Autor: Oc. Virginia Sepúlveda Física II - Fac. Ciencias Naturales - Sede Trelew
CAPACIDAD – CONDENSADORES - DIELÉCTRICOS ¿Qué es un condensador? Se denomina así a un conjunto constituido por dos conductores cercanos, aislados uno de otro, de cualquier forma: dos placas paralelas, o dos cilindros coaxiales, o dos esferas concéntricas, cada uno con cargas de igual magnitud y signos opuestos. Este dispositivo sirve para almacenar carga y energía. El condensador generaliza la idea de dipolo eléctrico, en el que hay cargas iguales y de signo opuesto, pero de naturaleza puntual. Estos dispositivos, muy útiles, cumplen múltiples funciones. El “flash” de las cámaras fotográficas posee un condensador que almacena la energía necesaria para proporcionar un destello súbito de luz. En una fuente de potencia de las que se usan para recargar calculadoras, suaviza las pequeñas ondas que surgen cuando la corriente alterna del enchufe doméstico se convierte en corriente continua. Se puede usar un condensador para establecer configuraciones de campo eléctrico con algún objetivo específico, para generar oscilaciones electromagnéticas en radiofrecuencias, para transmitir señales pulsantes (radiotelescopios). Los condensadores pueden encerrar fuertes campos eléctricos en pequeños volúmenes. Los aceleradores de electrones acumulan energía durante largos períodos en una batería de condensadores. Se utilizan en las investigaciones de la física del plasma. El condensador más simple es el de placas paralelas. Está formado por dos placas conductoras que pueden ser láminas metálicas muy finas separadas y aisladas por una hoja de papel. Esto se enrolla para ahorrar espacio. Al conectar las placas a una batería se produce una transferencia de carga de un conductor al otro hasta que la diferencia de potencial entre los conductores debido a sus cargas iguales y opuestas se hace igual a la diferencia de potencial entre los terminales de la batería. La cantidad de carga en las placas depende de la diferencia de potencial y de la geometría del condensador. La membrana celular es el modelo biológico por excelencia de condensador, y el más abundante en la naturaleza. Responde al caso más simple: de placas planas paralelas. La membrana almacena sobre sus superficies interna y externa cargas eléctricas de signo opuesto, que producen una diferencia de potencial entre ambas caras de la membrana. El grosor de la membrana es mucho menor que su extensión o su radio de curvatura, y sus efectos eléctricos se pueden describir comparándola con un condensador plano. Capacidad La capacidad o capacitancia se define como la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera de los conductores de un condensador y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.
C
Q V
Q = magnitud de la carga en cada placa.
V = diferencia de potencial entre las placas. 1
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La capacitancia siempre es una cantidad positiva y puesto que la diferencia de potencial aumenta a medida que la carga almacenada se incrementa, la proporción Q/V es constante para un capacitor dado. En consecuencia la capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica. Unidad (SI): C F = 1[ ] V -6 F = 10 F pF = 10-12 F
Faradio
Símbolo
La capacidad depende de la forma geométrica de las placas, de la relación espacial entre ellas y del medio en el que están sumergidas (dieléctrico).
Cálculo de la capacitancia Condensador de placas paralelas: En un condensador de placas paralelas de la misma superficie A, separadas una distancia S, pequeña en relación a las dimensiones de las placas, se dispone una carga +Q en una placa y –Q en la otra. El campo en cualquier punto entre las placas (excluyendo los puntos próximos al borde) es aproximadamente igual al campo debido a dos planos de carga infinitos, iguales y opuestos. Cada placa aporta un campo uniforme: E
0
Q A
carga por unidad de área en cada placa
Como el campo es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es:
2
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V ES
Como
C
Q A 0 V S
S
0
Q
S A0
Condensador de placas paralelas
Como Q es proporcional a V la capacidad no depende de ellos sino de los factores geométricos. 0 = 8,85 . 10-12 F / m = 8,85 pF / m Condensador Cilíndrico: Está formado por un pequeño cilindro o alambre conductor de radio a y una corteza cilíndrica mayor de radio b concéntrica con la anterior. El cable coaxial de TV se puede considerar como condensador cilíndrico. Supongamos que la longitud es L con carga Q+ en el interior y -Q en el exterior: Er
1
2 0 r
Q 2 0 L r
Q L
(densidad de carga lineal)
El campo debido a –Q en la corteza externa es cero dentro de la corteza (debido a la ley de Gauss). La diferencia de potencial entre los conductores es:
b
Va Vb Er dr a
Q
b
dr Q b ln 2 0 L a r 2 0 L a V Va Vb Q
C
Va interno Vb externo
ln(b / a) 2 0 L
Q 2 0 L Condensador cilíndrico V ln(b / a)
La capacidad es proporcional a la longitud de los conductores, a mayor longitud mayor cantidad de Q almacenada para determinado V. ¿Qué es un dieléctrico? Es un material no conductor como el vidrio, el papel o la madera. Faraday descubrió que cuando el espacio entre los dos conductores del condensador es ocupado con un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor que es característico del dieléctrico y que se denomina constante dieléctrica. Esto sucede porque el campo eléctrico entre las placas de un condensador se debilita 3
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a causa del dieléctrico. Así, para una Q determinada sobre las placas, la diferencia de potencial se reduce y la relación Q/V se incrementa.
Si el campo eléctrico original es E0 sin dieléctrico, en el dieléctrico será
V ES
Si la separación de las placas es S
E0 S
E
E0
V0
La nueva capacidad es C
Q Q Q V V0 / V0
C C0
Por lo tanto la capacidad de un condensador de placas paralelas lleno de un dieléctrico de constante es:
C
0 A S
A S
Siendo 0
la permitividad del dieléctrico.
Cuando el campo eléctrico en un dieléctrico se hace suficientemente intenso, se produce un gran número de iones y electrones libres, y el material se vuelve un excelente conductor. Esta transición se produce a un campo eléctrico crítico denominado rigidez dieléctrica. El rayo es un ejemplo espectacular de este fenómeno, en que el aire se vuelve conductor. En los condensadores comerciales, se indica el máximo de voltaje a que pueden ser sometidos sin riesgo de alcanzar la rigidez dieléctrica y perjudicar otras partes del circuito. 4
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El almacenamiento de la energía eléctrica Cuando se carga un condensador con una batería, ésta realiza un trabajo W al transportar los portadores de carga de una placa a otra. Esto supone un aumento de energía potencial U en los portadores que coincide con la energía eléctrica almacenada en el condensador. Se puede comparar este efecto con la energía almacenada en un resorte comprimido. Esta energía almacenada se recupera cuando se descarga el condensador. Llamemos q a la carga transferida al cabo de cierto tiempo. La diferencia de q potencial es V . Si ahora se transfiere una pequeña cantidad adicional de C carga dq desde el conductor negativo de potencial 0 hasta el conductor positivo a un potencial V.
dU V dq
q dq C
El incremento total de energía potencial U es la suma o ∫ de estas cargas dU cuando q crece de 0 a Q.
q 1 Q2 U dU dq C 2 C La energía potencial es la energía almacenada en el condensador. Si C
U
1 Q2 1 1 Q V C V 2 2 C 2 2
Q V
Energía almacenada en un condensador
Combinaciones de condensadores A) Condensadores en paralelo: La diferencia de potencial aplicada a los condensadores conectados en paralelo es la misma. Las placas superiores están conectadas entre sí y a la terminal a y las inferiores entre sí y a la terminal b. Los puntos a y b están conectados a una batería que mantiene una diferencia de potencial V Va Vb
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Si las capacidades son C1 y C2, las cargas Q1 y Q2 están dadas por:
Q1 C1 V
Q2 C2 V
y
La carga total almacenada es Q Q1 Q2 C1 V C2 V (C1 C2 ) V La capacidad equivalente es la de un solo condensador capaz de reemplazar la combinación y almacenar la misma carga. Ceq
Q C1 C 2 V
B) Condensadores en serie: La carga sobre cada condensador es la misma. Cuando los puntos a y b se conectan a una batería, se establece una diferencia de potencial V Va Vb entre los dos condensadores. Si una carga +Q se deposita sobre la placa superior del primer condensador, el campo eléctrico producido por dicha carga inducirá una carga negativa igual –Q sobre la placa inferior.
Q C1 En el segundo condensador V2 Vc Vb Q C2
En el primer condensador
V1 Va Vc
La diferencia de potencial entre los dos condensadores en serie es la suma de las diferencias de potencial Q Q V Va Vb Va Vc Vc Vb V1 V2 C1 C 2 V Q(
1 1 ) C1 C 2
C eq
Q V
1 1 1 Ceq C1 C 2
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De interés para estudiantes de Ciencias Naturales: Propiedades eléctricas de la membrana celular Aún sin conocer la naturaleza de la membrana celular a través de la microscopía electrónica, se pudo generalizar por medio de mediciones eléctricas, una propiedad común: la capacitancia por unidad de superficie del material límite celular era, aproximadamente de 1μF/cm2 .El espesor de la membrana es de 75 Å. Podría pensarse la membrana celular como el material dieléctrico de un condensador cargado. En general, la carga es negativa en la superficie interna y positiva en la externa. Existe una diferencia de potencial a través de la membrana, por ejemplo, en el nervio en reposo, del orden de 0,06 V. Por lo común, se expresa la intensidad de un campo eléctrico en Voltios/m. De tal modo el campo eléctrico en el interior de la membrana celular del nervio en reposo sería: 0,06V V 8.000.000 10 m 75 10 m La fuerza dieléctrica de un aislador comercial es el campo eléctrico máximo (Voltios/m) al que puede ser sometido el material antes de desintegrarse. La fuerza dieléctrica mayor de un buen aislante comercial como la goma, es de aproximadamente 1.000.000 V/m. Así, el material de la membrana celular, considerado como aislante eléctrico, debe tener una potencia dieléctrica muy elevada, es decir de 8.000.000 V/m. También se puede considerar la constante dieléctrica del material de la membrana celular. Teniendo en cuenta que, la capacitancia de un condensador es la medida de la cantidad de carga que puede guardarse en las placas del condensador, cuando se pasa a través de las mismas un determinado voltaje; que la capacitancia C está en proporción directa con la superficie de corte transversal A del condensador, y con la constante dieléctrica k del aislante entre las placas del condensador; que la capacitancia es inversamente proporcional al espesor del dieléctrico S , es decir, la distancia entre las placas del condensador f A En el SI C 0 k con 0 9 10 12 m S
k
CS 10 6 f 75 10 10 m 8 0 A 9 10 12 f 10 4 m 2 m
Otra vez, comparado con los aisladores eléctricos comerciales, una constante dieléctrica de 8 es relativamente elevada. Llegamos a la conclusión, de que la membrana de la célula nerviosa tiene una constante dieléctrica y un potencial dieléctrico, relativamente altos. Como la capacidad total del condensador es directamente proporcional a su superficie, la capacitancia de una célula es mayor cuanto mayor sea el tamaño de ésta. La capacidad de una membrana lipídica de una célula es 1μF/cm2. 7
