre que g ( z0 ) ≠ 0.

Observación. Cualquier otra propiedad conocida en R que sólo tenga que ver con el uso del módulo y la estructura de cuerpo, también será cierta en C. Por ejemplo, el límite del producto de una función que tienda a 0 por otra función acotada en un entorno del punto, es 0.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 4.- Funciones holomorfas. En este apartado hablaremos de todo lo referido a este tipo de funciones: 4.1 Derivación de funciones complejas. Para hablar de funciones holomorfas primeramente, se hablara de derivación de funciones complejas. Definición: Sea Ω un abierto de C y ƒ: Ω

C y sea z o ∈ Ω. Diremos que ƒ es derivable en

z o si existe el límite:

f ′( z0 ) =

f ( z ) − f ( zo ) df ( zo ) = lim ∈C → z0 z  dz z − zo

El valor de este límite será la derivada de z o en ƒ. Tendremos en cuenta que aunque la definición sea como en el plano real, la existencia del límite en el complejo es más exigente, al tener que existir dicho límite de cualquier modo que nos acerquemos a z o por el plano. Puede ocurrir que una función derivable el sentido real no pueda extenderse a una función derivable en el sentido complejo. Recordaremos algunos ejemplos de funciones derivables. -

Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.

-

La función identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente 1.

-

Todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresión que en R.

-

Toda función racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C salvo los ceros del denominador.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 4.2 Definición de función holomorfa. Una vez explicado todo esto, definiremos matemáticamente que es una función holomorfa: Definición: Sea Ω un abierto de C y ƒ: Ω

C. Diremos que ƒ es holomorfa en el punto

z o ∈ Ω si ƒ es derivable en todos los puntos del entorno z o . Por tanto, diremos que ƒ es holomorfa en Ω si ƒ es holomorfa para todo zo ∈ Ω . De tal manera que ƒ es holomorfa en Ω
ƒ es derivable en todos y cada uno de los puntos de Ω. Por tanto si ƒ es derivable en z o ∈ Ω entonces existe:

f ′( zo ) = lim

→ zo z 

f ( z ) − f ( zo ) ∈C z − zo

Este límite se toma sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a zo , y para todas esas sucesiones de números complejos el cociente tiene que dar el mismo número f '( zo ). Diremos también que f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto zo en U, decimos que f es holomorfa en U. Teorema: Sea Ω un abierto de C, entonces la función ƒ: Ω

C es derivable en el punto

z o ∈ Ω si y sólo si es diferenciable en z o y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son:

∂ Re f ∂ Im f ( zo ) = ( zo ) ∂x ∂y

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∂ Re f ∂ Im f ( zo ) = − ( zo ) ∂y ∂x

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 4.3 Propiedades de la función holomorfa - Como la diferenciación compleja es lineal y cumple las reglas del producto, las del cociente y las de la cadena, entonces se tiene claramente que las sumas, productos, y composiciones de funciones holomorfas son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero. - Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor. - Toda función holomorfa es una función analítica (que definiremos en el siguiente apartado), especialmente cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. - Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se le denomina función entera. - Las funciones holomorfas son conformes z o , (en matemáticas una transformación C, diferenciable en zo ∈ A ⊂ C , que preserva el ángulo

conforme es una función f: A que dos curvas α : [ a, b] → A

y

β : [ a, b ] → A , diferenciables en α −1 ( z0 )

y

β −1 ( z0 ) ,

respectivamente, forman entre sí en z0 ). - Se dice que una función es meromorfa sobre un subconjunto abierto D del plano complejo si es una función holomorfa en todo D excepto en un conjunto de puntos aislados, llamados polos de la función. Dichas funciones son a veces conocidas como funciones regulares.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 5.- Funciones analíticas. 5.1 Definición. Sea Ω ≠ Ø un abierto de C. Una función f : Ω → C se dice analítica en a ∈ Ω , si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0 tal que ∞

f ( z ) = ∑ an ( z − a ) , z − a < R . n

n=0

Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a. f se dice analítica en Ω si lo es en cada punto a ∈ Ω .

5.2 Ejemplos.

1. Todo polinomio es una función analítica en C. En efecto, siempre podemos cambiar de base y expresar, para cualquier a ∈ C , P(z ) = a0 + a1 z + ... + a n z n = b0 + b1 (z − a ) + ... + bn (z − a ) . n

∞

2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f ( z ) = ∑ a n z n n =0

∞

con radio R > 0 es analítica en D (0; R). Análogamente, f ( z ) = ∑ a n ( z − a ) es analítica en n

n =0

D (0; R).

3. La función racional f ( z ) = analítica en 0. Pues

1 es analítica en C - {1}. En efecto, es claro que es 1− z

∞ 1 = ∑ z n , z < 1 . Pero, utilizando esta misma suma, si a ∈ C - {1}, 1 − z n=0

1 1 1 = = 1 − z 1 − a − (z − a ) 1 − a

1 z−a 1−    1− a 

∞ (z − a ) 1 ∞ z −a =   ∑ ∑ n +1 1 − a n =0  1 − a  n =0 (1 − a ) n

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas

Siempre que

z−a < 1 . Es decir, en el entorno de a, z − a < 1 − a . 1− a

Proposición. Si f es analítica en Ω entonces f es holomorfa. Es más, f es indefinidamente derivable en Ω .

5.3 Operaciones con funciones analíticas.

1. La suma y el producto de funciones analíticas son analíticas. 2. Si f es analítica en a y f (a) ≠ 0 entonces 1/ f es analítica en a. 3. Sean f : Ω → C , g : Ω1 → C con f (Ω ) ⊆ Ω1 . Si f es analítica en a y g es analítica en f (a), entonces g o f es analítica en a.

5.4 Teoremas y corolarios derivados de la función analítica.

Teorema (Principio de prolongación analítica). Sea Ω una región de C. Sea f : Ω → C analítica en Ω . Son equivalentes:

1. f ≡ 0 en Ω . 2. ∃a ∈ Ω con f (n ) (a ) = 0 , ∀n ∈ ℕ ∪ {0} . 3. f = 0 en un subconjunto de Ω con punto de acumulación en Ω . Corolario. Sea Ω una región de C. Sean f y g funciones analíticas en Ω . Son equivalentes:

1. f ≡ g en Ω . 2. ∃a ∈ Ω con f (n ) (a ) = g (n ) (a ) , ∀n ∈ N ∪ {0} . 3. f = g en un subconjunto de Ω con punto de acumulación en Ω .

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Corolario. Sea Ω región de C. Sean f, g ∈ A(Ω) tales que la función fg ≡ 0 en Ω . Entonces, ó f ≡ 0 en Ω , ó g ≡ 0 en Ω . Dicho de otra manera, A( Ω ) es un dominio de integridad, es decir, es un anillo ( R, +, ·), formado por un conjunto R y dos operaciones como la suma y el producto, que carece de elementos divisores de cero.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 6.- Funciones elementales complejas. En este apartado hablaremos de las funciones básicas conocidas, aplicadas a las funciones de variable compleja, analizando sus propiedades (3). 6.1 Exponencial compleja. +∞

zn tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos La serie de potencias ∑ n =0 n! definir en todo C una función como suma de tal serie. 6.1.1 Propiedades de la exponencial -

Es derivable indefinidamente, y su derivada es ella misma, para todo z ∈ C.

-

e0 = 1

-

Para cada z ∈ C , e − z =

1 , con lo que en particular, e z ≠ 0. Además z e

para cualesquiera z, w ∈ C, e( z + w) = e z · e w . -

Dados n ∈ ℕ y z ∈ C, enz es el producto de n factores iguales a e z .

-

Para cada x ∈ R , también e x ∈ R.

6.2 Logarítmica compleja. La función logarítmica la podemos definir como la función inversa de la exponencial compleja, y de ahí, deducir sus propiedades.

(3) Estas propiedades vendrán demostradas en el libro de apuntes de la universidad de Zaragoza cuya referencia aparece en la bibliografía.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 6.2.1 Propiedades de la logarítmica -

La función logarítmica real es indefinidamente derivable, y su derivada es 1/x

-

ln 1 = 0, ln e = 1.

-

Para cada x ∈ (0, +∞), ln 1/x = - ln x.

-

Dados x, y ∈ (0, +∞), ln (xy) = ln x + ln y.

-

Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), ln (xn) = n ln x.

-

El conjunto imagen de la función logarítmica real es R.

-

La función logarítmica real es creciente y cóncava. En particular, es inyectiva.

-

Se tiene que lim ln x = +∞ y lim ln x = −∞ x → +∞

x →0 +

La no inyectividad de la función exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a la hora de abordar una definición de logaritmo, empleándose las propiedades del logaritmo complejo.

6.3 Trigonométricas complejas. 6.3.1 Definiciones.

(−1) n z 2 n ∈C (2n)! n =0

(−1) n z 2 n +1 ∈C n = 0 ( 2n + 1)!

∞

∞

cos( z ) = ∑

sen( z ) = ∑

6.3.2 -

Propiedades de seno y coseno complejos. Son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo z ∈ C sen’z = cos z

-

cos’z = -sen z

El seno es una función impar mientras que el coseno es par, es decir: sen (–z) = - sen z

-

cos (–z) = cos z

Para todos z, w ∈ C, sen (z+w) = sen z cos w + cos z sen w cos (z+w) = cos z cos w – sen z sen w

-

Para cada z ∈ C es sen2z + cos2z = 1

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 6.4 Otras funciones complejas. Existen muchos tipos de funciones complejas, como arco tangente compleja donde al igual que con el logaritmo deberemos tomar especial cuidado debido a su no inyectividad (4).

(4) Una función f : X → Y es inyectiva si a cada valor de un conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en la imagen de f . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Así, por ejemplo, la función de números reales f : ℝ → ℝ, dada por f ( x) = x 2 no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f ( −2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g : ℝ + → ℝ + entonces sí se obtiene una función inyectiva.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 7.- Integración sobre Caminos. 7.1 Definición de camino. Un camino (o curva C 1 a trozos) es una función continua γ : [a, b] → C tal que existe una partición a = t0 < t1 < … < tk = b de forma que γ  t

j −1

, t j  es una curva de clase C 1 (j

= 1, …, k). Esto significa que γ : t j −1 , t j  → C es derivable en sentido real (las partes real e imaginaria son derivables). 7.2 Definición de integración de funciones complejas sobre caminos. Sea γ : [a, b] → C y sea f : sopγ

(5)

→ C una función continua. Se llama integral de f

sobre γ a

∫γ f = ∫γ f ( z ) dz = ∫ f (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt

donde f ( z ) = f ( γ ( t ) ) .

b

a

7.3. Propiedades. 1. Si γ 1 son equivalentes γ 2 , entonces

2.

∫γ f −

1

f =∫ f . γ2

= −∫ f . γ

3.

∫γ

4.

∫γ ( f + g ) = ∫γ f + ∫γ g

1 ∪γ 2

∫γ

f =∫ f +∫ f . γ1

γ2

∫γ λf

= λ∫ f . γ

5. Regla de Barrow. Sea f : Ω ⊃ sopγ → C . Supongamos que ∃F ∈ H (Ω) tal que

F ′( z ) = f ( z ) , ∀z ∈ Ω . Entonces,

∫γ f (z )dz = F (γ (b )) − F (γ (a )) . (5) sop γ es la designación que se le da al soporte de la función γ , es decir, la imagen de dicha función. Por ejemplo,

γ 1 : [ 0, 2π ] → ℂ,

γ 1 (t ) = eit

γ 2 : [ 0, 2π ] → ℂ,

γ 2 (t ) = e2it

son dos curvas distintas que tienen el mismo soporte.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas En efecto, podemos subdividir el intervalo [a, b] en intervalos parciales [tj-1, tj] en los que la restricción de F ο γ es derivable, con derivada dada por la regla de la cadena

(Foγ )′ (t ) = F ′(γ (t ))γ ′(t ) = f (γ (t ))γ ′(t ) , contínua a trozos (luego finalmente integrable en [a, b]). Entonces, aplicando la regla de Barrow “ampliada”, ′ ∫γ f (z )dz = ∫ f (γ (t ))γ ′(t )dt = ∫ (Foγ ) (t )dt = F (γ (b )) − F (γ (a )) b

b

a

a

En las hipótesis anteriores, si γ es cerrado (es decir, si γ (a ) = γ (b ) ) resulta que

∫γ f (z )dz = 0 ∫γ

6.

f ( z ) dz ≤ longγ ⋅ sup f ( z )

b

siendo longγ = ∫ γ '(t ) dt (< +∞) a

z∈sopγ

En efecto,

∫γ

f ( z ) dz ≤

∫

b

a

f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt ≤ ∫ f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt ≤ b

a

( ∫ γ ′ (t ) dt ) ⋅ sup f (γ (t )) b

a

t∈[ a ,b ]

7. Sean f n, f : sopγ → C continuas, y tales que f n → f uniformemente en sopγ . Entonces,

lim ∫ f n ( z )dz = ∫ f ( z )dz n →∞ γ

γ

8. Cambio del orden de integración. Sea γ 1 un camino en un abierto Ω1 , γ 2 un camino en un abierto Ω 2 , φ : Ω1 × Ω 2 → C continua. Entonces

∫γ  ∫γ φ (z, w)dw dz = ∫γ  ∫γ φ (z, w)dz dw . 1

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas -Teorema. Sea γ un camino y f : sopγ → C continua. Entonces, la función g (z ) =

1 f (w ) dw , z ∈ C - sopγ ∫ 2Π i γ w − z

Es analítica en C - sop γ .

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 8.- Teoría de Augustin Louis Cauchy.

8.1 Teoría Local De Cauchy. 8.1.1 Teorema y Fórmula De Cauchy: La fórmula de Cauchy, nos sirve como herramienta para expresar el valor en un punto de una función holomorfa. La fórmula de Cauchy se basa en el Teorema de Cauchy: Sea Ω un abierto no vacío de C, f : Ω → C continua. Son equivalentes: (1) existe una primitiva de f en Ω, es decir, una función F ∈ H (Ω) tal que F’ = f; (2) para todo camino cerrado γ contenido en Ω,

∫γ f ( z )dz = 0; (3) para dos caminos cualesquiera γ1, γ2 contenidos en Ω que tengan los mismos orígenes e iguales extremos,

∫γ

1

f ( z )dz = ∫ f ( z )dz γ2

Demostración: (Véase el libro, Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz, “Teoría de funciones de variable compleja”).

8.1.2 Consecuencias de la Fórmula de Cauchy.

Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda función holomorfa es analítica. Precisando más: Si Ω es un abierto no vacío de C y f ∈ H (Ω) , para cada a ∈ Ω existe una ∞

serie de potencias

∑a n =0

n

( z − a ) n con radio R ≥ d(a, Ωc) (donde d(a, Ωc) es la distancia de a al

complementario de Ω, considerada + ∞ si Ωc = ∅, o sea, si Ω = C) tal que ∞

f ( z ) = ∑ a n ( z − a) n n =0

siempre que |z − a| < d(a, Ωc)

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 8.2 Teoría Global De Cauchy.

La Teoría local de Cauchy invitó a “refinar” las herramientas básicas (teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy) para ampliar su alcance. Si queremos estudiar propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la fórmula de Cauchy, hasta llegar al Teorema homológico de Cauchy. Pero antes definiremos los siguientes conceptos:

Definición. Un ciclo Г es una sucesión finita de caminos cerrados, distintos o repetidos, que denotaremos por Г = [γ1, γ2,…, γn], en la que no tenemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos Г y Г’ son iguales cuando consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, Г’= [γσ(1), γσ(2),…, γσ(n)] para alguna permutación σ). Denominaremos a γ1, γ2,…, γn los caminos que componen Г, y usaremos la notación γ ∈ Γ para indicar que γ es uno de los caminos que componen Г. El soporte de un ciclo Г = [γ1, γ2,…, γn] es la unión de los soportes de γ1, γ2,…, γn: sop Г = sop γ1 U sop γ2 U…U sop γn Definición. Dado un ciclo Г = [γ1, γ2,…, γn], el ciclo opuesto − Г es el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen Г: -Г = [-γ1, -γ2,…, -γn], La unión o suma de dos ciclos Г’ = [γ’1, γ’2,…, γ’n] y Г’’= [γ’’1, γ’’2,…, γ’’n] es el ciclo Г’ U Г’’ = [γ’1, γ’2,…, γ’m, γ’’1, γ’’2,…, γ’’n] Definición. Integración sobre ciclos. Dada una función f continua sobre el soporte de un ciclo Г = [γ1, γ2,…, γn], se define

∫

Γ

n

f = ∑∫ f = ∑∫ f K =1

γK

γ ∈Γ

γ

Consecuentemente, el índice de un punto a ∉sop Γ respecto de Г es

Ind Γ (a) =

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1 dz = ∑ Ind γ (a) ∫ Γ 2π i z − a γ ∈Γ

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Teorema. Sea Ω un abierto no vacío del plano complejo y f ∈ H (Ω). Sea Г un ciclo homólogo a 0 respecto de Ω. Entonces para cada z ∈ Ω tal que sopΓ : Si f ∈ H (Ω) y g está definida en Ω × Ω por  f ( z ) − f ( w) si w ≠ z ,  f ′( z ) g ( z , w) =   f ′( z ) si w = z 

Ind Γ ( z ) ⋅ f ( z ) =

1

2π i ∫

Γ

f ( w) dw w− z

(fórmula de Cauchy) y

∫

Γ

f ( w)dw =0

(teorema homológico de Cauchy)

Demostración. (Véase Rudin., Teorema: 10.35, pp. 248–249).

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 9.- Ceros y Singularidades. El estudio y el conocimiento de los ceros de una función es un aspecto importantísimo a la hora de la determinación, el manejo y el tratamiento de dicha función. Una de las principales aplicaciones del teorema de los residuos es la determinación de los ceros y discontinuidades de una función. 9.1. Ceros en una función holomorfa. Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser idénticamente nulo. La situación es algo menos drástica cuando hablamos de funciones holomorfas: conocemos funciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. El principio de prolongación analítica nos dice que el conjunto de ceros de una función holomorfa no nula, si su dominio es conexo, no puede poseer puntos de acumulación dentro del dominio. Esto no significa que no pueda haber puntos de acumulación de ceros: π  Ejemplo: La función sen   es holomorfa en C - {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z z

(En este caso 0 es un punto de acumulación de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulación, estos estarán en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho. Sea Ω una región de C y f ∈ H (Ω) no idénticamente nula. Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f, es decir, Z f = f

−1

(0). Entonces:

1) Z f es un conjunto discreto. 2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ Z f ∩ K es finito. 3) Z f es un conjunto contable (finito)

Definición Sea Ω un abierto de C y f ∈ H (Ω). Dado a ∈ Ω, diremos que a es un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que: f (a) = f ′ (a) =…= f

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( k −1)

(a)=0,

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f

(k )

(a) ≠ 0

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 9.2 Singularidades aisladas. Dado un abierto Ω y una función f : Ω → C se dice que un punto a ∈ Ω es un punto regular de f . Otra forma de definirlo es: f tiene en a un punto regular si existe un r >0 tal que D(a; r ) ⊆ Ω y f es derivable en cada punto de D(a; r ). Los puntos singulares o singularidades son puntos que no son regulares. Una vez sabido esto, estudiaremos un tipo especial de puntos singulares que denominaremos singularidades aisladas. Definición: Sea a ∈ C. Decimos que una función f tiene una singularidad aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa en: D (a; r) = {z ∈ C: 0 < |z − a| < r }. Podemos Clasificar las singularidades aisladas según las siguientes situaciones: a) Existe lim f ( z ) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable. z →a

Ejemplo: 0 es una singularidad evitable de la función f(z) = sin(z) / z, y se extiende mediante f(0) = 1. b) Existe lim f ( z ) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo. z →a

Ejemplo: 0 es un polo de orden 1 la función f(z) = 1 / z. c) No existe lim f ( z ) en C∞. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial. z →a

Ejemplo: 0 es una singularidad esencial de la función f(z) = e1 / z.

9.3. Singularidades en el infinito. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una función f si existe R > 0 tal que f ∈ H ( AR ), donde AR = {z ∈ C: |z| > R}.

Podemos

establecer

una

clasificación

similar

a

la

considerada

para

singularidades finitas, supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una función f. Entonces:

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas a) Existe lim f ( z ) ∈ C. Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una z →∞

singularidad evitable de f. b) Existe lim f ( z ) = ∞. Se dice que f tiene en ∞ un polo. z →∞

c) No existe lim f ( z ) en C∞. Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial ó que ∞ es z →∞

una singularidad esencial de f.

Estudio de singularidades en el infinito. Si para algún R > 0 es f ∈ H ( AR ), donde antes

AR = {z ∈ C: |z| > R}. La función f * definida por: 1 f *(z) = f ( ) z Es holomorfa en D (0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f *. Esto permite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidades aisladas en 0.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas

10.- Series de Laurent. Las series de Laurent se descubrieron en 1841 por Karl Weierstrass, pero el primero en publicarlas fue, el matemático Pierre Alphonse Laurent en el año 1843, del que reciben el nombre. Explicaremos breve y concisamente que es una serie de Laurent y algunas de sus aplicaciones sobre el tema que estamos tratando. La serie de Laurent de una función compleja, es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, incluyendo términos de grado negativo. Definición: Llamaremos serie de Laurent centrada en a a toda serie de la forma: ∞

∑a

n = −∞

n

( z − a) n

∞

Dado una serie de Laurent centrada en a; de la forma

∑a

n = −∞

n

( z − a) n siendo:

(

R 2 : lim sup n an

R1 : lim sup n a −n

)

−1

Entonces: 1. La serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a; R1, R2), a la que denominaremos corona de convergencia, y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D(a; R1, R2). 2. La serie no converge en ningún punto z ∈ D(a; R1, R2) exterior a la corona. 3. R1 y R2 son los únicos valores en [0,+∞] para los que se cumplen las propiedades (1) y (2). 4. La función f definida en D(a; R1, R2) como suma de la serie:

f ( z) =

∞

∑ a ( z − a)

n =−∞

n

n

Es holomorfa en D(a; R1, R2), y su derivada esta dada en cada punto por

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas ∞

∑ na ( z − a)

f ′( z ) =

n =−∞

n −1

n

- Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular y un camino de integración. El camino de integración debe estar dentro de un disco donde f (z) es una función holomorfa. - La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades. - Suponiendo: f ( z ) =

∞

∑ a ( z − a)

n =−∞

n

n

es una serie de Laurent con coeficientes an y un

centro complejo, entonces existe un radio interior r y un radio exterior R de tal forma que:

•

La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A = {z : r < |z − a| < R}, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado negativo.

•

Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.

•

Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.

Otra aplicación de las series de Laurent es que permiten saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent, tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo de singularidad es: - Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es removible. - Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo. - Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es una singularidad

esencial.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 11.- Definición del Teorema de los Residuos. 11.1 Definición de residuo. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una función f. Recibe el nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z-a) en el desarrollo en serie de Laurent de f en el punto a, de manera que si f (z) =

∞

∑ a ( z − a ) , z ∈ D ( a, 0, R ) ,

n =−∞

n

n

y denotamos con Res (f, a) el residuo de f en a, es

Res ( f ; a ) = a−1 . En el punto del infinito la definición es ligeramente distinta. Sea f f una función con una singularidad aislada en ∞ , y sea

f (z ) =

∞

∑a z

n = −∞

n

n

su desarrollo en serie de Laurent en una corona D (0, R, + ∞ ). Llamaremos residuo de f en el infinito al número

Res ( f ; ∞ ) = −a−1 (coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo).

11.2 Teorema de los residuos. Sea Ω un abierto no vacío de C y sea f una función holomorfa en Ω - A, donde A ⊆ Ω consta de singularidades aisladas de f. Para todo ciclo Γ homólogo a 0 respecto de Ω tal que A ∩ sop Γ = Ø se verifica

1

2π ⋅ i ∫Γ

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f ( z )dz = ∑ Res ( f ; a )Ind Γ ( a ) .

DE

a∈ A

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 11.3 Corolarios y Teoremas. Corolario. Sea Ω un abierto no vacío de C y f una función meromorfa en Ω , y sea A el conjunto de los puntos de Ω en los que f tiene polos. Para todo ciclo Γ homólogo a 0 respecto de Ω tal que A ∩ sop Γ = Ø se verifica 1

2π ⋅ i ∫Γ

f ( z )dz = ∑ Res ( f ; a )Ind Γ ( a ) . a∈ A

Teorema. Sea f una función holomorfa con un polo de orden m en un punto z 0 . Entonces

1 d m −1 z → z0 ( m − 1) ! dz m −1

Res ( f , z0 ) = lím

(( z − z ) 0

m

)

f (z) .

Teorema. Sean g(z) y h(z) funciones holomorfas en un punto z 0 de modo que p(g, z 0 ) = 0, p(h, z 0 ) = 1 (con lo que f (z) = g(z) / h(z) tiene un polo simple en z 0 ). Entonces

Res ( f , z0 ) =

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g ( z0 ) . h′ ( z0 )

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 12.- Cálculo de las Integrales Impropias. La principal aplicación del Teorema de los Residuos es el cálculo de integrales reales impropias cuyo integrando admite una primitiva que es muy difícil de calcular o ni siquiera es expresable en términos de funciones elementales. La idea es interpretar el integrando como una función de variable compleja, integrar esta función sobre una curva de Jordan adecuada, usando el Teorema de los Residuos, y tomar límites de manera que una parte de la curva tienda al trozo del eje real donde esté definida nuestra integral de partida y el límite de la integral en el resto de la curva pueda ser estimado fácilmente. El catálogo de integrales que puede evaluarse es muy extenso entre los que destacan: -

Integrales de funciones racionales sin polos en el eje real

-

Integrales de Fourier

-

Integrales con polos en el eje real

-

Integrales de Poisson

-

… Veamos un ejemplo de las primeras. 12.1 Integrales de funciones racionales sin polos en el eje real. Sean p y q dos polinomios tales que q no tiene raíces reales. Si gr(p) + 2 ≤ gr (q),

entonces la integral impropia de p/q en R converge y se tiene:

∫

∞

−∞

p( x) dx = 2π j ∑ Res( p / q, z ) q ( x) Im( z ) > 0

Donde la suma está extendida a todas las raíces del polinomio q situadas en el semiplano superior.

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 12.1.1 Ejemplo. Para calcular la integral f ( z) =

∫

∞

−∞

1 dx , observemos que los polos de la función 1+ x4

1 son las raíces cuartas de -1; a saber, e jπ / 4 , e 3 jπ / 4 , e 5 jπ / 4 , e 7 jπ / 4 . De éstas, 1+ z4

únicamente las dos primeras se encuentran en el semiplano superior y sabiendo que

Res ( f , z0 ) =

g ( z0 ) , los residuos correspondientes son: h′ ( z0 )

Res( f , e jπ / 4 ) =

1 e −3 jπ / 4 jπ / 4 jπ / 4 ⇒ z = e ⇒ Res( f , e ) = 4z3 4

Res( f , e3 jπ / 4 ) =

1 e− jπ / 4 3 jπ / 4 3 jπ / 4 ⇒ z = e ⇒ Res( f , e ) = 4z3 4

Como

⇒∫

∞

−∞

∫

∞

−∞

p ( x) dx = 2π j ∑ Re s ( p / q, z ) ⇒ q ( x) Im( z ) > 0

1 2π j −3 jπ / 4 − jπ / 4 2π j π dx = (e )= ( − j 2) = +e 4 1+ x 4 4 2

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas 13.- Bibliografía. - Arthur A. Hauser, JR. “Variable Compleja”. Ed. Fondo Educativo Interamericano, S.A.. - Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz. “Teoría de Funciones de variable compleja”. Universidad de Zaragoza. - Burden R.L., Faires J.D. “Numerical Analysis”. Ed. International Thomshon. - Carlos Ivorra Castillo. “Funciones de variable compleja con aplicaciones a la teoría de números”. Universidad Politécnica de Valencia. - Kincaid, Cheney. “Numerical analysis mathematics of scientific computing”. Ed. Thomson Learning. - L. Volkovyski, G. Lunts, I. Aramanovich. “Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja”. Ed. Mir Moscu. - Luis Manuel Sánchez Ruiz y Matilde Pilar Legua. “Fernández Fundamentos de Variable Compleja y aplicaciones”. Universidad Politécnica de Valencia. - http://rinconmatematico.com/ - http://es.wikipedia.org/ - http://www.matematicas.net/

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Repaso de la función compleja. Teorema de los residuos. Aplicaciones Complementos de Matemáticas Apéndice.

1.- Ampliación de la Teoría Local de Cauchy.

Teorema de Cauchy para un triángulo (Cauchy-Goursat). Sea Ω un abierto no vacío de C, p un punto de Ω, f : Ω → C continua tal que f ∈ H (Ω /( p )) Para cualquier triángulo cerrado ∆ contenido en Ω,

∫δ

∆

f ( z )dz = 0

Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea Ω un abierto estrellado de C, p un punto de Ω, f : Ω → C continua tal que f ∈ H (Ω /( p )). Para cualquier camino cerrado γ contenido en Ω,

∫γ f ( z )dz = 0 Fórmula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea Ω un abierto estrellado de C y f ∈ H (Ω) . Si γ es un camino cerrado contenido en Ω, para cualquier z de Ω que no este en el soporte de γ es

f ( z ) ⋅ Ind γ ( z ) =

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1

f ( w)

dw 2π i ∫γ w − z

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