el mismo intervalo de tiempo que un objeto que se deja caer”. El movimiento vertical de ambos objetos es idéntico. Caída vertical. Movimiento del proyectil. =.
Ejemplo 1: Una pelota de fútbol es pateada con un ángulo de 37º por encima de la horizontal con una velocidad de 20 m/s. Calcular: a) la altura máxima que alcanza, b) el tiempo de vuelo antes que la pelota toque el piso, c) la distancia a la cual golpea el piso, d) el vector velocidad a la altura máxima, y e) el vector aceleración en la altura máxima. en este punto
EL MOVIMIENTO DEL PROYECTIL ES PARABÓLICO Suponiendo que no hay rozamiento
x = vx 0 t
t= x
1 2 y = vy 0 t − g t 2
( x0 , y0 ) = ( 0, 0 )
vx 0 vy 0 g 2 y = x − 2 x vx 0 2vx 0
Otra manera
vx 0 = v0 cos (θ0 )
v y 0 = v0 s en (θ0 )
2 g y = tan (θ0 ) x − 2 x 2 2v0 cos (θ0 )
VELOCIDAD RELATIVA • en la línea • en el plano
r r r v LT = v LR + v RT
Ejemplo 2: Un bote que posee una velocidad respecto del río igual a 1.85 m/s, trata de cruzarlo perpendicular al mismo cuya corriente posee una velocidad de 1.2 m/s. a) ¿Cuál es la velocidad del bote respecto de la orilla? b) Si el río tiene 110 m de ancho, ¿qué tan lejos estará del frente de la orilla de la que partió?
Corriente del río
Solución Ejemplo 1: De los datos del problema
m v0 = 20 ;0º s
y considerando como origen de coordenadas el punto de partida, tenemos:
x0 = 0 y0 = 0
m vx ,0 = v0 cos ( 37º ) = 15.97 s m v y ,0 = v0 sen ( 37º ) = 12.04 s
Coordenadas del vector posición inicial
Coordenadas del vector velocidad inicial
ܽ௫ = 0 m a y = −9.8 2 s Coordenadas del vector aceleración
Entonces las ecuaciones de movimiento quedan:
݉ = ݐ ݔ15.97 ݐ ݏ
(1)
m 1 m 2 y ( t ) = 12.04 t − 9.8 2 t (3) s 2 s
m ݒ௫ = ݐ15.97 s m m v y ( t ) = 12.04 − 9.8 2 t s s
(2) (4)
a) La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad se anula, es decir v t =0 y
()
Introduciendo este valor en la ec. (4)
m m v y ( t ) = 0 = 12.04 − 9.8 2 t s s
t = 1.23 s
Este es el tiempo que demora la pelota en llegar a su altura máxima. La distancia que recorrerá en la dirección vertical estará dada por la ec. (3) m 1 m 2
y ( t = 1.23 s ) = 12.04
s
(1.23 s ) −
2
9.8
s
2
(1.23 s )
= 7.40 m
La altura máxima es de 7.40 m por encima del punto de partida. b) La condición para que la pelota esté tocando el piso es que: y ( t ) = 0
m 1 m 2 Introduciendo esto en la ec. (3) y ( t ) = 0 = 12.04 t − 9.8 2 t s 2 s t =0 Despejando el tiempo m m t 12.04 − 4.9 2 t = 0 t = 2.46 s s s t = 0 es el tiempo correspondiente a x = 0 e y = 0 . Entonces, t = 2.46 s es el tiempo que dura el vuelo.
c) La distancia a la cual golpea el piso, es la distancia recorrida en la dirección horizontal durante el tiempo de vuelo, entonces reemplazo el tiempo de vuelo total en la ec. (1)
m x ( t = 2.46 s ) = 15.97 2.46 s = 39.29 m s El lugar donde la pelota golpea el piso se encuentra a una distancia de 39.29 m a la derecha del punto de partida. d) El vector velocidad tiene componentes en x e y. Pero en la altura máxima la componente en y es nula, mientras que en x hay un MRU y tiene el mismo valor que la velocidad inicial, entonces
m r v = ( vx ; v y ) = 15.97 ; 0 s
o
m r v = 15.97 ; 0º s
d) El vector aceleración tiene componentes en x e y. En ambas direcciones la aceleración es constante. Como ya dijimos en x hay un MRU, entonces la aceleración en esta dirección es cero, mientras que en la dirección y hay un MRUV debido a la gravedad siempre constante. Por lo tanto durante todo el movimiento, en particular en la altura máxima, el vector aceleración es: m r m r o a = ax ; a y = 0 ; −9.8 2 a = 9.8 2 ; 270º
(
)
s
s
Solución Ejemplo 2:
r r r v = v + v a) La velocidad del bote respecto de la orilla es: BS BW WS m r donde la velocidad del bote respecto del v = 0 ;1.85 BW agua solo tiene componente en y s m r vWS = −1.2 ;0 s m m r r r v BS = v BW + vWS = −1.2 ;1.85 s s 2 2 m m m Cuyo módulo es vBS = −1.2 + 1.85 = 2.21 s s s m 1.85 Formando un ángulo s = −57º +180º = 123º ϕ = tan arc con el eje x: m −1.2 s
y la velocidad del río respecto de la orilla solo tiene componente en x
Porque el vector velocidad pertenece al segundo cuadrante Entonces
θ = ϕ − 90º = 33º
m ;123º BS = 2.21 s m m m m r o v BS = 2.21 cos (123º ) ; 2.21 sen (123º ) = −1.20 ,1.85 s s s s m b) En x hay MRU con: vx = −1.20 s m y ecuación de movimiento x f = x0 + vx t = −1.20 t s m En y también hay MRU con: v y = 1.85 s m y ecuación de movimiento y f = y0 + v y t = 1.85 t s r La velocidad del bote respecto de la orilla es: v
Se ha considerado que la lancha parte del origen de coordenadas, y como el río tiene 110 m de ancho y f = 110 m
yf
110 m Tardará en cruzar t = = = 59.46 s m m 1.85 1.85 s s En este tiempo su m x f = −1.20 59.46 s = −71.35 m desplazamiento en x será: s En la orilla opuesta estará a 71.53 metros a la izquierda desde donde partió.
