FICHA DE SONIDO Nº42 Arreglos lineales – modelo continuo El primer paso en la obtención de la función de directividad de un arreglo lineal es desarrollar una expresión para la presión sonora irradiada. Una fuente lineal puede ser modelada idealmente como segmentos lineales pequeños, infinitos y continuos distribuidos a lo largo de una línea. La presión acústica que irradia una fuente lineal es: l

presión = ∫ 0

A( x) − j ( kr ( x ) +φ ( x )) e dx r ( x)

Donde l es la longitud de una fuente lineal, A(x) es la función de amplitud a lo largo de la línea, k es el número de onda, φ(x) es la función de fase a lo largo de la línea y r(x) es la distancia desde algún segmento a lo largo de la línea hasta el punto de observación P. La evaluación de esta expresión se simplifica si se asume que el punto de observación P se encuentra lejos, a una distancia mucho mayor que la longitud del arreglo y que las distancias desde P hasta cualquier segmento del arreglo son aproximadamente iguales. Esto permite llevar el término 1/r(x) en frente de la integral desde

1 1 1 1 ≈ ≈ ≈ r ( x) r (0) r (l ) r Opuestamente, el término r(x) en la exponencial debe ser tratado porque las pequeñas diferencias de distancia desde P hasta desde alguno de los segmentos no son comparadas con una guía de onda. La fig. 1 muestra que r(x) en el exponente puede ser expresado como:

r ( x) = x sin(α ) Donde α es el ángulo entre una línea normal al eje de la fuente y una línea desde la fuente hasta P.

Fig. 1. Construcción geométrica de la función de distancia relativa.

Sustituyendo, la presión de campo lejano en el ángulo α de una fuente lineal continua es: l

1 presión (α ) = ∫ A( x )e − j ( kx sin α +φ ( x )) dx r0

La función de directividad R(α) de una fuente lineal está definida como la magnitud de la presión en un ángulo α sobre la magnitud de la presión máxima que puede ser obtenida sin importar la dirección. Ésta es:

R (α ) =

presión(α ) presiónmax

La presión máxima irradiada es obtenida cuando todos los segmentos a lo largo de la línea irradiada están en fase, por ejemplo cuando la función exponencial es igual a 1. Ésta está dada como: l

presión max =

1 A( x)dx r ∫0

Por lo tanto la forma general de la función de directividad r(x) de una fuente lineal es: l

∫ A( x)e R (α ) =

− j ( kx sin α +φ ( x ))

dx

0 l

∫ A( x)dx 0

Ecuación 1.

Arreglos lineales uniformes La ecuación 1 es la forma general de la función de directividad de una fuente lineal a distancias grandes. Es válida para cualquier función de fase y amplitud a lo largo de la longitud. Una fuente lineal uniforme tiene una amplitud y fase constantes a lo largo de su longitud, que es, A(x)=A y φ(x)=0. Sustituyendo en la ecuación 1 se deviene:

R(α ) =

l

1 − jkx sin α e dx l ∫0

Resolviendo esta integral y aplicando la identidad de Euler, esto empieza a ser:

R(α ) =

sen(

πl sin α ) λ

πl sin α λ

Ecuación 2.

La figura 2 muestra las curvas del patrón polar de una amplitud uniforme y fase de un arreglo lineal para varias relaciones entre la longitud del arreglo y la guía de onda. El patrón polar es ancho a relaciones bajas de 1 / λ . Como la relación incrementa el patrón de directividad es angosto, exhibe nulls y por lo tanto, lóbulos. Para la longitud de una guía de onda mayor que 1 (λ > l), el patrón polar de un arreglo lineal es mayoritariamente omnidireccional. En las guías de onda más cortas, los lóbulos se observan en las curvas del patrón polar.

Fig.2. Curvas de patrón polar de una fuente lineal uniforme.

Lóbulos y nulls de arreglos lineales uniformes La función de directividad de un arreglo lineal uniforme tiene la forma genérica sin(u)/u sobre el eje, u = 0, esta expresión debe ser evaluada utilizando la regla L´Hopital, tomando derivadas del numerador y del denominador. De esto deviene lo siguiente:

lim

sin u → cos(0) = 1 u

Lo cual indica que allí siempre estará un lóbulo sobre el eje. Las nulls son obtenidas cuando el sin(u)/u tiende a 0. Esto ocurre cuando el argumento alcanza múltiplos de π los que pueden expresarse como:

πl sin(α ) = mπ λ

Donde m es una integral. Por lo tanto, los nulls se obtienen en:

sin(α ) = m

λ l

, donde m = 1, 2, 3,…

Los lóbulos de la función de directividad son encontrados entre los nulls con la siguiente fórmula:

1 ( m + )λ 2 , donde m = 1, 2, 3,… sin(α ) = l Desde la reducción de la amplitud inversamente proporcional a u, la amplitud de la presión del ésimo m lóbulo es:

Am =

cos(mπ ) mπ +

π

2

Donde m = 1, 2, 3,…

¿Se podrá curvar un arreglo en línea para extender su cobertura vertical? En la práctica, curvar un arreglo en línea puede ayudar a cubrir un amplio arco y extenderse el área de cobertura en el plano vertical. En efecto algunos sistemas de arreglos en línea se denominan “Arreglos de Altavoces Curvilíneos” porque están diseñados específicamente para curvarse y continuar con un óptimo desempeño. Hay que tener en cuenta que el hecho de curvar un arreglo en línea también puede traer problemas: 1. Si la sección de altas frecuencias tiene el patrón vertical angosto, se obtiene un arreglo recto. Al curvarlo se pueden producir lugares geométricos con un gran nivel sonoro (Hot Spots) y áreas con pobres coberturas de altas frecuencias. 2. Mientras la curvatura pueda distribuir las altas frecuencias sobre un área importante, las frecuencias medias-bajas permanecerán “direccionales” y constantes porque la curvatura es trivial para longitudes de onda grandes. 3. Ningún arreglo en línea puede ser curvado radicalmente y continuar suministrando resultados esperados. Las propiedades acústicas del sistema en particular pueden ser examinadas para determinar si la configuración de la curvatura puede entregar dichos resultados.

Nuevamente estoy muy agradecida con Tecnoprofile Magazine no sólo por haber sido su Editora y Directora, sino también por haberme brindado la oportunidad de escribir las fichas de sonido durante un poco más de dos años. Nos seguiremos encontrando en este medio, el que día a día crece rápidamente y adquiere más profesionalismo, lo que nos brinda a las personas relacionadas con el mismo, nuevas oportunidades de crecimiento intelectual y evolución personal.

Bibliografía “Acústica”. Leo Beranek.

¡Muchas gracias y hasta siempre!

Ing. María Isabel Arango G. [email protected]