BALANCES MICROSCOPICOS o DIFERENCIALES Estudian en detalle lo que ocurre en el interior del Volumen de Control se transforma

Elemento Diferencial de Volumen

Se resuelven aplicando las condiciones límites o de contorno para resolver las integrales

Las expresiones matemáticas obtenidas se denominan

ECUACIONES DE CAMBIO

Variable

Describen las variaciones de las propiedades del fluido con la POSICION y el TIEMPO

f ( x, y, z, t )

Se hace necesario recurrir a diferentes TIPOS DE DERIVADAS

PARCIAL

Indica la variación de la propiedad con el tiempo en un punto fijo

TOTAL

Indica la variación de la propiedad con el tiempo y la posición, a la velocidad con la cual se desplaza el observador

Ejemplos

d dt

t

;

t

v T ; t t

dy y dt

dx x dt

dz z dt

velocidad observador distinta a la del fluido

SUSTANCIAL

Indica la variación de la propiedad con el tiempo y la posición, a la velocidad con la cual se desplaza el observador, que es la misma que la del fluido

D Dt

t

x

vx

y

vy

z

vz

velocidad observador igual a la del fluido Balances Microscópicos Fenómenos de Transporte – Ingeniería en Alimentos

BALANCE MICROSCOPICO DE MASA Se parte de un elemento diferencial de volumen, de forma cúbica, fijo en el espacio, definido en un sistema de coordenadas rectangulares (Figura 1) y

(ρvy)y+∆y

Flujo específico de masa

(ρvz)z y+∆y (ρvx)x

(ρvx)x+∆x (ρvz)z+Δz

y (ρvy)y x

x+∆x

x

Figura 1 El balance de masa en el elemento diferencial de volumen es: Velocidad de salida de masa – Velocidad de entrada de masa + Velocidad de acumulación de masa = 0

La velocidad de salida de masa por la cara x+ x (área y z) es: (ρvx)x+

y z ; [M/t]

x

La velocidad de entrada de masa por la cara x (área y z) es: -(ρvx)x y z ; [M/t] Expresiones similares se obtienen para las caras y, y+ y, z, z+ z La velocidad de acumulación de masa en el volumen x y z es:

t

(

x y z)

Si se sustituyen las expresiones para cada cara y la velocidad de acumulación en el balance general y se divide entre el elemento de volumen x y z se obtiene:

vx

x

vx

x

x

vy

y

x

vy

y

y

vz

z

vz

z

y

z

z

t

0

Si tomamos el límite tendiendo a 0 de x, y, z obtenemos:

vx x

vy y

vz z

t

0

(1)

Esta expresión incluye magnitudes escalares, como ya se expresó en el balance macroscópico de masa Balances Microscópicos Fenómenos de Transporte – Ingeniería en Alimentos

Para demostrarlo introduciremos el operador vectorial nabla como:

x

ex

ey

y

, el cual se define

ez

z

cuando se aplica

GRADIENTE

se denomina

DIVERGENCIA

se denomina

.v

Ejemplo de divergencia:

se obtiene

VECTOR

VECTOR

se obtiene

ESCALAR

P ex x

P

Ejemplo de gradiente:

ESCALAR

x

ex

y

P ey y ey

z

P ez z

ez

v x ex v y e y v z ez

Si se desarrolla la divergencia y se adopta los valores del delta de Kronecker para la multiplicación de los versores unitarios, tenemos: 1 cuando i j ij

0 cuando i

ij

.v

.v

vx ex ex x

vx x

vx e y ex y

vy y

vy

vx ez ex z

vz z

x

ex e y

vy y

ey ey

vy z

j

vz ex ez x

ez e y

vz e y ez y

el vector velocidad se transformó en escalar al aplicarle

Si derivamos el producto de ρ.v de la ecuación (1) obtenemos:

vx x

vy y

vz z

vx

x

vy

y

vz

z

t

0

(2)

Ecuación Diferencial de Continuidad Los tres primeros términos de la ecuación (2) se pueden expresar como Los términos 4to, 5to y 6to de la ecuación (2) pueden escribirse como Balances Microscópicos Fenómenos de Transporte – Ingeniería en Alimentos

( . v)

vz ez ez z

.v

la ecuación (2) queda

v.

0

t

También pueden agruparse los cuatro últimos términos de la ecuación (2) y

D por lo que la expresión queda: Dt

expresarlos como

D Dt

.v

(3)

Ecuación Diferencial de Continuidad Compacta

Indica como varía la densidad con el tiempo y la posición siguiendo la trayectoria del movimiento del fluido, como resultado de los cambios del vector velocidad CASOS ESPECIALES

Estado Estable:

0

t

la ecuación (2) queda

D Dt

Fluido Incompresible

0 la ecuación (2) queda

.v

.v

v.

0

0

ECUACION DIFERENCIAL DE CONTINUIDAD PARA OTRAS COORDENADAS

Cilíndricas

t

1 r

rv r r

1 r

v

vz z

v sen

1 rsen

0

Esféricas

t

1 r2

r 2 vr r

1 rsen

Balances Microscópicos Fenómenos de Transporte – Ingeniería en Alimentos

v

0

BALANCE MICROSCOPICO DE MOMENTO Se parte de un elemento diferencial de volumen, de forma cúbica, fijo en el espacio, definido en un sistema de coordenadas rectangulares (Figura 2)

v (ρvy)y+∆y

y

Flujo específico de momento

v (ρvz)z y+∆y

v (ρvx)x

v (ρvx)x+∆x

y

v (ρvz)z+Δz v (ρvy)y x z

x+∆x

x

Figura 2

El balance de momento en el elemento diferencial de volumen se puede expresar como: Vel. salida momento – Vel. entrada momento + Vel. acumulación momento = Fuerzas actuando sobre el sistema

Dado que se trata del flujo de una magnitud vectorial debemos considerar las diferentes componentes para el vector velocidad (v x, vy, v z). Para la componente x La velocidad de salida de momento por la cara x+ x (área y z) es:

 v vx

x

La velocidad de entrada de momento por la cara x (área y z) es:

 v vx

x

x

y z ; [ML/t2]

y z ; [ML/t2]

Expresiones similares se obtienen para las caras y, y+ y, z, z+ z La velocidad de acumulación de momento en el volumen x y z es:

t

 ( v x y z)

Si en el primer miembro del balance se sustituyen las expresiones obtenidas para cada cara y la velocidad de acumulación y luego se divide ambos miembros entre el elemento de volumen x y z se obtiene:

 v vx

x

 v vx

x

x

x

 v vy

y

 v vy

y

y

 v vz

y

z

 v vz

z

z

z

Flujo de momento neto Balances Microscópicos Fenómenos de Transporte – Ingeniería en Alimentos

 v t

 F (1) x y z

A continuación se trabajará con las fuerzas externas en x del segundo miembro actuando sobre el elemento diferencial de volumen, distinguimos: Esfuerzos Normales

Esfuerzos Cortantes

Fuerzas de Peso

xx x

yx y

xx x

x

x

yx y

y

zx z

y

gx x

zx z

z

z

Fx (2) x y z

Expresiones idénticas se obtienen para las componentes “y” y “z” de la fuerza. Si tomamos el límite tendiendo a 0 de x, y, z para (1), (2) y las componentes “y” y “z” de las fuerzas obtenemos para cada componente:

vx

vx v v v y x vz x x y z

vx t

vy

vy

vy

z

t

vz z

vz t

vx

x

vz x

vx

vy

vy

vy y

vz y

vz

vz

yx

xx

x

zx

y

xy

z

yy

zy

x

y

z

xz

yz

zz

x

y

z

gx

(3)

gy

(4)

gz

(5)

Otra forma de escribir la ecuación (3) introduciendo las ecuaciones de Stokes para la viscosidad es:

vx t

vx

Rapidez LOCAL de cambio de vx

vx x

vx y

vy

vz

vx z

Dv x Dt

gx

P x

2

vx x2

2

vx y2

2

vx z2

Rapidez de cambio de vx debido al MOVIMIENTO

En forma semejante pueden escribirse para los otros dos componentes de la ecuación de movimiento, que muestran las fuerzas que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que se mueve con el fluido. Al sumar vectorialmente los tres componentes obtenemos: - Fluido Incompresible

Dv Dt

g

P

2

v Ecuación Compacta de Navier-Stokes

- Flujo Laminar - Fluido Newtoniano

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