CAPÍTULO 4 TRÁNSITO DE AVENIDAS POR VASOS Y CAUCES
4.1 Introducción Este capítulo desarrolla el tránsito de avenidas por vasos y el tránsito de avenidas por cauces, que son dos métodos que hacen referencia a conceptos hidrológicos fundamentales, relación precipitación-escurrimiento e Hidrograma Unitario Instantáneo (HUI). Su aplicación desempeña una gran función en el dimensionamiento de presas y obras para el control de inundaciones.
Estos modelos utilizan hidrogramas, ya sea de entrada, de salida o ambos. Un hidrograma es la representación del gasto en el transcurso del tiempo. Este se puede obtener a través del aforo de un cauce o un río en un determinado tiempo.
4.2 Tránsito de Avenidas por Vasos
El tránsito de avenidas en vasos tiene por objetivo principal obtener el hidrograma de salida de una presa a partir de proporcionarle su hidrograma de entrada. Este procedimiento resulta de gran utilidad, ya que algunas de sus aplicaciones son:
a) Conocer el volumen de agua que deberá pasar por la obra de excedencias ante una elevación del vaso, y saber si la operación de las compuertas del vertedor es adecuada
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o no, para que cuando se presente una avenida no ponga en riesgo la presa, los bienes materiales o vidas humanas que se encuentren aguas abajo.
b) Dimensionar la obra de excedencias, que será la encargada de conducir el volumen de agua que sobrepase la capacidad de almacenamiento del vaso.
c) Calcular el NAME (Nivel de Aguas Máximas Extraordinarias) y dimensionar la obra de desvío y ataguías.
Para determinar el tránsito de avenida en vasos se hace uso de la ecuación de continuidad que esta expresada por los siguientes términos:
I-O=
dV dt
(4.1)
En donde: I = Gasto de entrada al vaso. O = Gasto de salida del vaso. dV = Variación del volumen almacenado en el tiempo. dt
o bien expresado en diferencias finitas:
Ii + Ii +1 Oi + Oi+1 Vi +1 - Vi = 2 2 Dt
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(4.2)
Donde los subíndices i e i+1 expresan valores al comienzo y al final del intervalo de tránsito Dt, respectivamente. En el tránsito de avenidas el valor de Dt es considerablemente más pequeño en comparación al empleado en la simulación del funcionamiento de vasos; en el primero de los casos Dt es del orden de horas, mientras que en el segundo de ellos Dt es en general de un mes. Por esta razón, durante el tránsito de una avenida los términos de la lluvia directa en el vaso, la evaporación y la infiltración tienen valores muy pequeños y son ignorados. Es recomendable que el Dt que se esté usando sea menor o igual a una décima parte del tiempo de pico del hidrograma de entrada, mejor expresado como:
Dt £ 0.1t p
(4.3)
Durante el tránsito de una avenida por un vaso, los hidrogramas de entradas y salidas son de la forma que muestra la fig. 4.1. En la gráfica se observa que antes del tiempo tO, las condiciones están establecidas y la entrada es igual a la de salida. En el intervalo tO < t < t 1, la entrada es mayor a la salida, y de acuerdo a la ec. 4.1, aumenta el volumen almacenado y el nivel en el vaso. En el tiempo t1 se alcanza el máximo volumen de almacenamiento y el máximo nivel del vaso. El área que se forma entre los dos diagramas entre tO y t1, t1
VS = Ú (I - O)dt tO
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(4.4)
es el volumen máximo almacenado que habrá en la presa, lo que significa que será el volumen de superalmacenamiento requerido para la avenida de entrada I (t) considerada, y el nivel que tiene el vaso en el tiempo t1 será el NAME necesario para esa misma avenida. Cuando t < t1 , las salidas son mayores a las entradas y, por la ec. 4.1, el volumen almacenado en el vaso disminuye.
Figura 4.1 Hidrogramas de entrada ( I ) y salidas ( O ) (Aparicio Mijares, 1989)
Al analizar el tránsito de una avenida por un vaso, en cualquier instante que se requiera, se cuenta con los datos (I, O y V) en i (ec. 4.2), y se desean conocer en i+1. Lo que la ecuación de continuidad (ec. 4.2) tiene dos incógnitas, Oi+1 y Vi+1, por lo que se requiere de una ecuación para tener un sistema determinado. Esta ecuación es la que
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relaciona los gastos que salen por el vertedor con la altura de la superficie libre del agua, que generalmente tiene la forma de la ecuación que se presenta a continuación:
3
Ov = CL(E - E0 ) 2 ,E > E0
(4.5)
Donde: E = elevación de la superficie libre del vaso, m. E0 = elevación de la cresta del vertedor, m. L = longitud de la cresta del vertedor, m. C = es un coeficiente de descarga. Ov = gasto por el vertedor de excedencias, m3/s.
Para el coeficiente de descarga ( C ) el valor que adopta normalmente es de 2, lo que es un valor muy aproximado para realizar el calculo del tránsito de una avenida. Claro que si E < E0, Ov será igual a cero. Esta ecuación es valida para cuando la descarga por el vertedor es libre, esto quiere decir que el vertedor no tenga compuertas. Si se requiere utilizar la ec. (4.5) para el caso de una presa que tenga compuertas y se desee analizar durante el paso de una avenida, la ec. (4.5) se sustituirá por la regla de operación de compuertas previamente establecida con la única limitante de que el gasto que deberá descargar será menor o igual a Ov. Para el caso que la obra de toma este funcionando al mismo tiempo en que la avenida este pasando, la salida total de la presa (O) será igual a la suma del gasto que descarga la obra de toma (OT) mas la descarga del vertedor (Ov), siendo así:
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O = Ov + OT
(4.6)
Con lo cual las ecs. (4.2), (4.5) y (4.6) y la curva elevación-volúmenes del vaso se obtiene un sistema de ecuaciones determinado, cuya solución proporciona las salidas y volúmenes en el vaso, a cada intervalo de tiempo.
Existen dos procedimientos para desarrollar el método del tránsito de avenida en vasos: el semigráfico, que es muy útil para cuando los cálculos son manuales, y el numérico, que es empleado cuando se tiene una computadora o una calculadora programable.
Como esta tesis tiene por objetivo desarrollar un paquete interactivo para un modelo de cuenca, el método semigráfico quedará fuera de los alcances y no se tocará en esta tesis.
4.2.1 Método Numérico
Debido a que el método numérico es una serie de cálculos repetitivos, el empleo de un algoritmo resultara de gran ayuda para entender el procedimiento y forma en que trabajará el cálculo del paquete interactivo. Este algoritmo se esquematiza en la fig. 4.2, donde se siguen los pasos que desarrolla el método numérico. En la fig. 4.2 se puede observar que este método emplea aproximaciones sucesivas para calcular el volumen y el gasto de salida en el intevalo i+1. Primero se supone que el
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gasto de salida fue igual al que se obtuvo en el instante anterior y con esto se calcula una primera aproximación del volumen almacenado Vi+1 (donde el superíndice representa las iteraciones que se han hecho). Con el volumen obtenido y la curva elevacionesvolúmenes se determina la elevación y con ella una nueva iteración con una nueva estimación de gasto de salida. Con esta estimación de gasto de salida Oi+1 se calcula un nuevo volumen y si es aproximadamente igual al obtenido anteriormente se imprimen los resultados y se continúa a un nuevo intervalo de tiempo, de no ser igual este nuevo valor obtenido se hace otra iteración.
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Figura 4.2 Algoritmo para el cálculo del tránsito de avenida por vasos. (Aparicio Mijares,1989)
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4.3 Tránsito de Avenidas por Cauces
Regularmente el lugar en donde se hacen las mediciones de escurrimientos o en donde se encuentra una presa para en control de inundaciones se localiza varios kilómetros aguas arriba del punto donde las avenidas pueden causar daños. Es necesario contar con métodos que permitan conocer la variación de un hidrograma a lo largo de un cauce, con el objetivo de determinar el efecto que las presas reguladoras tiene aguas abajo, y así poder diseñar bordos de protección contra inundaciones. A la simulación de la variación de un hidrograma al recorrer un cauce se conoce como tránsito de avenidas en cauces.
Este problema se asemeja al tránsito de avenidas en vasos en el sentido de que el río presenta una especie de almacenamiento alargado y de que la solución se da a través de la ecuación de la continuidad y alguna relación entre almacenamiento y gasto de salida. Sin embargo, en este método se presentan algunos problemas adicionales como:
a) No se tienen planos topográficos del tramo y la relación descargas-volúmenes no se conoce. b) Casi siempre se tienen entradas a lo largo del tramo del cauce, adicionales a las de la sección aguas arriba, que se desconocen. c) El nivel de la superficie libre del agua en el río no es horizontal, como en el caso de tránsito de avenida en vasos, lo que implica que un mismo tirante en el extremo final del tramo se puede formar para diferentes gastos de salida. (Ver fig. 4.3)
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Los métodos existentes para el tránsito de avenidas en cauces se pueden dividir en dos tipos: el primero hidráulico y el segundo hidrológico. Los métodos hidráulicos se basan en la solución de las ecuaciones
de
conservación de masa y cantidad de movimiento para escurrimiento no permanente mostradas a continuación:
Conservación de Masa:
y
∂v ∂y ∂y q +v + = ∂x ∂x ∂t B
(4.7)
Conservación de cantidad de movimiento:
∂v ∂v ∂y + v + g = g(S0 - S f ) ∂t ∂x ∂x
(4.8)
Donde: y = tirante v =velocidad q =gasto lateral B = ancho de la superficie libre SO=pendiente del fondo Sf = pendiente de fricción, donde si emplea Manning:
Sf =
v2n2 RH
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4
3
(4.9)
Donde: RH = radio hidráulico n = coeficiente de rugosidad x = coordenada espacial t =tiempo
Las ecuaciones de Conservación de Masa (4.7) y Conservación de cantidad de movimiento (4.8), forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas no lineales, del que no existe una solución analítica conocida. Por lo que es necesario resolverlo empleando un método numérico como el de las características de diferencias finitas o elemento finito.
Los métodos hidrológicos utilizan simplificaciones derivadas de las ecs. (4.7) y (4.8) para la obtención de soluciones más simples, pero desde luego menos exactas que los que se logran con los métodos hidráulicos. En esta tesis
se desarrollará el Método
Muskingum, que es un método con un procedimiento que no requiere de procedimientos complejos, y que sin embargo arroja resultados muy aproximados a los reales.
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4.3.1 Método de Muskingum
Este método utiliza la ecuación de continuidad (4.1) en su forma discreta:
Ii + Ii +1 O + Oi +1 Dt - i Dt = DV 2 2
(4.10)
Y una relación algebraica entre el almacenamiento en el tramo V y las entradas I y salidas O de la forma:
V = KO + Kx( I - O) = K [xI + (1 - x)O]
(4.11)
donde K es una constante llamada parámetro de almacenamiento, y x es un factor de peso que expresa la influencia relativa de las entradas y las salidas del almacenamiento del tramo.
La ec. (4.10) se planteó pensando en que el almacenamiento de un tramo de río se puede analizar en dos partes, como se muestra en la fig. 4.3. El primero de ellos es llamado almacenamiento de prisma, KO, que depende únicamente de la salidas y sería el único si la superficie del agua fuera paralela a la pendiente del fondo del cauce. Este almacenamiento se puede comparar como el que se tiene en un vaso, que si se combina la ec. (4.5) con las curvas elevación-volumen y elevación-área de un vaso, se expresa:
VP = f (O)
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(4.12)
Donde f significa una función. En el caso de cauces, se supone que la función f(O) es de la forma:
f (O) = KO
(4.13)
El otro tipo de almacenamiento que ocurre en un río, que por lo general no se presenta en el caso de vasos, se debe al efecto que tiene la pendiente de la superficie libre del agua en el gasto, este tipo de almacenamiento es llamado almacenamiento de cuña. Esta pendiente depende tanto de las entradas como de las salidas, y en el método de Muskingum el almacenamiento correspondiente a la cuña se tomo como una función lineal de la diferencia de ambas:
VC = f (I - O) = Kx(I - O)
(4.14)
De la ec. (4.10) se obtiene:
DV = Vi+1 - Vi = K [x( Ii +1 - Ii ) + (1- x)(Oi +1 - Oi )]
(4.15)
Sustituyendo la ec. (4.15) en la ec. (4.10) se obtiene:
Ii +1 + Ii O + Oi Dt - i +1 Dt = K[ x( Ii+1 - Ii ) + (1- x)(Oi+1 - Oi )] 2 2
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(4.16)
Figura 4.3 Almacenamientos en un río durante el paso de una avenida. (Aparicio Mijares, 1989) Donde si despejamos O i+ 1:
Oi +1 =
Kx + Dt / 2 Dt / 2 - Kx K(1 - x) - Dt / 2 Ii + Ii +1 + Oi K(1- x) + Dt / 2 K(1 - x) + Dt / 2 K(1 - x) + Dt / 2
(4.17)
O bien:
Oi +1 = C1 Ii + C2 Ii +1 + C3 Oi
(4.18)
donde:
C1 =
Kx + Dt / 2 Dt / 2 - Kx K(1 - x) - Dt / 2 ;C2 = ;C3 = a a a
a = K(1 - x) + Dt / 2
(4.19)
(4.20) (4.21)
Nótese que C1+ C2+ C3=1
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Con la ec. (4.18) es posible analizar cualquier transito de avenida por el tramo, dados
Dt y los valores de K y x. Se recomienda que Dt cumpla la condición asignada por la ec. (4.3). El parámetro K tiene unidades de tiempo y su valor es aproximadamente igual al tiempo de viaje del pico de la avenida a lo largo del tramo:
K=
L w
(4.22)
Donde L es la longitud del tramo y w es la velocidad promedio de pico de la avenida. w puede estimarse, en relación con la velocidad media de agua n, como:
w ª 1.5n
(4.23)
El parámetro x puede oscilar entre 0.0 y 0.5. Si x= 0.0, el volumen de almacenamiento en el tramo sólo es una función de salida O, lo que significa que no existe un almacenamiento en cuña y el tramo se comporta como un vaso cuya curva de gasto esta descrita por la ec. (4.13). Si x =0.5, las entradas y las salidas tienen la misma importancia y no habría ningún abatimiento en el pico. En términos muy generales se puede decir que x se aproxima a cero en cauces muy caudalosos y de pendiente muy pequeña, y a 0.5 en caso contrario. Cuando no se tengan todos los datos es recomendable tomar x =0.2 como valor medio.
Cuando se cuenta con al menos una avenida media en ambos extremos de cauce, los valores de K y x son calculados con mayor precisión mediante el siguiente razonamiento.
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Si se dibuja la ec. (4.11) en una gráfica considerando V como ordenada y (xI+(1-x)O) como abscisa, se obtendrá una línea recta con pendiente K. Por otra parte, el volumen de almacenado en el tramo del río hasta t0 dado es el área acumulada entre el hidrograma de entrada y de salida (ver fig. 4.4), o mejor dicho:
t0
V = Ú (I - O)dt 0
(4.24)
Entonces, si se supone algún valor de x, se puede calcular (x I+(1-x)O) y el resultado se gráfica contra el volumen almacenado para tiempo en el intervalo 0 < t < t1, (ver fig. 4.4), y la gráfica deberá describir aproximadamente una línea recta con pendiente K si el valor propuesto de x es el correcto. En caso contrario, es necesario suponer otro valor de x hasta que se obtenga una línea aproximadamente recta. (ver fig. 4.5)
Figura 4.4 (Aparicio Mijares, 1989)
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Figura 4.5 (Aparicio Mijares, 1989)
4.3.2 Método de Muskingum Modificado
El método de Muskingum es el encargado de la solución del tránsito de avenidas por cauces, a pesar de su popularidad, contrae la dificultad, el tedio y subjetividad incluidas en el proceso de obtención de sus parámetros. Para eso se propone una metodología objetiva que elimine lo mencionado por el método tradicional. El método iterativo que se utilizará en la solución del tránsito por cauces y que simplifica el tradicional se llama modificado de Muskingum, los requerimientos de información consisten en disponer de los hidrogramas de entrada y salida en el tramo considerado, pues el método se basa en el hidrograma unitario instantáneo.
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Básicamente el método utiliza la ecuación de continuidad:
-
-
I = O+
DS Dt
(4.25)
y una relación para el almacenamiento total de la siguiente forma:
È ˘ S = K Íe I + (1 - e ) O ˙ Î ˚
(4.26)
a través de las ecs. (4.25) y (4.26) pueden obtenerse las funciones núcleo del método de Muskingum y las cuales son:
Ï -1 ¸ expÌ ˝ k (1 - e ) ˛ Ó d m (1) = 1 (1 - e )
(4.27)
È Ï 1 ¸ ˘ - 1˝ - 1˙ Í expÌ Ó k (1 - e ) ˛ ˙ expÏ - n ¸; n > 1 d m ( n) = Í Ì ˝ Í ˙ (1 - e ) Ó k (1 - e ) ˛ Í ˙ ÎÍ ˚˙
(4.28)
y una vez que las ordenadas han sido identificadas el tránsito se realiza convolucionando dichas ordenadas con el gasto de entrada para producir los gastos de salida del tramo:
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n
O(n) = Â d m (n - u + 1) I (u )
(4.29)
u =1
Debe recordarse que, de acuerdo con la teoría del Hidrograma unitario, I (u) es el gasto promedio de entrada al tramo durante el intervalo (u-1.u) y O(n ) es el gasto instantáneo de salida del tramo en el instante n. Ambos gastos son desviaciones del gasto base prevaleciente en el tramo de río antes de la ocurrencia del la avenida.
4.3.2.1 Método del Cálculo para los parámetros del Método de Muskingum Modificado
A continuación, se presenta un método objetivo para el cálculo de los coeficientes k y e diferente al método subjetivo tradicional que produce que en igualdad de circunstancias diferentes individuos con el mismo juego de datos llegarán a resultados diferentes siempre. Afortunadamente, ha sido propuesta una alternativa más objetiva para la solución de este problema y es la que a continuación se describirá.
Si se obtienen los momentos de la respuesta a una secuencia generalizada de pulsos de magnitud I (u) y por el método de la superposición, se llega a que el valor de k está definida por: N
k=
N 1 O(n) + O(n - 1) 1 ( n )( ) ( n - ) I ( n) Â Â 2 2 2 n =1 n =1 N
 I ( n) n =1
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(4.30)
Finalmente, el parámetro e puede obtenerse de la siguiente relación, deducida a partir del la ecuación del momento general de segundo orden: N N ÈN 1 2 È O(n) + O(n - 1) ˘ 1 1 1˘ ( n ) 2 k ( n ) I ( n ) ( n - ) 2 I ( n) - ˙ Â Â ÍÂ Í ˙ 2 Î 2 2 2 12 ˚ 1 n =1 ˚ n =1 n =1 (1 - e ) = 2 Î N 2k I ( n) Â n =1 (4.31)
Es conveniente aclarar que en esta formulación I (u) es el gasto promedio de entrada al tramo en el intervalo (u-1,u) y O(n) es el gasto instantáneo de salida en el tiempo n. En el caso de que la siguiente condición se presente, habrá problemas en el cómputo del tránsito: 1 1 £ (1 - e ) LN ( ) k 1- e
(4.32)
Esto es, si k es mucho mayor que 1 (la unidad seleccionada de tiempo). Como recomendación para evita el problema citado, se sugiere la unidad de tiempo mayor de k/3 y menor de k. Los valores de los parámetros obtenidos en (4.30) y (4.31) son sesgados, por lo que la siguiente corrección es necesaria:
k corr = 1.15k - 0.04
(4.33)
Y el valor siguiente sustituido en (4.31) dará el nuevo valor e: k e = 0.98k + 0.10
48
(4.34)
