Matemática

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Circunferencia Definición Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo c. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia de cada punto de la circunferencia al centro se llama radio. Consideremos un punto c coincidente con el origen de coordenadas y un punto p (x, y) perteneciente a la circunferencia.

Uniendo c con el punto p y trazando por él la paralela al eje y, queda determinado un triángulo rectángulo. Por el Teorema de Pitágoras: x 2 + y 2 = r 2 Ecuación canónica de la circunferencia con centro en c (0, 0) y radio r. Del mismo modo si consideramos una circunferencia con el centro desplazado en c (k, h), la ecuación canónica será: (x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2

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Observemos los gráficos anteriores para completar el cuadro comparativo de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y la circunferencia con centro (k, h): Ecuación canónica Centro Radio Dominio Codominio

x2+y2=r2

(x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2

c (0, 0) r>0 [- r, r] [- r, r]

c (k, h) r>0 [k - r, k + r] [h - r, h + r]

Simetría de la gráfica Observamos que la circunferencia es simétrica respecto a la recta de ecuación x = k e y = h y con respecto al centro de la gráfica (todas las rectas que pasan por el centro son ejes de simetría de la circunferencia). Ejemplo: 1-a) ¿Cómo se denomina la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 16? Circunferencia b) Determinar sus elementos. Los elementos son centro: c (0, 0) y radio: r = 4 c) Represente

Ecuación general de la circunferencia Si desarrollamos los cuadrados en la ecuación canónica (x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2, obtenemos (x 2 – 2 x k + k 2) + (y 2 – 2 y h + h 2) = r 2 igualando a cero y agrupando: x 2 + y 2 – 2 k x – 2 h y + k 2+ h 2 – r 2 = 0 Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia es: x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 (1) Si comparamos los coeficientes de la ecuación (1) con la ecuación general de 2º grado en las variables x e y:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0

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Observamos que: A = 1, B = 0, C = 1 D = – 2 k → k = – D/2 E = – 2 h → h = – E/2 Por lo tanto c (– D/2, – E/2) F = k 2 + h 2– r 2 → r 2= k 2 + h 2 – F La expresión (x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2, no siempre representa una circunferencia. Como el radio se obtiene por la expresión: r = k 2 + h 2 − F existen 3 posibilidades: • Si k 2 + h 2 – F > 0 → la ecuación (1) representa una circunferencia. Existen infinitas puntos que verifican la expresión. •

Si k 2 + h 2 – F = 0

→ sólo los valores de k y h verifican a la ecuación

(x – k) 2 + (y – h) 2 = 0. La gráfica corresponde a un punto (k, h) y no a una circunferencia. • Si k 2 + h 2 – F < 0 → No existen valores reales para x e y que satisfagan la ecuación. No existe gráfica de circunferencia, no se puede representar en el plano real.

Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de 2º grado para que su gráfica represente una circunferencia (Sólo analizaremos los coeficientes A, B y C). La ecuación general de segundo grado en las variables x e y: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0

representa una circunferencia si:

B = 0 y los coeficientes A y C son distintos de 0, debemos asegurar que A sea igual a C en valor y signo para que la gráfica corresponda a una circunferencia. En este caso dividimos por ese valor a toda la ecuación de 2do grado para obtener la ecuación (1). Por lo tanto, dada la ecuación general de segundo grado en las variables x e y: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0

representará una circunferencia si:

El coeficiente B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 y A = C (A igual a C en valor y signo). Ejemplo: Encuentre los elementos característicos de 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y – 16 = 0, utilizando las fórmulas correspondientes. 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y – 16 = 0 dividimos a ambos miembros de la igualdad por 2 y utilizamos las fórmulas. x 2+ y2– 4 x + 2 y – 8 = 0 k = – (– 4/2) → k = 2 h = – 2/2 → h = – 1 ∴ Centro c (2, – 1) r 2 = 2 2 + (– 1) 2 – (– 8) r 2= 4+ 1 + 8 r 2 = 13 → radio r = 13

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Ejemplo: Analice si la expresión – 5 x 2 – 5 y 2 – 20 x + 10 y – 25 = 0 corresponde a una circunferencia. Observemos que B = 0 y A = C = – 5, debemos dividir en – 5 a toda la expresión para poder saber el valor de los restantes coeficientes. x 2+ y2+ 4 x – 2 y + 5 = 0 D = 4, E = – 2 y F = 5 Para obtener las coordenadas del centro, calculamos: k = – 4/2 → k = – 2 h = – (– 2)/2 → h = 1 r 2 = (– 2) 2 + 1 2 – 5 → r 2 = 0 ∴ La expresión no corresponde a una circunferencia.

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