TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: INTEGRACIÓN ASIGNATURA: MATEMÁTICA I (LIC. ECONOMÍA) - U.N.R.N. – AÑO: 2014

1) Hallar la primitiva F (x) de la función f (x) usando la tabla de integrales, y confirmar el resultado mediante derivación: a) f ( x) = 3x + 5 e) f ( x) =

1 −x x

1 2

1

b) f ( x) = 4 x 3 − x 2 + 4

c) f ( x) = x −

f) f ( x) = x x

g) f ( x) = 9sen( x) − 7 cos( x)

2) Hallar las primitivas siguientes realizando una sustitución adecuada: 2 b) ∫ sen(4 x + 7 )dx a) ∫ (2 x + 7 )2 dx c) ∫ dx f) ∫ (cos 2 x + sen3x) dx

ex

g) ∫

j)

∫ sen( x) cos( x) dx

k)

∫ xsen( x

2

∫e

h) ∫

dx

x

e +1

i) ∫ tg ( x) dx

h) f ( x) = e x + 2 x 4

d)

2x + 5

e) ∫ 4 2 x + 5dx

x−4 x2

d) f ( x) =

2 x

) dx

l) ∫

3) Hallar las primitivas mediante el método de integración por partes: a) ∫ x cos x dx b) ∫ x 2 senx dx d) ∫ x ln x dx e) ∫ x 2 ln x dx

6 x +1

dx

dx x ln x

x4 dx x5 + 1

c) ∫ xe x dx f) ∫ x x − 1 dx

4) Integrar mediante el método de descomposición en fracciones simples: dx 1 dx = a) ∫ 2 b) ∫ 2 c) x + 5x + 6 x −4 5) Calcular usando el método de integración más adecuado: 5x − 2 2 b) ∫ 2 dx a) ∫ x e x dx x − 4x d) ∫ ln 2 x dx e) ∫ sec 2 x tgx dx

c)

2−x dx 2 +x

∫x

2 ∫ sen ( x) cos( x) dx

f) ∫ e x senx dx

6) Hallar las siguientes integrales definidas: 2

a) ∫ ( x + 2) dx 0

2

(

)

b) ∫ x 1 − x 2 dx −1

π

c) ∫ x 2 senx dx

π

4

d) ∫ ln( x)dx 1

0

2

e) ∫ cos(2 x ) dx 0

7) Cálculo de áreas: a) Hallar el área encerrada por una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX. b) Hallar el área de la figura limitada por la parábola

y=

x2 2

, las rectas

x =1

y

x = 3 ,y

el eje X.

c) Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x 2 y el eje OX. d) Calcular el área encerrada entre la función f ( x) = x 3 − x y la recta y = x . 8) Hallar el área de la figura encerrada por la gráfica de las sig. funciones: (graficar en cada caso) a) y = x 2 ; y = 1 b) y = 2 x − x 2 ; y = x − 2 c) y = x 2 ; y = 2 − x 2 1

9) Determinar si las siguientes integrales impropias son convergentes y en caso afirmativo evaluarlas: +∞

a) ∫ e − x dx

2

b) ∫

0

−∞

dx

(4 − x )

+∞

c) ∫

2

5

dx x −1

+∞

d) ∫ e 4 x dx

1

e) ∫

−1

−∞

dx x3

10) Calcular: a) El área entre y = c) ∫

1 x

1 y el eje x a la derecha de la recta x=1. x2

1

b) ∫ (1 − x) − 2 / 3 dx 0

d) ∫ 4 (2 − x) −1 / 2 dx en [0, 2)

dx en (0, 1]

Aplicaciones a la economía, administración y ciencias sociales 1. Hallar el costo total sabiendo que el costo marginal es C ' ( x) = 0.09 x 2 − 1.2 x + 4.5 y el costo de producir 10 unidades es 7700. 2. Hallar el ingreso total y la demanda sabiendo que el ingreso marginal es I ' ( x) = 4 +

10 ( x + 5) 2

−1 / 2

3. Si el costo marginal es C ' ( x) = 3(5 x + 4) y el costo fijo 50, hallar el costo total. 4. Hallar la función de ingreso sabiendo que el costo medio es C ( x) = x + 8 + x −1 y el beneficio marginal es B' ( x) = −6 x + 100 5. Una empresa tiene una producción diaria P(x) de 4000 unidades, con x el número de empleados extra. Estimó que la razón de cambio de la producción diaria con respecto a la variación del número de trabajadores es 100 − 9 x1/ 2 , siendo x el número de empleados extras. Hallar la producción diaria si se suman 9 trabajadores a la fuerza laboral actual. 6. Usando la regla de Barrow hallar: a. El costo de incrementar la ocupación de plazas hoteleras a 100 unidades sabiendo que la ocupación actual es de 20 plazas y el costo marginal C ' ( x) = 0.6 x + 2 b. El cambio en los ingresos de una agencia de viajes al aumentar la venta de 400 a 900 paquetes turísticos por año si el ingreso marginal es I ' ( x) = 100x1 / 2 . 7. En un período inflacionario, los costos de cierto proceso industrial, en millones de dólares, se incrementaron a una tasa dada por la función i (t ) = 0.45t 3 / 2 , donde t indica el tiempo en años. Encuentre el incremento total de los costos los primeros cuatro años. 8. Una empresa encontró que sus gastos diarios (en cientos de pesos) por cierto tipo de trabajo varían a una tasa de E ( x) = 4 x + 2 , donde x es el número de días desde que se inició el trabajo. a. Hallar el gasto total si el trabajo durara 10 días. b. Si la empresa no quiere gastar más de $50000 en el trabajo, ¿en cuántos días debería terminarlo? 9. Dadas las siguientes ecuaciones de oferta y demanda, calcular el excedente del productor y del consumidor en el punto de equilibrio: a) p = 50 − 0.5 x

b) p =

p = 0.125 x

2

10000 x + 100

p = 100 0.05 x + 10

RESULTADOS 1) a) f ( x) =

3 2 x + 5x + c 2

e) f ( x) = ln x −

2)

2 5 x2 x +c + c f) f ( x) = 5 2

4 3

(2 x + 5)3

+c

f)

1 1 sen 2 x − cos 3 x + c 2 3

k)

3) a)

1 x−2 ln +c 4 x+2

5) a)

1 x2 e +c 2

d)

7) a) 2

e)

b)

b)

b) -2.25 b) 13/3

h)

1 − cos( x 2 ) + c 2

x3 x3 ln x − +c 3 9

x+2 +c x+3

ln

c)

e)

tg 2 x +c 2

c) 5.87

32 c) 3

d) 2.54

b) ( Area = 9 2 )

9) a) Convergente; 1 10) a) 1 b) 3

b) Convergente; -1/2

c)

f)

2 4 x ( x − 1) 3 − ( x − 1) 5 + c 3 15

sen 3 x +c 3

ex ( senx − cos x) + c 2 e) 0

( Area = 8 ) 3

c)d)e) Divergente

−1 / 2 6 (5 x + 4) + 20.83 5 5) P (9) = 4738

3) C ( x) =

7) 5,76 millones de dólares

2) I ( x) = 4 x −

10 +k x+5

4) I ( x) = −2 x 2 + 108 x + 1 6) a) 3040 8) a) $22000

9) a) Exc. productor: 400; Exc. consumidor: 1600. b) R: Exc. productor: 25497; Exc. consumidor: 50000. 3

b) 1.266.666,7 b) 15.3

1 ln x 5 +1 + c 5

e x ( x − 1) + c

Aplicaciones a la economía, administración y ciencias sociales 1) C ( x) = 0.03x3 − 0.6 x 2 + 4.5 x + 7685

ln ln x + c l)

d) 2

8) a) ( Area = 4 3 )

e 6 x +1 +c 6

c)

c)

f)

2 5

h) f ( x) = e x + x5 + c

2 ln x − 3 ln x + 1 + c

1 9 ln x + ln x − 4 + c 2 2

x ln x (ln x − 1) − x(ln x − 1) + x + c

6) a) 6

2 e x +1 + c

2

x2 x4 ln x − +c d) 2 4 4) a)

d)

b) − x cos x + 2( xsenx + cos x ) + c

xsen( x) + cos( x) + c

4 x

d) f ( x) = ln x + + c

c) ln 2 x + 5 + c

g)

sen 2 x +c j) 2

i) − ln cos x + c

2 3 x − x +c 3

g) f ( x) = −9 cos( x) − 7 sen( x) + c

b) − cos(4 x + 7) +c 4

( 2 x + 7) 3 +c a) 6 e)

1 6

b) f ( x) = 4 x 4 − x3 + 4 x + c c) f ( x) =