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Temas  Teoría de la Complejidad  Análisis de Algoritmos

 Complejidad temporal y espacial  Funciones Matemáticas  Ordenes  Notación Asintótica

 Principios para determinar el orden de un algoritmo

Objetivo Que el estudiante logre:  Entender los fundamentos de la Teoría de la Complejidad.  Medir la eficiencia de algoritmos.  Diferenciar entre los algoritmos de complejidad polinómica y no polinómica. 12:00

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¿Qué es un algoritmo? Un algoritmo es una serie finita de pasos para resolver un problema. ¿Qué condiciones debe satisfacer? Un algoritmo debe satisfacer las siguientes condiciones: 1. Consiste en un conjunto finito de instrucciones simples y precisas, que son descritas por un conjunto finito de símbolos. 2. Siempre producirá el resultado (la respuesta al problema) en un número finito de pasos. 3. Hay un agente computacional que lleva a cabo las instrucciones (guardar, recabar y realizar los pasos de una computación). Este requerimiento es satisfecho tanto por las computadoras como por los seres humanos, puesto que ambos tienen memoria. 4. El agente computacional debe realizar las instrucciones por medio de pasos discretos. 5. El agente computacional debe llevar a cabo las instrucciones determinísticamente o mecánicamente.

Algoritmo es un procedimiento para resolver un problema cuyos pasos son concretos y no ambiguos. El algoritmo debe ser correcto, de longitud finita. 12:00

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 ¿Cómo construir algoritmos?  ¿Cómo expresar algoritmos?  ¿Cómo validar algoritmos?  ¿Cómo analizar algoritmos?

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La leyenda sobre el tablero de ajedrez Mucho tiempo atrás, el visir Sissa ben Dahir inventó el juego del ajedrez para el rey Shirham de la India. El rey ofreció a Sissa la posibilidad de elegir su propia recompensa. Sissa le dijo al rey que podía recompensarle: o bien con una cantidad equivalente a la cosecha de trigo en su reino de dos años, o bien con una cantidad de trigo que se calcularía de la siguiente forma:

• un grano de trigo en la primera casilla de un tablero de ajedrez, • más dos granos de trigo en la segunda casilla, • más cuatro granos de trigo en la tercera casilla, • y así sucesivamente, duplicando el número de granos en cada casilla, hasta llegar a la última casilla. El rey pensó que la primera posibilidad era demasiado cara mientras que la segunda, medida además en simples granos de trigo, daba la impresión de serle claramente favorable. Así que sin pensárselo dos veces pidió que trajeran un saco de trigo para hacer la cuenta sobre el tablero de ajedrez y recompensar inmediatamente al visir. 12:00

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El número de granos en la primera fila resultó ser: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = 255 La cantidad de granos en las dos primeras filas es:

Al llegar a la tercera fila el rey empezó a pensar que su elección no había sido acertada, pues para llenar las tres filas necesitaba: granos, que pesan alrededor de 600 kilos . . En efecto, para rellenar las 64 casillas del tablero hacen falta

granos, cantidad equivalente a las cosechas mundiales actuales de 1.000 años!!.  La función 2n − 1 (exponencial) representa el número de granos adeudados en función del número n de casillas a rellenar. Toma valores desmesurados aunque el número de casillas sea pequeño.  El coste en tiempo de algunos algoritmos expresado en función del tamaño de los datos de entrada es también exponencial. Por ello es importante estudiar el coste de los algoritmos y ser capaces de comparar los costes de algoritmos que resuelven un mismo problema. 12:00 55

 La técnica que se utilizaba en los primeros años de la programación para comparar la eficiencia de distintos algoritmos consistía en ejecutarlos para datos diferentes y medir el tiempo consumido.  Dado que las máquinas y los lenguajes eran dispares, y que el tiempo de ejecución depende no sólo del tamaño sino también del contenido de los datos, resultaba muy difícil comparar tales resultados.  El primer estudio serio sobre la eficiencia de los algoritmos se lo debemos a Daniel Goldenberg del MIT. En 1952 realizó un análisis matemático del número de comparaciones necesarias, en el mejor y en el peor caso, de cinco algoritmos distintos de ordenación.  La tesis doctoral de Howard B. Demuth de la Universidad de Stanford estableció en 1956 las bases de lo que hoy llamamos análisis de la complejidad de los algoritmos. 12:00 66

Dado un problema computacional:

 ¿Existe un algoritmo óptimo para resolver el problema? en tal caso,  ¿Cuál será el criterio de optimalidad que deberá utilizarse?

 ¿Es posible medir el tiempo de ejecución o la memoria necesaria para cada posible algoritmo que resuelva el problema?

El área de las ciencias de la computación que se ocupa de estos temas se denomina Teoría de la Complejidad y los resultados que produce son medidas y criterios para determinar la eficiencia de los algoritmos.

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TIPO DE ANÁLISIS

SEGÚN EL MOMENTO

ANÁLISIS DE UN ALGORITMO EN PARTICULAR: se trata de investigar el costo de usar un determinado algoritmo para resolver un problema específico. ANÁLISIS DE UNA CLASE DE ALGORITMOS: se investiga toda una familia de algoritmos que permiten resolver un problema, procurando obtener él que demande menor costo ESTIMACIÓN A PRIORI Hace uso de un modelo matemático, como lo es una función, basada en un computador idealizado y en un conjunto de operaciones con costos de ejecución perfectamente especificados. Proporciona sólo un RESULTADO APROXIMADO. COMPROBACIÓN A POSTERIORI Se lleva a cabo en el momento de la ejecución del programa en un computador y consiste en medir los tiempos de corrida del programa en cuestión. Proporciona VALORES REALES.

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LA

COMPLEJIDAD DE UN ALGORITMO ES UNA MEDIDA DE LA

CANTIDAD DE RECURSOS REQUIERE.

(TIEMPO,

MEMORIA) QUE EL ALGORITMO

¿CÓMO MEDIR LA EFICIENCIA DE LOS ALGORITMOS? 

Contando el número de pasos (tiempo de ejecución del algoritmo.)

COMPLEJIDAD EN TIEMPO 

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Determinando el espacio utilizado por el agente computacional (máquina, persona) que lo ejecuta (espacio utilizado por el algoritmo.)

COMPLEJIDAD EN ESPACIO

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COMPLEJIDAD TEMPORAL (ESPACIAL). Tiempo (o espacio) requerido por un algoritmo, expresado en base a una función que depende del tamaño del problema.

COMPLEJIDAD TEMPORAL ASINTÓTICA (y ESPACIAL). Comportamiento límite conforme el tamaño del problema se incrementa. Determina el tamaño del problema que puede ser resuelto por un algoritmo.

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10 10

Para evaluar la rapidez o viabilidad de un algoritmo (eficiencia) se imagina que al algoritmo se le suministra entradas cada vez mayores y se observa la razón de crecimiento del tiempo insumido para ejecutarlo. Para analizar esto se consideran dos tipos de funciones matemáticas:

POLINÓMICA

ALGORITMOS EFICIENTES

FUNCIÓN

EXPONENCIAL

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ALGORITMOS NO EFICIENTES 11 11

El objetivo primario del estudio de la complejidad es definir cuáles problemas son tratables y cuáles no, para luego considerar distintos grados de tratabilidad.

tratable: complejidad polinomial Problema intratable: complejidad exponencial 12:00

12 12

Si un algoritmo ejecuta n operaciones por microsegundo, el algoritmo daría:

Un microsegundo es la millonésima parte de un segundo 12:00

13 13

Ejemplo 1(search): problema de pertenencia a un conjunto.

procedure search (var X: int-set: y: integer, var found: boolean); var i: integer; begin i := 1; found := false; while i 1

orden exponencial

O(n!)

orden factorial

O(nn)

orden doblemente exponencial

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El interés principal del análisis de algoritmos radica en saber cómo crece el tiempo de ejecución, cuando el tamaño de la entrada crece. Esto es la eficiencia asintótica del algoritmo. Se denomina “asintótica” porque analiza el comportamiento de las funciones en el límite, es decir, su tasa de crecimiento. La notación asintótica se describe por medio de una función cuyo dominio es los números naturales (N ) estimado a partir de tiempo de ejecución o de espacio de memoria de algoritmos en base a la longitud de la entrada. Se consideran las funciones asintóticamente no negativas. La notación asintótica captura el comportamiento de la función para valores grandes de N.

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Notación “O grande” (O mayúscula) (Omicron, "BigO") : se utiliza para manejar la cota superior del tiempo de ejecución. Notación “o minúscula”: denotar una cota superior que no es ajustada asintóticamente.

Notación “omega” (): se utiliza para manejar la cota inferior del tiempo de ejecución Notación “theta”(): se utiliza para indicar el orden exacto de complejidad

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Notación “O grande” (O(f)), denota el conjunto de las funciones g que crecen a lo sumo tan rápido como f (es decir, f llega a ser en algún momento una cota superior para g). Formalmente:

Constante multiplicativa

n0 indica a partir de que punto f es realmente una cota superior para g.

Se dice que la función g(n) “es de orden f(n)” [O(f(n))], si existen constantes positivas c0 y n0 tales que g(n) = n0 12:00

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Cota asintótica superior cf(n) g(n)

n0

g(n)=O(f(n))

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Se trata de buscar una función sencilla, f(n), que acote superiormente el crecimiento de otra g(n), en cuyo caso se notará como g(n) O(f(n)) (g es del orden de f).

La función n²+200n está acotada superiormente por n². Quiere decir que cuando n tiende a infinito el valor de 200 n se puede despreciar con respecto al de n².

22 22

Cota asintótica inferior g(n)

n

cf(n)

g(n)  cf(n) para un número infinito de valores de n.

0

g(n)=Ω(f(n)) La función n² puede ser acotada inferiormente por la función n. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de n≥1 se cumple n≤n². Por tanto n² = Ω(n) (sin embargo, n no sirve como cota inferior para n²). La función n²+200 n está acotada inferiormente por n². Quiere decir que cuando n tiende a infinito el valor de 200 n se puede despreciar con respecto al de n².

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c2f(n) g (n)

n 0

c1f(n)

g(n) = Θ(f(n)) si y sólo si g(n) = O(f(n)) y g(n) = Ω(f(n))

g(n)= Θ (f(n)) La función n +10 puede ser acotada por la función n. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de n ≥1 se cumple g(n)≤ h(n) ≤11g(n). Por tanto n+10 = Θ(x). La función n²+200 n está acotada de forma ajustada por n². Quiere decir que cuando n tiende a infinito el valor de 200 n se puede despreciar con respecto al de n².

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DEFINICIÓN 1: Sean g, f dos funciones de números naturales a números reales. La función g es O(f(n)) si y sólo si existe una constante real c > 0 tal que:

g ( n) lim c n    f ( n)

DEFINICIÓN 2: Sean g y f dos funciones sobre los naturales. O(g(n)) < O(f(n)) si y sólo si

lim g( n)

n

f ( n)

0

Similarmente, O (g(n)) > O (f(n)) si y sólo si

lim g( n)

n

f ( n)



DEFINICIÓN 3 Si f(n) domina asintóticamente a g(n) se dice que g(n)=0(f(n)) , es decir, es de orden f(n) ya que f(n) es una cota superior a la tasa de crecimiento de g(n). Para especificar una cota inferior para la velocidad de crecimiento de g(n) se usa la notación  (h(n)), que se lee "g(n) es omega mayúscula de h(n)" o "simplemente g(n) es omega de h(n)" lo cual significa que existe una constante c tal que: g(n)  ch(n) para un número infinito de valores de n. 25

Asignación: variable = expresión Si la expresión es sencilla, por ejemplo:

variable = 3.141592 variable = a +b etc. Entonces el tiempo de ejecución sería del orden O(1); en caso contrario habría que determinar el orden de la expresión, siendo de ese orden la asignación.

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Secuencia de comandos sentencia 1 sentencia 2 ... sentencia s El tiempo total de ejecución sería la suma de los tiempos de ejecución de cada sentencia; por tanto, sería del orden de: O(f1(n)+f2(n)+ ... +fs(n)) o lo que es lo mismo:

O(max(f1(n), f2(n), ..., fs(n))

(Regla de la suma)

es decir la dominante de todas las funciones. 12:00

27 27

Instrucción de bifurcación si expresión entonces bloque de sentencias si no otro bloque de sentencias fin si La expresión, el primer bloque de sentencias y el segundo bloque de sentencias tendrán unos tiempos de ejecución determinados T1(n), T2(n), T3(n) con unos órdenes O(f1(n)), O(f2(n)) y O(f3(n)).

El tiempo de ejecución de la estructura será la dominante de dichas funciones.

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28 28

Estructura repetitiva: desde i=a hasta f(n) hacer bloque de sentencias fin desde  El bucle anterior se ejecuta un número de veces que es función del tamaño del problema (n); si el tiempo de ejecución del cuerpo del bucle es de orden O(g(n)) entonces el tiempo de ejecución del bucle completo será del orden O(f(n)·g(n)).  Si el bucle fuera un mientras o un repetir...hasta, entonces se debería tener en cuenta el orden de la expresión lógica, determinar la dominante entre dicha expresión y el cuerpo del bucle y aplicar la regla anterior. 12:00

29 29

Ejemplo 1: desde i=1 a n desde j=1 a n escribir i+j fin desde fin desde

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1. El tamaño del problema viene definido en este caso por la variable n. 2. Se va a la zona más interna del bucle (escribir i+j). 3. Se trata de una sentencia elemental, por tanto, su tiempo de ejecución será de orden O(1). 4. El bucle más interno (desde j=1 a n) se ejecuta n veces y su cuerpo tiene complejidad O(1), por tanto, este bucle tiene complejidad O(n·1)=O(n). 5. El bucle más externo (desde i=1 a n) se ejecuta n veces y su cuerpo (el bucle anterior) tiene complejidad O(n), por tanto, este bucle (y el algoritmo) tiene complejidad O(n·n)=O(n2). 30 30

Ejemplo 2:

f=1 desde i=1 a n f=f·i fin desde

1. El tamaño del problema viene definido en este caso por la variable n. 2. Se va a la zona más interna del bucle (f=f·i). 3. Se trata de dos sentencias elementales (producto y asignación), por tanto, su tiempo de ejecución será de orden O(1). 4. El bucle (desde i=1 a n) se ejecuta n veces y su cuerpo tiene complejidad O(1), por tanto, este bucle (y el algoritmo que permite calcular el factorial de n) tiene complejidad O(n·1)=O(n).

¿Qué significa esto? Significa que si el cálculo del factorial de 10 en un ordenador tardó, por ejemplo, 2 segundos; ese mismo algoritmo calcularía en ese mismo ordenador el factorial de 20 como máximo en 4 segundos y el de 30 un máximo de 6 segundos. 12:00

31 31

ORDENAR UN VECTOR DE N ELEMENTOS DE MENOR A MAYOR procedimiento begin (1) For i = 1 to n-1 do (2) For j = i to n do (3) if A [i] > A [j] then begin (4) T = A [i] (5) A [i] = A [j] (6) A [j] = T next j next i end

O (1) O (1) O (1)

Las proposiciones (4), (5) y (6) toman O(1), por la regla de la suma O (max (1,1,1)) = O (1)  (1) El ciclo de las i se ejecuta n-1 veces  (2) El ciclo de las j se ejecuta n-i veces n 1

T =  (n  i ) = n - 1 + n - 2 + ... + n - ( n - 1 ) = (n 2 - n) / 2 i 1

T(n) = (n 2 - n) / 2 O (n2 ) 12:00

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El compromiso espacio-tiempo o tiempo-memoria es una situación en la que la memoria puede reducirse a costa de la ejecución más lenta de los programas, o viceversa, el tiempo de ejecución puede reducirse a costa de incrementar el uso de memoria. Ejemplos • Algoritmo que utiliza una tabla de búsqueda: una implementación puede incluir la tabla completa, lo que reduce el tiempo de ejecución, pero incrementa la cantidad de memoria necesitada, o puede calcular entradas de la tabla a medida que se necesiten, incrementando el tiempo de ejecución, pero reduciendo los requisitos de memoria. • Problema de almacenamiento de datos: si los datos se almacenan de forma no comprimida se necesita más espacio pero menos tiempo que si los datos se almacenan de forma comprimida (ya que la compresión reduce la cantidad de espacio utilizado, pero utiliza tiempo de ejecución para procesar el algoritmo de compresión). 33

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33



Existen dos clases de complejidad: la complejidad de tiempo y la complejidad de espacio. La complejidad de tiempo es más critica.



Existen dos estudios posibles sobre el tiempo de ejecución de un algoritmo:  Obtener una medida teórica a priori mediante la función de complejidad  Obtener una medida real del algoritmo, a posteriori, para unos valores concretos en un computador determinado.

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Estimación a priori

Estimación a posteriori

Se analizan algoritmos

Se analizan programas

Se obtienen valores aproximados

Se obtienen valores exactos

Independiente de la máquina

Dependiente de la máquina

Permite hacer predicciones sobre el comportamiento del algoritmo en cualquier máquina

Poco predictivo

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







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Los algoritmos eficientes se dice que son de orden de alguna función polinómica: 0(p(n)) (no interesa la forma exacta del polinomio p). Los del tiempo exponencial son 0(cn), para alguna constante c. La complejidad depende del tamaño de la entrada n. Se puede realizar un análisis de complejidad para el peor, mejor y caso promedio. La complejidad depende del algoritmo diseñado para solucionar un problema dado. Por ejemplo, el mismo problema (búsqueda en un conjunto ordenado) puede ser resuelto con diferentes complejidades por dos algoritmos diferentes (search y binarysearch). Para determinar el tiempo de ejecución de un algoritmo se define una función de costo o perfomance, usando como parámetro de la misma el tamaño n de los datos del problema, escribiendo f(n). 35 35

 

El orden de una función es una aproximación o estimación del tiempo o espacio requerido para la ejecución de un algoritmo. La dominancia asintótica permite comparar dos algoritmos y determinar hasta que valor de n (datos de entrada) un algoritmo es más eficiente que otro.

0  O (g (n)) < O (f (n))   O (g (n)) > O (f (n))

c  O (g (n)) = O (f (n))

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