CAPÍTULO 3 - POTENCIA ALTERNA

3-1- POTENCIA ACTIVA

i(t)

Dadas v(t) e i(t) la potencia instantánea en un circuito genérico es: p(t) = v(t) . i(t)

Circuito

v(t)

La potencia p puede ser positiva o negativa según el instante de tiempo que se considere. Si p es positiva hay transferencia de la fuente al circuito y si es negativa es a la inversa. Si el circuito fuera una inductancia L al que se le aplica una tensión senoidal: Π  v = Vm sen wt → i = I m sen wt −   2

Π   p = v. i = V m I m ( sen wt )  sen wt −     2  Π  Como sen wt −  = − cos wt y  2

2 sen x cos x = sen 2x se puede escribir:

1 p = − Vm I msen 2wt 2

P es del doble de frecuencia que vei

P=vi

v P=vi

v i

i

C

L

Cuando v e i son positivas ⇒ p es positiva ⇒ la potencia va de la fuente a la bobina o capacitor, y si es negativa al revés.El valor medio en un período completo es cero.p

Si aplicamos v=Vm sen wt a una resistencia eléctrica circulará por ella i=Mi sen wt y la potencia será: u

p = v. i = V m I m sen 2 wt 1 como sen 2 x = ( 1 − cos 2x) con lo que: 2 p=

wt

i R

1 V I (1 − cos 2wt ) 2 m m

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La frecuencia aquí también es el dobre que la de v e i. La potencia siempre es positiva y varía de 1 V I . cero a Vm Im . Su valor medio en un período es 2 m m Consideremos ahora un circuito pasivo general al que se le aplica una tensión v=Vm sen wt y circula una corriente i = I m sen( wt + ϕ ) donde el ángulo de fase ϕ será positivo o negativo de acuerdo al carácter del circuito (inductivo o capacitivo respectivamente).La potencia instantánea será:

p = v. i = Vm I m sen wt . sen( wt + ϕ ) como sen α . sen β =

resulta p =

[

]

1 cos(α − β ) − cos(α + β ) y cos( − α ) = cos α 2

[

1 V I cos ϕ − cos( 2wt + ϕ ) 2 m m

El término cosenoidal

]

1 − V m I m cos( 2wt + ϕ ) 2

tiene valor medio 0 y el término constante

1 V I cos ϕ ; por lo que el valor medio de p en un período completo se llama potencia activa 2 m m 1 V e I valores efectivos y es P = Vm I m cos ϕ = VI cos ϕ 2 cos ϕ = factor de potencia

Como el ángulo entre V e I (ϕ) varía entre ± 90° → cos ϕ es siempre positivo ⇒ P es siempre positiva.Diremos que un circuito inductivo tiene un factor de potencia en retraso (ϕ 〈0) y uno capacitivo en adelanto (ϕ 〉0) . La potencia activa P puede deducirse también de la expresión de definición de la potencia media.

P=

1

T

T ∫ pdt 0

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3-2. POTENCIA APARENTE S El producto VI se llama potencia aparente y se representa por la letra S y la unidad es el volt-ampere (VA) siendo el KVA el múltiplo más usado.-

3-3. POTENCIA REACTIVA (Q) El producto VI sen ϕ se llama potencia reactiva y se representa por (Q). La unidad es el Volt-ampere reactivo (VAr) y su múltiplo más usado es el KVAr.-

3-4. TRIANGULO DE POTENCIAS Las expresiones de las potencias activa, aparente y reactiva se representan geométricamente mediante los lados de un triángulo llamado Triángulo de Potencias.Sea un circuito inductivo en el que la corriente retrasa un ángulo ϕ a la tensión, tomando V como referencia resulta la figura a).-

Si descomponemos I en sus componentes activa y reactiva, resulta la figura b).-

a)

b) I cos ϕ ϕ

ϕ

P=VI cos ϕ I sen ϕ

I

I

ϕ S=VI Q=VI sen ϕ

Se observa que la componente activa de I está en fase con V, mientras que la reactiva está retrasada 90° con V. Si multiplicamos la fig b) en todos sus catetos por V resulta el triángulo de Potencias para carga inductiva. Análogamente se puede construir para carga capacitiva el triángulo de la fig. c).-

3-5. POTENCIA COMPLEJA Sea V = Ve jα

e I = Ie j ( α +ϕ )

Por definición, la potencia compleja S = V I *

S = Ve jα . Ie − j ( α +ϕ ) = VIe ( jα − jα − jϕ ) = VIe − jϕ S = VIe − jϕ = VI cos ϕ − jVI sen ϕ = P − jϕ Módulo S = VI un ángulo de fase ϕ en adelanto ⇒ I adelantada respecto de la tensión, significa carga capacitiva y Potencia reactiva adelantada ⇒ P - j ϕ.-

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IMPORTANTE: ángulo de fase ϕ adelantada ⇒ Potencia Reactiva adelantada ángulo ϕ en atraso ⇒ Potencia reactiva en atraso.P = V I cos ϕ = R I 2 =

Q = VI sen ϕ = XI 2 =

VX 2

VR2 = R e[V I * ] R * X = I m [VI ]

2

S = VI = ZI * = V Z = mod uloVI * Factor Potencia (f.p.) = cos ϕ = R/Z = P/S

3-6. CORRECCION FACTOR DE POTENCIA En las aplicaciones industriales se suele trabajar con cargas inductivas por lo que la corriente atrasa respecto a la tensión.La Potencia activa P entregada a la carga es una medida del trabajo útil por unidad de tiempo que puede realizar la carga. Esta potencia se transmite normalmente a través de líneas y transformadores. Como un transformador trabaja en general a tensión constante, la potencia aparente en KVA da idea de la intensidad máxima permitida. Teóricamente si se conectase una carga inductiva o capacitiva pura, el transformador podría estar trabajando a plena carga, mientras que la potencia activa (media) suministrada sería cero. En el triángulo de potencias, la hipotenusa S es una medida de la carga del sistema de distribución y el cateto P es una medida de la potencia útil suministrada. Evidentemente, interesa que S se aproxime lo más posible a P, es decir que el ángulo ϕ sea lo más pequeño posible y el f.p.=cos ϕ valdría casi uno.En el caso normal de una carga inductiva es posible corregir el f.p mediante la colocación en paralelo con la carga. Observese que la tensión en la carga no varía ni tampoco la potencia útil P. Al aumentar el f.p. la potencia aparente y la corriente disminuyen por lo que se consigue una optimización de la potencia en el sistema o red de distribución.-

Ejemplos: 1) Trazar el triángulo de potencias de un circuito cuya impedancia es Z = 3 + j 4ϕ y al que se le aplica un fasor de tensión V = 100∠ 30° V I =

V 100∠ 30° = = 20∠ − 23,1° A S = 2000 Z 5∠53,1°

P=RI2 = 3(202= 1200 W Q=XI2 = 1600 VAR en retraso

S = ZI2 = 2000 VA f.p = cos ϕ = cos 53,1° = 0,6 en retraso Otra forma: S = VI * = 100∠ 30° .20∠ 23,1° = 2000∠53,1° = 1200 + j1600

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2) En el ejemplo anterior corregir el f.p. al valor 0,9 en retraso, utilizando condensadores en paralelo. Hallar S´ después de introducir la corrección y potencia reactiva necesaria de los condensadores.-

Si queremos f.p.= 0,9

cos ϕ´= 0,9 → ϕ´= 26°

S′ =

P → S ′ = 1333VA ; Q ′ = S ′ sen ϕ = 585VAr cos ϕ ′

Potencia reactiva del condensador QC=Q-Q´ = 1600 - 585 = 1015 Var en adelanto. P no varía, pero S va de 2000 a 1333 VA.

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