Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Sistemas de Ecuaciones Docente responsable: Fernando Aso Sistemas de Ecuaciones La suma de las edades de Ximena y Yamila es de 24 años, y Ximena tiene 4 años más que Yamila. Para resolver el siguiente problema, hay que plantear dos ecuaciones con dos incógnitas cada una. La ecuación que se plantea a partir de la primera condición es: x + y = 24 Donde “x” representa la edad de Ximena e “y” la edad de Yamila. La segunda condición expresada en lenguaje simbólico es: x = y+4 Dos ecuaciones con dos incógnitas cada una representan un sistema de ecuaciones. ⎧ x + y = 24 ⎨ ⎩x = y + 4 Cada una de las ecuaciones de un sistema tienen infinitas soluciones que verifican a cada una de

ellas.

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el conjunto de pares ( x; y ) que tienen en común ambas ecuaciones. Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto de soluciones. En general se escribe: ⎧ax + by = c ⎨ ⎩dx + ey = f donde x e y son las incógnitas, y a, b, c, d, e, f son coeficientes (números reales) TIPOS DE SISTEMAS Un sistema de ecuaciones, por las soluciones que se pueden presentar, se puede diferenciar los siguientes casos: compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene; los sistemas compatibles puede tener un número finito de soluciones compatible determinado, o infinitas soluciones compatible indeterminado, según se puede ver a continuación.

Compatible determinado Se llama compatible determinado a los sistemas que tienen un número finito de soluciones. Supongamos el siguiente sistema: ⎧2 x + y = 1 ⎨ ⎩x − y = 5 Si se representa gráficamente, son dos rectas que se intersecan en el punto (2;−3) . Es decir, tienen un punto en común y este punto es la solución del sistema. Por ello es un sistema compatible determinado. Ambas rectas se intersecan en un punto, por lo que el sistema es compatible, por tener soluciones, y es determinado, al ser éstas finitas.

Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Sistemas de Ecuaciones Docente responsable: Fernando Aso

Compatible Indeterminado Un sistema es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema: ⎧x + y = 3 ⎨ ⎩2 x + 2 y = 6 Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -1 y tiene la misma ordenada al origen. Ambas ecuaciones son iguales y en consecuencia se intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

Incompatible De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema: ⎧x + y = 5 ⎨ ⎩2 x + 2 y = 6 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente pero con distinta ordenada el origen. Esto implica que las rectas son paralelas y en consecuencia no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

Se grafican ambas ecuaciones despejando en cada una de ellas las incógnita “y”. ⎧ x + y = 24 ⇒ y = 24 − x ⎨ ⎩x = y + 4 ⇒ y = x − 4 Ambas funciones son afines. Las dos funciones se grafican en un mismo sistema de ejes y el punto en que se cortan las rectas es la solución de este sistema. Si las rectas son paralelas, no se cortan, y el sistema no tiene solución. El punto (14;10 ) representa el par ( x; y ) que verifica las dos condiciones enunciadas, es decir: x = 14 e y = 10 . Por lo tanto, Ximena tiene 14 años y Yamila 10.

Verificación: ⎧ x + y = 24 ⇒ 14 + 10 = 24 ⎨ ⎩ x = y + 4 ⇒ 14 = 10 + 4

Los dos valores deben verificar ambas ecuaciones simultáneamente.

Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Sistemas de Ecuaciones Docente responsable: Fernando Aso Resolución analítica

Hay varios métodos analíticos para hallar la solución de un sistema de ecuaciones; dos de ellos son: Método de igualación ⎧ x + y = 24 ⇒ y = 24 − x ⎨ ⎩x = y + 4 ⇒ y = x − 4

Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones.

24 − x = x − 4 − x − x = −4 − 24 − 2 x = −28 x = −28 : (− 2 ) x = 14

Se igualan las ecuaciones y se resuelve la ecuación resultante.

y = 14 − 4 ⇒ y = 10

Se reemplaza el valor obtenido en la primera incógnita despejada.

Método de sustitución ⎧ x + y = 24 ⇒ y = 24 − x ⎨ ⎩x = y + 4 x = 24 − x + 4 x + x = 24 + 4 2 x = 28

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Se reemplaza el valor en la otra ecuación y se resuelve.

x = 28 : 2 x = 14

y = 24 − 14 ⇒ y = 10

Se reemplaza el valor obtenido en la primera incógnita despejada.