Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

4.1

Capítulo 4 Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos. Conductor cargado en equilibrio. Capacidad. Fenómenos de influencia electrostática. Pantallas eléctricas. El condensador. Asociación de condensadores. Energía almacenada en un condensador. Energía del campo eléctrico. Densidad de energía. Dieléctricos.

4.2

Capítulo 4

FORMULARIO Teorema de Coulomb. E=

σ ε0

Capacidad de un conductor aislado. Q C= V

Capacidad de un condensador. Q C= V1 − V 2

Capacidad condensador plano. S C = ε0 d

Asociación de condensadores. n 1 1 = En serie: C i =1 C i

Asociación de condensadores.

∑

En paralelo: C =

n

∑C

i

i =1

Energía almacenada en un conden- Densidad de energía. sador. 1 Q 2 QV V 2C ω = ε 0E 2 W = = = 2 2C 2 2 Permitividad dieléctrica.

ε = ε0εr

Capacidad de un condensador con n capas de dieléctrico. C = ε 0S

n

∑d i =1

1 i

ε ri

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

4.3

Cuestiones. 1. Justifica las características de un conductor cargado en equilibrio electrostático. Consideramos un modelo de conductor tal que cargado o neutro tiene cargas libres susceptibles de ponerse en movimiento en presencia de un campo eléctrico. Así, si sometemos un conductor a un campo eléctrico las cargas se desplazarán. Cuando alcanzamos el equilibrio electrostático, cesa el movimiento, luego el campo eléctrico en el interior del conductor es nulo (de lo contrario las cargas seguirían moviéndose). r Por otra parte, si E i = 0 , teniendo en cuenta la definición del potencial electrostático: r v r E = − gradV = −∇V ⇒ V = − E ⋅ dr

∫

Obtenemos V=cte., es decir, el volumen del conductor es equipotencial y la superficie que lo delimita es una superficie equipotencial. Si aplicamos el teorema de Gauss, para calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada en el interior del conductor, tenemos: r r Q Φ = E ⋅ d S = i = 0 ⇒ Qi = 0 ⇒ ρ = 0

∫

S

ε0

Es decir, la densidad volumétrica de carga en el interior del conductor es nula, la carga neta en el interior es nula. Si el conductor está cargado, esta carga debe estar en la superficie del conductor. 2. ¿Qué dirección llevan las líneas del campo eléctrico creado por un conductor cargado en equilibrio, en los puntos próximos al mismo? ¿Por qué? Un conductor cargado en equilibrio es un volumen equipotencial y por lo tanto las líneas de campo en puntos próximos a su superficie serán perpendiculares a la superficie del conductor. 3. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Un conductor en equilibrio es un volumen equipotencial. b) Dos condensadores de diferente capacidad asociados en paralelo están a la misma diferencia de potencial.

4.4

Capítulo 4

c) La capacidad de un condensador con dieléctrico es menor que la del mismo condensador sin dieléctrico. d) La densidad de energía en cualquier campo electrostático es proporcional al cuadrado del campo eléctrico. e) La capacidad de un condensador plano depende de la d.d.p. existente entre las placas. f) Se define la capacidad de un condensador como la cantidad total de carga que puede almacenar. g) Dentro de un material dieléctrico el campo eléctrico es menor que el campo eléctrico exterior aplicado. h) Si partimos en dos un dieléctrico polarizado obtendremos dos piezas del material, una con carga neta positiva y otra con carga neta negativa. i)

En el interior de un conductor hueco conectado a tierra el módulo del campo eléctrico depende del valor de las cargas que tome de tierra dicho conductor para anular el potencial.

j)

El valor del campo eléctrico en el exterior de un conductor hueco conectado a tierra no depende para nada del valor de la carga eléctrica presente en el interior de dicho conductor.

k) La polarización por orientación sólo sucede en materiales que poseen momentos dipolares permanentes. a) Verdadero. b) Verdadero. c) Falso. La capacidad de un condensador con dieléctrico es mayor que las del mismo condensador sin dieléctrico. d) Verdadero. e) Falso. La capacidad de un condensador es independiente de la carga y el potencial. Depende de las características geométricas del mismo y del medio existente entre sus armaduras. f) Falso. La capacidad de un condensador es constante y se define como la relación entre la carga y la diferencia de potencial entre sus armaduQ ras ( C = ). V1 − V2

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

4.5

g) Verdadero. h) Falso. Se obtienen dos piezas de material también polarizadas y con carga neta nula. i)

Falso. Las cargas que se tomen de tierra actuarán de forma que el potencial del conductor sea cero. Si en el hueco del conductor no hay cargas, el campo eléctrico será nulo sea cuales sean las cargas que el conductor haya tomado de tierra. Si existen cargas en el interior del conductor hueco, el campo eléctrico en el hueco dependerá de estas cargas y no de las que tome el conductor de tierra para anular su potencial: esto se comprueba fácilmente sin más que aplicar el teorema de Gauss.

j)

Verdadero.

k) Verdadero. En el dieléctrico las cargas están ligadas a los átomos. Las distribuciones superficiales de carga se deben a la aparición u orientación de dipolos en el material. 4. Calcula la capacidad de la Tierra, supuesta esférica y conductora. (Radio de la Tierra: 6370 Km) El potencial de un conductor esférico de radio R y carga Q es: V =

Luego su capacidad es: C =

1 Q 4πε 0 R

Q = 4πε 0R , que aplicada a la Tierra nos da: V

C = 4πε 0 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 = 7,1⋅ 10 −4 F

5. Dado el sistema de la figura, calcula: a) Capacidad equivalente del sistema. b) Carga del condensador de capacidad 2C, si la d.d.p. entre A y B es V.

C1=C C3=C

A •

B •

C2=2C a) Por un lado los condensadores C1 y C2 que están en paralelo los podemos sustituir por un único condensador de capacidad equivalente:

4.6

Capítulo 4

C1,2 =

n

∑C

i

= C1 + C 2 = C + 2C = 3C

i =1

Por otra parte el condensador equivalente C1,2 queda en serie con el condensador C3, siendo la capacidad equivalente del conjunto: 1 = C

n

1

∑C i =1

i

=

1 1 1 1 4 3C + = + = ⇒ Ceq = C1,2 C3 3C C 3C 4

b) La carga total del sistema será: Qt = CeqV =

3C V 4

La carga del condensador 3 es la misma que en la asociación de los condensadores 1 y 2, y se corresponde con la Qt calculada.

Qt = Q3 = Q1 + Q2 (1) Y teniendo en cuenta que C1 y C2 están en paralelo y por lo tanto a la misma diferencia de potencial, tenemos: Q1 Q2 Q = ⇒ Q1 = 2 C 2C 2

luego, sustituyendo en (1), nos queda: 3C Q2 CV + Q2 = V ⇒ Q2 = 2 4 2

6. Demuestra que si unimos dos cuerpos conductores por medio de un hilo conductor de capacidad despreciable, la capacidad del conjunto es igual a la suma de las capacidades de los dos cuerpos.

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

Q1

C1

4.7

Q’1 Q2

C2 C

V1

Q’2

V2 V

Después de unir los dos conductores quedan a un mismo potencial V y por otra parte la carga total permanece constante, aunque con diferente distribución. Q1 + Q2 = Q1′ + Q2′ = Q La capacidad del sistema será:

Q Q1′ + Q2′ Q1′ Q2′ = = + V V V V

C=

y teniendo en cuenta: Q1 Q1′ = V1 V Q Q′ C2 = 2 = 2 V2 V C1 =

⇒ C = C1 + C 2

7. En el sistema de la figura el conductor interno se encuentra a potencial V y tiene una carga Q>0; por su parte, el conductor externo se encuentra conectado a tierra, determina: a) Carga total del conductor externo. b) Capacidad del sistema. c) Circulación del campo eléctrico entre ambos conductores y a lo largo de la recta indicada en la figura.

Q

V

a) Al existir influencia total, en la superficie interior del conductor externo aparece una carga total igual y de signo contrario a la del conductor in-

4.8

Capítulo 4

terior (-Q). Al estar conectado a tierra y ante la ausencia de cargas exteriores, la superficie externa del conductor externo no tiene carga. Con lo cual, la carga total del conductor externo es -Q. b) El potencial del conductor externo, al estar conectado a tierra es:

Vext = 0 Luego la capacidad del sistema: C=

Q Q = V − Vext V

c) La circulación del campo eléctrico entre dos puntos se corresponde con su diferencia de potencial, luego: r r E ⋅ dr = V − Vext = V

∫

C

8. Una esfera conductora de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor, de capacidad despreciable, a otra esfera conductora de radio R2 (R2σ1 2 S2 4πR 2 4πR 2 (R1 + R 2 )

9. Dos condensadores iguales de capacidad C unidos en paralelo se conectan a una fuente de tensión V0. A continuación: a) En uno de ellos se introduce un dieléctrico de εr=5, manteniendo la fuente conectada. b) En uno de ellos se introduce un dieléctrico de εr=5 tras desconectar previamente la fuente. Se pide calcular: Capacidad equivalente, carga total, diferencia de potencial y energía almacenada en los casos a) y b).

4.10

Capítulo 4

a) Al estar la fuente conectada en todo momento, la diferencia de potencial se mantiene constante.

C A

B

•

VAB=V0

•

La capacidad equivalente del sistema al introducir el dieléctrico en uno de los condensadores, será:

C

Ceq = C + ε r C = 6C

La capacidad equivalente de una asociación de condensadores sabemos que es igual a la capacidad de un único condensador tal que al aplicar la misma d.d.p. almacene la misma carga, luego en nuestro caso: Q Ceq = 6C = T ⇒ QT = 6CV0 V0 Para la energía almacenada tenemos: W =

1 QV = 3CV02 2

b)

C

C A

B

•

•

C

B

A

•

•

C

En este caso, introducimos el dieléctrico después de desconectar la fuente. Ahora permanece constante la carga inicial del conjunto, variando la d.d.p. al introducir el dieléctrico. Así, calculamos primero la carga del sistema antes de introducir el dieléctrico que será la misma que después de introducirlo:

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos ' Ceq = C + C = 2C ⇒

4.11

QT = 2C ⇒ QT = 2CV0 V0

Una vez introducido el dieléctrico, tenemos: Ceq = C + ε r C = 6C Ceq = 6C =

QT Q 2CV0 V0 ⇒V = T = = V 6C 6C 3

La energía almacenada es en este caso: W =

CV02 1 QTV = 2 3

Capacidad equivalente

Carga total QT

d.d.p.

Energía almacenada

a)

6C

6CV0

V0

3CV02

b)

6C

2 CV0

V0 3

CV02 3

4.12

Capítulo 4

Problemas. 1. Calcula la capacidad de un condensador esférico de radios R1 y R2. Un condensador esférico está formado por dos conductores esféricos concéntricos. Considerando las condiciones de simetría se observa que el campo eléctrico es radial y la carga en ambas armaduras está distribuida uniformemente. El campo eléctrico entre ambas armaduras, aplicando el Teorema de Gauss, es: 1 Q E= 4πε 0 r 2 -Q +Q R2 y la diferencia de potencial entre las armaduras: R1 R2 V1  R − R1  1 − = V V Edr = Q 2 1 2 V2  4πε 0  R1 R 2  R1

∫

así, para la capacidad nos queda la expresión: C=

R1 R 2 Q = 4πε 0 V1 − V2 R 2 − R1

Si consideramos que la distancia entre las armaduras (R2 – R1=d), es muy pequeña frente a R1, podemos admitir R1 ≅ R2 y entonces la expresión de la capacidad es idéntica a la del condensador plano: C = 4πε 0 ⋅

R 2 ε 0S = (F) d d

2. Calcula la capacidad de un condensador cilíndrico de radios R1 y R2. Las armaduras del condensador son superficies cilíndricas coaxiales de radios R1 y R2 respectivamente y lo consideramos de longitud infinita. Sean V1 y V2 los potenciales de las armaduras y las cargas para la longitud L del condensador son Q y –Q. El campo eléctrico entre las armaduras, que se puede calcular aplicando el Teorema de Gauss (ver capítulo 3), resulta:

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

E=

V2

1

Q 2πε 0 rL

y la diferencia de potencial entre las armaduras:

V1

R

∫

V1 − V2 = Edr =

-Q

4.13

R1

Q

Q 2πε 0

ln

R2 R1

Así, nos queda para la capacidad:

L R1

C=

R2

2πε 0 L Q = (F) R2 V1 − V2 ln R1

Si consideramos las armaduras muy próximas entre sí (R2 –R1=d y d>(R2-R1) y tal como se muestra en la figura. El espacio entre la distribución de carga y el conductor se rellena de un material dieléctrico de permitividad relativa εr. Calcula: a) Campo eléctrico y potencial en cada punto del espacio. b) Energía almacenada en el sistema.

4.15

R3

R2 R1

L

L

a) Al existir simetría cilíndrica, para el cálculo del campo eléctrico aplicamos el Teorema de Gauss a una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y cuyo eje coincide con el eje del sistema: Para r R2 → V (r ) = + =0 4πε 0 r 4πε 0 r r < R1 →

V (r ) =

Q

+

El potencial para r>R1 ( R1 < r < R2 y r > R2 ) ya sabíamos que era nulo, al estar conectada la esfera a tierra y constituir el sistema una pantalla eléctrica.

11. La figura muestra una batería de condensadores idénticos, de capacidad C, conectados a una d.d.p. constante V=V1-V2. a) Calcula la energía almacenada en el condensador 2. Posteriormente se rellena el condensador 2 con un dieléctrico de permitividad relativa εr. b) Calcula la energía total almacenada. c) ¿Por qué factor debería multiplicarse la distancia entre las armaduras del condensador 3 para que no se modificase la capacidad total?

V1 •

C1

C2 V2 • C3

a) Para calcular la energía almacenada en el condensador 2 debemos conocer su carga o la d.d.p. en sus bornes. Para ello calculamos en primer lugar la capacidad equivalente del sistema:  1  1  Ceq =  +  C1 C 2 + C 3 

−1

=

C1 (C2 + C3 ) 2C = C1 + C2 + C3 3

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

4.29

La carga total del conjunto, conociendo la capacidad equivalente y la d.d.p. V=V1-V2, será: QT = CeqV = Q1 = Q2 + Q3 =

2C V 3

Entonces, podemos calcular la d.d.p. en bornes tanto del condensador 2 como del 3, como: V23 = QT / C 23 =

V 2CV 1 = 3 (C 2 + C 3 ) 3

así ya estamos en condiciones de calcular la energía almacenada en el condensador 2: V23 C [V / 3]2 C V 2C = = 2 2 18 2

W2 =

b) Al introducir un dieléctrico en el condensador 2, cambia su capacidad y la del conjunto: C2 = ε r C → Ceq ' =

C1(C2 + C3 ) (1 + ε r )C = C1 + C2 + C3 2 + εr

La energía total almacenada en la asociación es: W =

V 2Ceq ' 2

=

V 2 (1 + ε r )C /(2 + ε r ) V 2C(1 + ε r ) = 2 2(2 + ε r )

c) Si no queremos que varíe la capacidad inicial de la asociación tendremos: C "eq =

2C C1(C '2 +C '3 ) = Ceq = ; 3 C1 + C '2 +C '3

C ' 2 = ε r C;

C '3 = ε 0

S C = k ⋅d k

C  C ε r C +  2C εr k + 1 k =  =C → 2(k + ε r k + 1) = 3(ε r k + 1) C 3 k + εr k + 1 C + ε rC + k 1 k= 2 − εr

4.30

Capítulo 4

12. Una esfera conductora de radio R, en el vacio, tiene una carga q. Calcula:

Q

a) La energía almacenada en el espacio circundante. b) ¿Cuál es el radio Ro de una superficie esférica tal que dentro de ella quede la mitad de la energía almacenada?

R

a) Calculamos la energía almacenada por medio de la relación que la liga con la densidad de energía: 2

q 2 dr 1 1  q  2 π r dr dW = ω dv = ε 0E 2 4πr 2 dr = ε 0  4 =  2 2  4πε 0 r 2  8πε 0 r 2 ∞

∞

 q 2 dr q2  q2 W = = − =   8πε 0 r 2  8πε 0 r  R 8πε 0 R R

∫

Como vemos en la figura, el diferencial de volumen es: dv = 4πr 2 dr , y los límites de integración entre R e ∞, que es donde existe campo eléctrico.

Q

b) Para calcular el radio de la superficie esférica concéntrica en la que quede almacenada la mitad de la energía , integramos entre R y R0: 1 W = 2

R0

R0

 q2  1 q2 q 2 dr q2 q2 = − = − =   8πε 0 R 8πε 0R0 2 8πε 0R 8πε 0 r 2  8πε 0 r  R R

∫

despejando, obtenemos: R 0 = 2R

R

r

dr

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

4.31

Cuestiones y problemas propuestos

1. Las armaduras de un condensador plano sin dieléctrico, están separadas 1 mm. ¿Qué superficie deben tener las armaduras para que su capacidad sea de 1 F?

2. Se carga con una batería un condensador de 100 pF a una diferencia de potencial de 50 V. A continuación se le conecta otro condensador, inicialmente descargado, en paralelo. Determina la capacidad del segundo condensador si la d.d.p. es ahora de 35 V. 3. Una esfera metálica C1, de radio R1 tiene una carga Q1. Otra esfera hueca C2, de radios interior y exterior R2 y R3, tiene inicialmente una carga Q2. Se introduce la esfera C1 en C2. Calcula: a) Potenciales electrostáticos de las dos esferas antes de introducir una en la otra. b) Distribución de cargas en las superficies de los dos conductores. c) Potenciales de las dos esferas una vez introducida una en la otra. d) Potencial en el espacio entre las esferas. 4. Dos superficies esféricas concéntricas, de espesor despreciable y radios R1 y R2 se colocan a un potencial electrostático V1 y V2 respectivamente. A continuación se conecta la superficie interior a tierra. ¿A qué potencial quedará la externa? 5. Calcula la capacidad equivalente del sistema de condensadores de la figura. ¿Cuál será la carga del condensador 8? Datos: VAB = V ; C1 = C 2 = C3 = C 4 = C 6 = C 7 = C; C 5 = 2C; C 8 = C 2 ; C2 C6 C1

A •

C5

C3 C4

C7 C8

B •

4.32

Capítulo 4

6. Un condensador de armaduras planas y paralelas, de superficie S, separadas una distancia d, está relleno con un dieléctrico de permitividad relativa εr. Se le aplica una d.d.p. V. Calcula: a) b) c) d)

Capacidad del condensador. Carga. Campo eléctrico en su interior. Diferencia de potencial y campo eléctrico en el condensador al desconectar la fuente y retirar el dieléctrico.

7. Sea un condensador plano con separación entre placas d, conectado a una fuente de tensión V y con carga Q. Calcula en función de Q y V iniciales, la capacidad, carga, el potencial y la energía almacenada en los siguientes casos: a) Se separan las placas una distancia 2d, manteniendo el condensador conectado a la fuente. b) Se desconecta el condensador de la fuente y se separan las placas una distancia 2d. c) Se desconecta el condensador de la fuente y se introduce un dieléctrico de permitividad relativa igual a 5.

Capacidad equivalente

Carga total QT

d.d.p.

Energía almacenada

a)

b)

c)

8. Dado el sistema de condensadores de la figura y sabiendo que en todos ellos el dieléctrico utilizado es el aire, determina: a) Capacidad equivalente del sistema. b) Carga en las placas de cada condensador y energía total del sistema. c) Constante dieléctrica que debería tener un material, tal que al rellenar el espacio entre las placas del condensador 1, la diferencia de

Propiedades electrostáticas de conductores y dieléctricos

4.33

potencial VAB sea de 500V. Determina, en este caso, el incremento de energía almacenada producido. Datos: C1 = 4nF; C 2 = 2nF; C 3 = 6nF; C 4 = 6nF; VAC = 1000V; C1 A •

C3 C •

B • C2

C4

9. Un sistema está formado por dos esferas conductoras concéntricas. La esfera interior de radio R1, tiene una carga Q. La esfera exterior tiene como radios interior y exterior R2 y R3, respectivamente. Calcula la carga total Q’ de la esfera exterior, para que el potencial de la esfera interior sea nulo. ¿Cuánto vale el potencial de la esfera exterior? 10. Calcula la energía del campo eléctrico de una distribución volumétrica de carga uniforme y esférica de radio R y densidad ρ. 11. Hallar la altura que debe tener un condensador cilíndrico de radios R1=30 cm. y R2=60 cm., para que su capacidad sea la misma que la de un condensador esférico cuyas armaduras tengan los mismos radios que el condensador cilíndrico. 12. Un cable eléctrico consta de un conductor axial cilíndrico (considera una densidad lineal de carga λ) de radio R1, rodeado de un dieléctrico cilíndrico, de permitividad ε, de radio exterior R2, protegido por una envoltura metálica, también de radio R2. Considerando que la longitud L del cable es mucho más grande que el radio R2. a) Halla el campo eléctrico a una distancia R1