C´ alculo Matricial en el Excel ‡

Adolfo Canahuire Condori

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Licenciado en Ciencias F´ısico Matem´ aticas

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Adolfo Canahuire Condori

Contenido 1 Operaciones Matriciales en el Excel 1.1 Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Multiplicaci´on por escalar . . . . . . . 1.3 Multiplicaci´on de matrices . . . . . . . 1.4 Transponer matrices . . . . . . . . . . 1.5 Determinante de una matriz . . . . . . 1.6 Inversa de una matriz . . . . . . . . . . 1.7 Otras funciones . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 La funci´on SUMAPRODUCTO 1.7.2 La funci´on SUMAX2MASY2 . . 1.7.3 La funci´on SUMAX2MENOSY2 1.7.4 La funci´on SUMAXMENOSY2

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3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

2 Aplicaciones ´ 2.1 Area de un tri´angulo . . . . . . . . . . . . . 2.2 Volumen de un tetraedro . . . . . . . . . . . 2.3 Generar una matriz identidad de orden n . . 2.4 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . 2.5 Ecuaci´on de un plano . . . . . . . . . . . . . 2.6 Determinante de la matriz de Vandermonde

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9 9 12 13 15 16 19

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1

Operaciones Matriciales en el Excel

Para realizar operaciones matriciales, el Excel est´a provisto de un conjunto de funciones, entre las que podemos citar: MMULT FILAS SUMAPRODUCTO SUMAXMENOSY2

MINVERSA COLUMNAS SUMAX2MASY2

MDETERM TRANSPONER SUMAX2MENOSY2

Antes de ver como se aplican estas funciones, veremos como se suman y restan matrices.

1.1

Suma y resta

Si se desea, por ejemplo, calcular A + B y A − B con las matrices: ( A=

) 4 5 −6 −7 −2 −4 1 3

( B=

) 12 55 36 87 −1 −4 −12 −19

1. Se ingresan los elementos de ambas matrices en los rangos: A1:D2 y F1:I2. 2. Se selecciona el rango A4:D5, para escribir sobre ´el, los elementos de A + B. 3. Enseguida se escribe =A1:D2+F1:I2; se pulsa Ctrl+ Shift+Enter y listo. Ver la figura 1.

Figura 1: Suma de matrices.

Para la resta A − B s´olamente se cambia ”+” por ”-”.

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1.2

Multiplicaci´ on por escalar

Para multiplicar, por ejemplo, una matriz   5 −11 3 2 A = 4 20 6 −7 −1 por el escalar λ = −7, se puede hacer lo siguiente: 1. Ingresamos el escalar -7 en la celda A2; los nueve elementos de la matriz A en el rango C1:E3. 2. Seleccionar el rango G1:I3 para escribir en ´el la matriz −7A, escribir ”=$A$2*G1:I3” y pulsar Ctrl+ Shift+Enter; ver la figura 2.

Figura 2: Multiplicaci´on de una matriz por un escalar.

1.3

Multiplicaci´ on de matrices

Si se tienen las matrices: ( ) 1 2 M= −3 5

( N=

) 1 2 8 −3 5 7

La multiplicaci´on M N es posible y el resultado es una matriz de orden 2 × 3. 1. Las matrices M y N se han ingresado en los rangos A1:B2 y D1:F2. 2. Seleccionar el rango H1:J2, pues en este rango se localizar´a el producto M N . Escribir enseguida =MMULT(A1:B2;D1:F2), pulsar Ctrl+ Shift+ Enter y listo. Ver la figura 3. Tambi´en se puede optar por el bot´on ”Insertar funci´on” del men´ u F´ormulas, entonces se debe de especificar los rangos en la ventana que se muestra en la figura 4; s´olo que no debe pulsarse el bot´on ”Aceptar”, si no Ctrl+ Shift+ Enter.

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Figura 3: Multiplicaci´on de matrices.

Figura 4: Ventana de la funci´on MMULT.

1.4

Transponer matrices

Para hallar la transpuesta de una matriz en el Excel se usa la funci´on TRANSPONER. As´ı por ejemplo, si se desea hallar la matriz transpuesta P 0 de la matriz P .   34 3 −17 21 6 −23  P = 13 9 −67 57 3 −88 Al ingresar los elementos de P en el rango A1:C4, enseguida se selecciona el rango E1:H3 y se escribe =TRANSPONER(A1:C4). Luego del consabido Ctrl+ Shift+ Enter se obtiene la transpuesta de P . Ver la figura 5.

Figura 5: Transpuesta de una matriz.

1.5

Determinante de una matriz

Se usa la funci´on MDETERM. Por ejemplo para hallar el determinante de la multiplicaci´on −7A realizada en el Excel (figura 2), en la celda L2 se escribe

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=MDETERM(G1:I3); al pulsar Enter, se obtiene el n´ umero 222950. Ver la figura 6.

Figura 6: Determinante de una matriz.

1.6

Inversa de una matriz

Si se necesita hallar la inversa de una matriz, se debe tener presente que la matriz debe ser cuadrada y no singular. Por ejemplo, hallar X −1 , si.   3.4 5.4 2.1 X = 5.2 3.4 1.6 6.0 −6.3 4.7 En el Excel se usa la funci´ın MINVERSA. 1. Ingresar los elementos de la matriz X en el rango A1:C3. 2. Seleccionar el rango E1:G3, escribir =MINVERSA(A1:C3); pulsar Ctrl + Shift+ Enter para obtener la matriz X −1 . Ver la figura 7.

Figura 7: Inversa de una matriz.

1.7

Otras funciones

Como y´a se ha mencionado al inicio, existen otras funciones para las matrices en el Excel.

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1.7.1

La funci´ on SUMAPRODUCTO

Esta funci´on, devuelve la suma de los productos de los elementos de dos, tres o mas matrices, las mismas deben tener el mismo orden. Esto lo explicamos enseguida con un ejemplo. Sean las matrices: ( ) ( ) 2 −3 1 4 M= N= (1) 5 7 −6 0 Entonces, multiplicando los elementos correspondientes de M y N se tiene: 2×1=2 −3 × 4 = −12 5 × −6 = −30 7×0=0 La suma de estos productos es -40. Ver la figura 8.

Figura 8: La funci´on SUMA PRODUCTO en el Excel.

1.7.2

La funci´ on SUMAX2MASY2

Esta funci´on, devuelve la suma total de las sumas de los cuadrados de cada elemento de dos matrices. As´ı, por ejemplo, para el caso de las matrices M y N dadas en (1): 22 (−3)2 52 72

=4 =9 = 25 = 49

12 42 (−6)2 02

=1 = 16 = 36 =0

La primera suma de los cuadrados de los elementos de M es 87 y la segunda suma, es decir, la suma de los cuadrados de los elementos de N es 53. La suma total es 140, este n´ umero es lo que se obtiene al aplicar la funci´on SUMAX2MASY2 en el Excel a las matrices M y N .

8 1.7.3

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La funci´ on SUMAX2MENOSY2

Esta funci´on, halla la suma de las diferencias entre los cuadrados de los elementos de dos matrices. Considerando las matrices M y N de la ecuaci´on (1): 22 − 12 (−3)2 − 42 52 − (−6)2 72 − 02

=3 = −7 = −11 = 49

La suma de estas diferencias es 34. Esto devuelve la funci´on SUMAX2MENOSY2 en el Excel. 1.7.4

La funci´ on SUMAXMENOSY2

Suma los cuadrados de las diferencias de los elementos correspondientes de dos matrices. Por ejemplo, considerando las matrices M y N de (1): (2 − 1)2 (−3 − 4)2 (5 − (−6))2 (7 − 0)2

=1 = 49 = 121 = 49

La suma de estos cuadrados es 220. Esto hace SUMAXMENOSY2. Finalmente las funciones COLUMNAS y FILAS, devuelven el n´ umero de columnas y el n´ umero de filas de una matriz.

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2

Aplicaciones

En las siguientes p´aginas se exponen un conjunto de aplicaciones sencillas, en estas aplicaciones se utilizan los determinantes de matrices y se sugieren algunos macros para hacer m´as interesante este aprendizaje. Debo advertir, que estos ejemplos de macros pueden ser mejorados ostenciblemente y que por el tiempo y algunas otras limitaciones, muestro lo b´asico.

2.1

´ Area de un tri´ angulo

Mostraremos una peque˜ na aplicaci´on de los determinantes; se trata de hallar el ´area A de un tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos no colineales: (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ). Se demuestra (eso no corresponde hacerlo aqu´ı) que una

Figura 9: Tri´angulo con v´ertices: (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ). f´ormula para calcular el ´area de un tri´angulo ¯ ¯1 x 1 ¯ 1 A = abs ¯¯1 x2 2 ¯1 x 3

como el de la figura 9 es: ¯ y1 ¯¯ y2 ¯¯ y3 ¯

(2)

Para realizar c´alculos, en una hoja del Excel, hacemos lo siguiente: 1. Combinamos las celdas: A1, B1 y C1 para escribir ”Elementos de la matriz”. 2. Ingresamos en las celdas: A2, A3 y A4 el n´ umero 1. 3. Combinamos las celdas: E1 y E2 para escribir ”´ Area del tri´ angulo”. 4. En la matriz B2:C4, ingresamos n´ umeros aleatorios entre -9 y 9 (con la funci´on ALEATORIO.ENTRE). 5. Ingresamos la f´ormula mostrada en la ecuaci´on (2) en la celda E4, esto es: =ABS(MDETERM(A2:C4)); y listo ver la figura 10.

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Figura 10: El ´area de un tri´angulo con v´ertices en los puntos (−5, −8), (−7, −6) y (1, −3) es 11.00u2 .

Sin embargo, es interesante aprender a utilizar macros en el Excel para aplicaciones de este tipo. Asi por ejemplo, podemos escribir las coordenadas de los v´ertices de un tri´angulo en un rango escogido arbitrariamente y hacer que el macro nos presente los elementos del determinante (2) as´ı como su valor que representa el ´area del tri´angulo. Empezamos: 1. En el men´ u Vista del excel ir a Ver macros. Figura 11

Figura 11: Macros en el Excel 2. Aparece una peque˜ na ventana en la cual escribimos el nombre del macro (en este caso ”TRIANGULO”) y pulsamos el bot´on Crear. 3. Inmediatamente se abre la ventana de Microsoft Visual Basic, en la que debe aparecer el c´odigo: Sub TRIANGULO() End Sub

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4. Completamos el macro Ingresando las siguientes l´ıneas de c´odigo: Sub TRIANGULO() Dim rango As Range Dim det As Double Dim area As Double Set rango = Application.InputBox(prompt:="Seleccionar celdas:", _ Title:="Coordenadas de los v´ ertices", Default:=DefaultRange, _ Type:=8) rango.Select Hoja1.Cells(4, 1) = "Determinante" Hoja1.Cells(5, 1) = 1 Hoja1.Cells(5, 2) = rango(1, 1) Hoja1.Cells(5, 3) = rango(1, 2) Hoja1.Cells(6, 1) = 1 Hoja1.Cells(6, 2) = rango(2, 1) Hoja1.Cells(6, 3) = rango(2, 2) Hoja1.Cells(7, 1) = 1 Hoja1.Cells(7, 2) = rango(3, 1) Hoja1.Cells(7, 3) = rango(3, 2) det = Application.WorksheetFunction.MDeterm _ (Range("A5:C7")) area = 0.5 * Abs(det) Hoja1.Cells(9, 2) = "Area = " Hoja1.Cells(9, 3) = area End Sub

5. En el men´ u Archivo vamos a Cerrar y volver a Microsoft Excel. 6. Para ejecutar este macro, ingresamos por ejemplo, las coordenadas (−4, 7), (5, 9) y (1, −8) que corresponden a los v´ertices de un tri´angulo. Figura 12

Figura 12: Los v´ertices del tri´angulo en el rango A1:B3. 7. Ahora ingresamos nuevamente a Ver macros; pero esta vez pulsamos el bot´on ejecutar, aparece la caja de entrada (InputBox) para que seleccionemos el rango A1:B3 (con el mouse) y al aceptar, aparece el resultado esperado. Figura 13

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Figura 13: Ejecuci´on del macro ”TRIANGULO”. Debo decir que este programa es algo sencillo, puede ser mejorado, pero creo que sirve para aprender a hacer macros en el Excel. Tambi´en el lector puede ingresar las coordenadas de los v´ertices de un tri´angulo en otro rango (en otras celdas) del Excel y siempre ser´a factible ejecutar el macro.

2.2

Volumen de un tetraedro

Figura 14: Tetraedro. Si los v´ertices de un tetraedro como el que se muestra en la figura 14 son los puntos: (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 ), (x4 , y4 , z4 ). Entonces su volumen V es: ¯ ¯ ¯1 x1 y1 z1 ¯ ¯ ¯ ¯1 x2 y2 z2 ¯ 1 ¯ ¯ (3) V = abs ¯ ¯ 1 x y z 6 3 3 3 ¯ ¯ ¯1 x4 y4 z4 ¯ Para esta aplicaci´on, se muestra enseguida un macro al que le damos el nombre ”tetraedro” y que es semejante a lo hecho para el ´area de un tri´angulo. s´olo que esta vez se agregan algunas l´ıneas de c´odigo para finalizar sin problemas cuando en el cuadro de entrada InputBox se elige la opci´on cancelar.

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Sub tetraedro() Dim Rango As Range Dim det As Double Dim volumen As Double DefaultRange = Selection.Address On Error GoTo Canceled Set Rango = Application.InputBox(prompt:="Seleccionar celdas:", _ Title:="Coordenatas del tetraedro", Default:=DefaultRange, Type:=8) Rango.Select Hoja1.Cells(6, 1) = "Determinante" Hoja1.Cells(7, 1) = 1 Hoja1.Cells(7, 2) = Rango(1, 1) Hoja1.Cells(7, 3) = Rango(1, 2) Hoja1.Cells(7, 4) = Rango(1, 3) Hoja1.Cells(8, 1) = 1 Hoja1.Cells(8, 2) = Rango(2, 1) Hoja1.Cells(8, 3) = Rango(2, 2) Hoja1.Cells(8, 4) = Rango(2, 3) Hoja1.Cells(9, 1) = 1 Hoja1.Cells(9, 2) = Rango(3, 1) Hoja1.Cells(9, 3) = Rango(3, 2) Hoja1.Cells(9, 4) = Rango(3, 3) Hoja1.Cells(10, 1) = 1 Hoja1.Cells(10, 2) = Rango(4, 1) Hoja1.Cells(10, 3) = Rango(4, 2) Hoja1.Cells(10, 4) = Rango(4, 3) det = Application.WorksheetFunction.MDeterm(Range("A7:D10")) volumen = 0.5 * abs(det) Hoja1.Cells(13, 3) = "Volumen=" Hoja1.Cells(13, 4) = volumen Canceled: End Sub

Para ejecutar este macro, ingresamos las coordenadas de un tetraedro: (−2, 0, 0), (3, 0, 1), (0, 5, 0), (0, 0, 7) en el rango A1:C4. Ver la figura 15.

2.3

Generar una matriz identidad de orden n

1. Elegir la opci´on ”Ver macros” del men´ u Vista en el Excel. Ver la figura11. 2. En la ventana que se enseguida se abre, escribir el nombre del macro (IDENTIDAD) y pulsar el bot´on Crear. 3. Se abre la ventana de Microsoft Visual Basic, en la que redactamos el siguiente c´odigo:

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Figura 15: Ejecuci´on del macro ”tetraedro”.

Sub Dim Dim Dim n =

IDENTIDAD() n As Integer i As Integer j As Integer InputBox("Ingresar n") For i = 1 To n For j = 1 To n If i = j Then Hoja1.Cells(i, j) = 1 Else Hoja1.Cells(i, j) = 0 End If Next Next End Sub

4. Luego ir a Archivo, Cerrar y volver a Microsoft Excel.

5. Para ejecutar este macro, ir nuevamente al men´ u Vista del Excel, Macros, Ver macros y pulsar el bot´on Ejecutar.

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2.4

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de n ecuaciones lineales con n inc´ognitas.   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ..  .    a x + a x + ··· + a x = b n1 1

n2 2

nn n

(4)

n

Tiene la siguiente representaci´on matricial:      b1 a11 a12 · · · a1n x1  a21 a22 · · · a2n   x2   b2        .. .. ..   ..  =  ..  . .  . . . .  .   .  bn an1 an2 · · · ann xn

(5)

La ecuaci´on (5) se puede representar de forma breve como Ax = b; entonces, para encontrar la soluci´on del sistema (4) se debe ”’despejar1 ” x. Es decir: x = A−1 b

(6)

Por ejemplo, en una hoja del Excel, hacemos lo siguiente para plantearnos y resolver un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 inc´ognitas.

Figura 16: Un sistema de ecuaciones lineales en el Excel.

1. En la matriz A2:D5 ingrsamos n´ umeros aleatorios entre -100 y 100. 1

Esto es posible cuando el determinante de A es diferente de cero.

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2. En la matriz columna F2:F5, ingresamos tambi´en n´ umeros aleatorios entre -100 y 100. 3. Seleccionamos las celdas en blanco de la matriz columna B7:B10. 4. Luego, aplicamos las funciones =MMULT(MINVERSA(A2:D5);F2:F5) y pulsamos Ctrl+Shift+Enter. El resultado se observa en la figura 16. 5. No nos olvidemos que al pulsar la tecla Supr sobre una celda vac´ıa, cambiamos los valores de los n´ umeros aleatorios, es decir, cambiamos los coeficientes del sistema.

2.5

Ecuaci´ on de un plano

Figura 17: Plano que contiene a tres puntos conocidos. La ecuaci´on de un plano que contiene a tres puntos conocidos: (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 ) como el que se muestra en la figura 17 es: ¯ ¯ ¯ x y z 1¯ ¯ ¯ ¯x1 y1 z1 1¯ ¯ ¯ (7) ¯x2 y2 z2 1¯ = 0 ¯ ¯ ¯x3 y3 z3 1¯ Esto es. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯x1 y1 z1 ¯ ¯x1 y1 1¯ ¯x1 z1 1¯ ¯y1 z1 1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯y2 z2 1¯ x − ¯x2 z2 1¯ y + ¯x2 y2 1¯ z − ¯x2 y2 z2 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯y3 z3 1¯ ¯x3 y3 z3 ¯ ¯x3 y3 1¯ ¯x3 z3 1¯

(8)

Ahora bi´en, para calcular los coeficientes A, B, C y D de la ecuaci´on Ax + By + Cz + D = 0 del plano, se puede optar por hacer un sencillo programa el cual se ejecutar´a mediante un bot´on de comando. Para insertar un bot´on de comando en una hoja del Excel, se puede seguir la siguiente secuencia:

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1. En la esquina superior izquierda de la ventana del Excel vaya a: ”Personalizar barra de herramientas de acceso r´apido”. 2. Enseguida elija ”M´as comandos”. 3. Elija ”Todos los comandos”. 4. Agregue ”Controles”.

Figura 18: Controles. El bot´on controles se muestra en la figura 18. Elegimos el bot´on de comando de ”Cotroles ActiveX” y lo colocamos en la hoja 1 del Excel. Reservamos las celdas A1:D3 para ingresar los datos del problema, es decir, las tres u ´ltimas filas del determinante (7). Luego al hacer doble clic sobre el bot´on de comando, accedemos a la ventana Mocrosoft Visual Basic - Libro1[dise~ no] y en la ventana de c´odigo escribimos las siguientes l´ıneas: Private Sub CommandButton1_Click() ’ Copiamos tres columnas Range("B1:B3").Copy Range("A5:A7") Range("C1:C3").Copy Range("B5:B7") Range("D1:D3").Copy Range("C5:C7") ’ Copiamos tres columnas Range("A1:A3").Copy Range("A9:A11") Range("C1:C3").Copy Range("B9:B11") Range("D1:D3").Copy Range("C9:C11") ’ Copiamos tres columnas Range("A1:A3").Copy Range("A13:A15") Range("B1:B3").Copy Range("B13:B15") Range("D1:D3").Copy Range("C13:C15") ’ Copiamos tres columnas Range("A1:A3").Copy Range("A17:A19") Range("B1:B3").Copy Range("B17:B19")

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Range("C1:C3").Copy Range("C17:C19") ’ Escribimos tres textos en tres celdas Range("E6") = "A = " Range("E10") = "B = " Range("E14") = "C = " Range("E18") = "D = " ’ Calculamos los determinantes Range("F6") = Application.WorksheetFunction.MDeterm(Range("A5:C7")) Range("F10") = -Application.WorksheetFunction.MDeterm(Range("A9:C11")) Range("F14") = Application.WorksheetFunction.MDeterm(Range("A13:C15")) Range("F18") = -Application.WorksheetFunction.MDeterm(Range("A17:C19")) End Sub

El resultado al presionar el bot´on ”Calcular” se observa en la figura 19 S´olamente se ingresan los 12 n´ umeros en las celdas A1:D3, al pulsar el bot´on,

Figura 19: Resultado de pulsar el bot´on ”Calcular”. aperece todo lo dem´as. El resultado que se observa en la figura 19, implica que el plano que contiene o pasa por los puntos: (4, 3, 0), (8, −1, 2), (2. − 4.1) tiene la ecuaci´on: 10x − 8y − 36z − 16 = 0;

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simplicando, 5x − 4y − 18z − 8 = 0. Aplicaciones similares a esta, son las siguientes: 1. Hallar la ecuaci´on de una recta que pasa por los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ). ¯ ¯ ¯ x y 1¯ ¯ ¯ ¯x1 y1 1¯ = 0 ¯ ¯ ¯x2 y2 1¯ 2. Hallar el producto vectorial ~a × ~b, de y ~b = b1~i + b2~j + b3~k. ¯ ¯ ~i ¯ ~a × ~b = ¯¯a1 ¯ b1

2.6

los vectores ~a = a1~i + a2~j + a3~k ¯ ~j ~k ¯ ¯ a2 a3 ¯¯ b2 b3 ¯

Determinante de la matriz de Vandermonde

Una llama matriz de Vandermonde Vn , a una matriz cuadrada de orden n de la forma:   1 x0 x20 · · · xn0 1 x1 x2 · · · xn  1 1  2 n  Vn = 1 x2 x2 · · · x2  (9)  .. .. .. . . ..  . . . . . 2 1 xn xn · · · xnn Donde xi 6= xj si i 6= j. Se puede agregar un bot´on de comando a la hoja de trabajo del Excel para generar una matriz de Vandermonde de orden 3 con tres n´ umeros que se hayan ingresado en las celdas A1:A3. El c´odigo de este bot´on es: Private Sub CommandButton1_Click() ’ Declaramos la variable entera i Dim i As Integer ’ Escribimos en las celdas A5, A6 y A7 el n´ umero 1 For i = 5 To 7 Hoja1.Cells(i, 1) = 1 Next ’ Luego copiamos los n´ umeros y sus cuadrados For i = 5 To 7 Hoja1.Cells(i, 2) = Hoja1.Cells(i - 4, 1)

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Hoja1.Cells(i, 3) = Hoja1.Cells(i - 4, 1) ^ 2 Next ’ Calculamos el determinante Range("E5") = "Det." Range("E6") = Application.WorksheetFunction.MDeterm(Range("A5:C7")) End Sub

Figura 20: Bot´on para calcular el determinante de una matriz de Vandermonde de orden 3.

Al ingresar, por ejemplo, los n´ umeros: 5.6, 7.8, 9.1 y luego pulsar el bot´on, aparece el resultado que se muestra en la figura 20. Esto significa que: ¯ ¯ ¯1 5.6 31.36¯ ¯ ¯ ¯1 7.8 60.84¯ = 10.01 ¯ ¯ ¯1 9.1 82.81¯ A prop´osito, me permito cuestionar las razones que tienen, aquellas personas que sostienen que se debe usar la coma decimal en lugar del punto decimal; pues vean, cuando arriba escrib´ı: ”5.6, 7.8, 9.1”, lo hubiese hecho: ”5,6, 7,8, 9,1”. Se dan cuenta. Me parece que esa regla no se ci˜ ne a criterios t´ecnicos.