Segunda Edtdón

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Reoaso dei Teorema de Prtáooras: El teorema de Pitágoras dke: Hipotenusa o H

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa "

Cateto o B

Cateto & A

La Hipotenusa siempre es el lado más largo del triángulo Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto

Como vemos es sólo una fórmula, y nos sirve para calcular el tercer lado de un triángulo rectángulo, sabiendo cuanto valen los dos primeros!

Hay que acordarse que, el teorema de Pitágoras, sólo se puede usar con triángulos rectángulos.

Vamos a ver un ejemplo:

Llamo "H" a la Hipotenusa

Supongamos que tenemos como dato que un cateto mide 3 cm y el otro cateto mide 4 cm. Y tenemos que calcular la hipotenusa

JJH->¿?

Si dibujamos el triángulo que dice el enunciado nos quedaría como este:

B-»3cm

! Llamo "A" y "B" ! a los catetos

Lo primero que hago es plantear la fórmula de Pitágoras:

,•*

A2 + B2 = H2 Luego, remplazo los valores que tengo como dato: (En este caso, tenemos como dato, los dos catetos) Entonces remplazo un cateto por 4 cm y el otro por 3 cm

(3 cm)z + (4 crnT2 =_ H Hago las cuentas

9 cm2 + 16 cm2 = H2

2 5 c m 2 = H2 V 25 cm 2

= H

J Sumo 9 + 16 $7 Paso el cuadrado como Raíz Por lo tanto ya calculamos la hipotenusa: Nos dio 5 cm

La Trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Cateto Opuesto

Primero vamos a estudiar los Triángulos Rectángulos > > >

Llamamos Hipotenusa al lado más grande del triángulo. Llamamos Cateto Opuesto al lado Opuesto al ángulo a. Llamamos Cateto Adyacente al lado Adyacente al ángulo a.

Hipotenusa

a Cateto Adyacente

A partir de estos tres lados y este ángulo surgen tres relaciones muy importantes: Seno a =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Coseno a =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Tangente a -

Cateto Opuesto Cateto Adyacente ] Página:

¿Para qué me sireen esas tres fot mnliff? Esas tres fórmulas son muy úfles, si para oíalquier triángulo redángutoy» tengo como datos un lado y un ángulo, puedo calcular tos obr» dos lados usando dkhas fónnubs. Y si tengo cnmo i el vator de dos lados puedo calcular tos ángulos y el lado que falta. Veamos un ejemplo:

Planteamos la fórmula del Seno

En este ejemplo tenemos como dato un ángulo y un lado, y vamos a calcular los otros dos lados del triángulo.

Seno a =

45

>

Primero reemplazo los valores que conozco (la hipotenusa y el ángulo a).

Luego despejo el Cateto Opuesto que es lo que voy a calcular.

,

>^ **

Cateto Opuesto Hipotenusa

_ beno

3

Cateto Opuesto 10cm

¡_ Seno 45° j . 1 0 cm = Cateto Opuesto Ahora con la calculadora calculo el Seno de 45°. r

Seno 45° = 0,707

Cateto Opuesto = 7,07 cm

Veamos un ejemplo en el que calculemos un ángulo: En este ejemplo tenemos como dato dos lados, y vamos a calcular los ángulos del triángulo. Obviamente que ya sabemos que uno de los ángulos vale 90° . Si no fuera así no podríamos usar las fórmulas de Trigonometría que vimos antes.

a V

6cm

Planteamos la formula del Coseno:

^ . . Cateto Adyacente r—S Coseno (a) = — ^ Hipotenusa

Reemplazamos los valores

Hago la división

Ahora al despejar el Coseno, pasa para el otro lado como ArcCoseno que es la función inversa.

5 cm Coseno (a) = — 10 cm

Usamos la fórmula del Coseno porque tenemos como dato al cateto adyacente de alfa y a la hipotenusa, con esta fórmula podemos calcular alfa.

Coseno (a) = 0,6

(«) = ArcCoseno (0,6)

a = 53,13

a = 53° 7' 21

Para calcular el ArcCoseno 0,6 con la calculadora pongo "0,6", aprieto la tecla "Inv" y después la tecla "Cos" En las calculadoras más nuevas, primero aprieto wlnv", luego "Cos" y después W0,6" . Por último la tecla "=" o "Enter" a es un ángulo y no me puede dar con coma, por lo que tengo que pasarlo a grados, minutos y segundos. Para eso las calculadoras tienen una teda que tiene los símbolos de los grados, minutos y segundos (pero primero hay que apretar la teda "Inv"). Obviamente que si ahora quiero calcular el ángulo p, uso la propiedad que dice que wLa suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° ". De esta manera lo único que tengo que hacer es p = 180° - 90° - 53° 07' 21" Entonces: P = 36° 52' 49"

Segunda Ecicion • Calcular el lado que falta del Triángulo:

24 cm 2)

1) 5 on

8cm

4)

9cm

3) 15 cm

7cm

41 cm 12 cm

6)

5) ,61 cm

29 cm

21 cm

12 cm

6 cm

11 cm

8cm 35 cm

10)

9) 53 cm

28 cm

12)

11) 2a a+1

13) En un rectángulo de 35mm x 120mm se traza su diagonal. ¿Cuánto mide esta diagonal? 14) En un rectángulo de 55 mm de base, se traza su diagonal. La diagonal trazada mide 305mm ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?

15) Maximiliano está remontando su barrilete. El largo del hilo desenredado es de 15.9 metros. El barrilete está justo encima de su hermana, que está a 8,4 metros de distancia de Maximiliano. Calcular la altura a la que está en ese momento el barrilete del piso. Maxi y su hermana miden los dos 1,5 metros.

16) Mariano hace un rectángulo uniendo fósforos. Para la base usó 36 fósforos y para la altura 15 fósforos. ¿Cuántos fósforos necesita para hacer su diagonal?

En un cono tenemos los siguientes elementos: Radio 17) Hallar la altura de un cono de 24 cm de radio y 74 cm de generatriz. 18) Hallar el radio de un cono de 42 cm de altura y 58 cm de generatriz. 19) Hallar la generatriz de un cono de 7,5 cm de radio y 4 cm de altura. ,*''^v^ C3

20) Hallar el valor del lado del rombo. Si sabemos que la base del rectángulo mide 80 cm y la altura del rectángulo mide 18 cm.

£




68°16' + 60° + c = 180°

i=> c = 180° - 68°16' - 60° c=>

Ahora lo último que me falta calcular es el lado C: Vuelvo a escribir la fórmula:

Reemplazo los

A

B

Sen (a)

Sen(b)

Sen(c)

3m

^.

Despejo "C" [=£> Sen (51° 44') •

C

=

3m

Sen(68016',

Sen(51o44')

m

Sen (68° 16') Página:

ngonometna n

El Teorema del Coseno dice que el cuadrado del tercer lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ambos lados, multiplicados por el Coseno del ángulo que forman. A 2 = B2 + C2 - 2 . B . C . Coseno (a) I Formulas: J

B2

7

- A 2 + C2 - 2 . A . C . Coseno (b)

C2 = A 2 + B2 - 2 . A . B . Coseno fe) Con estas tres fórmulas puedo calcular: •

Un ángulo (si tengo como dato los tres lados).

•

Un lado (Si tengo como dato los otros dos lados y el ángulo que forman).

Fíjense que interesante. No hace falta que el triángulo sea rectángulo, por lo tanto lo puedo usar en cualquier triángulo. Lo mismo que pasaba con el Teorema del Seno. Ejemplo: Calcular el lado C y los ángulos a y b. B = 2m

A = 3m

Lo primero que voy a calcular es el lado C. Pude haber empezado con los ángulos, es lo mismo. Reemplazo los Escribo la fórmula: C2 = A 2 + B2 - 2 . A . B . Cos (c) c=> valores que c=i> C2 = (3m)2 + (2m)2 - 2 . 3m . 2m . Cos(30°) conozco... _

12m2

. Cos (30°) i=> C2 = 9m2 + 4m2 - 12m2 . 0,866 c=> C2 = 9m2 + 4m2 - 10,39m2

c=

C2 = 2,61m2

1,61 m

Ahora voy a calcular los ángulos. Empezamos con "a" Reemplazo los

La fórmula: A 2 = B2 + C2 - 2 . B . C . Cos (a) rz=> valores que [=> (3m)2 = (2m)2 + (l,61m)2 - 2 . 2m . l,61m . Cos (a) conozco... , . , ^ Despejo el . K 9 m 2 -4m 2 -2,59m 2• = Cbs(a) 9m2 = 4m2 + 2,591m2 - 10,44m2 . Coseno (a) ángui0«a" -10,44m2

Cos (a) --0,22

a = Are Cos (- 0,22)

a

Para despejar un ángulo afectado por la función Seno, debo usar su función inversa que es "Arco Sen"

-

103° 20'48" Para calcular el ArcCos -0,22 con la calculadora escribo "-0,22", aprieto la tecia "Inv" y después la tecla "Cos"

En las calculadoras más nuevas, primero aprieto "Inv", luego "Cos" y después "-0,22". Por último presiono la tecla "="

Yo ya sé que: a = 103° 20'48" c = 30°

Entonces para calcular el ángulo "b"que me falta, escribo la fórmula de los ángulos interiores de un triángulo, reemplazo los ángulos que conozco y despejo "b":

a + b + c = 180°

103° 20'48" + b + 30° = 180° b = 180° - 103° 20'48" - 30°

b = 46° 39'11" Página:

I