RESOLUCIÓN DEL TEMA 1 DEL SEGUNDO PARCIAL Problema 1: Ecuaciones de Newton en x: Cilindro: F – T + Fre = M aCM Bloque: T = m aB

F z

x

m

y Donde T es la tensión en la cuerda que une ambos bloques, Fre es la fuerza de rozamiento estático entre el cilindro y la superficie, aCM es la aceleración del centro de masa del cilindro y aB la aceleración del bloque.

M R

Ecuación de momentos para el cilindro: Se puede usar como centro de momentos el centro de masa del cilindro, entonces: R F – R Fre = MR2/2 γ O bien el punto de contacto con la superficie que es eje instantáneo de rotación: 2R F – R T = 3MR2/2 γ (γ = aceleración angular del cilindro) Ecuaciones de vínculo: aCM = γ R aCM = aB Despejando en esas ecuaciones se obtiene que: aCM = aB = 4 m/s2 , T = 8 N, Fre = 16 N Problema 2: En este problema se conserva la energía mecánica. Llamo: punto A a la posición del centro de masa del disco cuando la longitud del resorte es 60 cm, y punto B a la posición del centro de masa del disco cuando la longitud del resorte es máxima. Tomo el cero de energía potencial gravitatoria a la altura del punto A. Entonces: EA = ½ M v2 + ½ MR2/2 (v/R)2 + ½ k ∆lA2 Usando que v=0.8 m/s, ∆lA = lA – l0 = 0.1 m y el resto de los datos, resulta: EA = 1.46 J Por otra parte:

EB = - M g (∆lMAX – ∆lA) sen (30º) + ½ k ∆lMAX2 = EA = 1.46 J Reemplazando los datos y despejando una cuadrática se obtienen 2 soluciones para ∆lMAX, 23.86 cm y -3.856 cm, la máxima elongación es 23.86 cm. Problema 3: Tomo un eje x positivo hacia abajo, con origen en el techo. a) Mientras la partícula está en reposo en la posición de equilibrio x=xeq=0.8m, el peso se compensa con la fuerza elástica, es decir: m g = k ∆l = k (xeq – l0) Como ∆l = 20 cm, resulta: m = 2 kg . De allí: ω = k / m = 7.071s y T = 2π / ω = 0.8886 s b) Ecuación de Newton: mg − k ( x − l0 ) = m&x& Reordenando, la ecuación de movimiento queda: 2 2 2 &x& + ω x = ω l0 + g = ω xeq

con ω = 7.071 s, l0 = 0.6m y xeq=0.8m. Las soluciones generales para x(t) y v(t) son: x(t ) = Asen(ωt + ϕ 0 ) + 0.8m v(t ) = ωA cos(ωt + ϕ 0 ) Finalmente usando las condiciones iniciales: x(0) = 0.8m y v(0) = 0.6m / s , se tiene que: A = 8.49 cm y ϕ0 = 0.