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APUNTE TEÓRICOTEÓRICO-PRÁCTICO: PRÁCTICO: POLINOMIOS Y ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo Profesor: Prof. Mabel Susana Chrestia Semestre: 1ero - Año: 2014

Polinomios de segundo grado Un polinomio es de segundo grado (o cuadrático) si es de la forma: P( x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c donde a, b, c ∈ R ; a ≠ 0 .

a es el coeficiente cuadrático
a ⋅ x 2 es el término cuadrático b es el coeficiente lineal
b ⋅ x es el término lineal

c es el término independiente Por ejemplo, los siguientes polinomios son de segundo grado: 2 P ( x) = 2 x 2 − x + 3 ; Q( x) = x + 1 + x 2 ; P ( x) = − x 2 − x ; P ( x) = 10 + 6 x 2 7

Raíces de un polinomio de segundo grado Para encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado que está completo, aplicamos la siguiente fórmula (conocida por “fórmula de Baskara”, o “fórmula cuadrática”): Si P ( x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c entonces las raíces x1 y x2 del polinomio se calculan así:

x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

Por ejemplo: Sea P ( x) = x 2 − 13 x + 36 . Vemos que los coeficientes son: a = 1 ; b = −12 ; c = 36 . − (−13) ± (−13) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 36 13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5 = = = 2 ⋅1 2 2 2 13 + 5 18 13 − 5 8 x1 = = = 9 ; x2 = = =4 2 2 2 2

Luego, x1, 2 =

Entonces:

Por lo tanto, las raíces de este polinomio son x1 = 9 ; x2 = 4 . Para verificar que las raíces son correctas, utilizamos el Teorema del Resto. P (9) = 9 2 − 13 ⋅ 9 + 36 = 81 − 117 + 36 = 0 P (4) = 4 2 − 13 ⋅ 4 + 36 = 16 − 52 + 36 = 0 Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

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Si el polinomio dado no está completo, no es necesario aplicar la fórmula anterior; pueden hallarse las raíces factorizando el polinomio, como se ha visto en el apunte de Polinomios. Por ejemplo: Sea P ( x) = 2 x 2 + x . Este polinomio no está completo (falta el término independiente). Podemos factorizarlo sacando x como factor común: P ( x) = 2 x 2 + x = x ⋅ (2 x + 1)

Queremos encontrar las raíces, es decir, los valores que anulan al polinomio. Por lo tanto podemos escribir: x ⋅ (2 x + 1) = 0 Este producto se hace cero cuando x = 0 o bien 2 x + 1 = 0 . Despejando x de esta última expresión, 1 obtenemos: x = − . 2 1 Luego, las raíces son x1 = 0 ; x2 = − . 2

Ejercicio Nro. 1 Hallar las raíces de los siguientes polinomios, usando la “fórmula de Baskara” en caso de ser necesario. a) P ( x) = 8 x 2 − 4 x

b) P ( x) = x 2 − 100

c) P ( x) = x 2 + 5 x − 14

En todos los ejemplos que hemos visto hasta ahora, hemos encontrado que el polinomio cuadrático dado tiene dos raíces reales distintas. Veremos a continuación que además de éste, pueden darse otros dos casos.

− b ± b 2 − 4ac para hallar las raíces de un 2a polinomio cuadrático, llamaremos discriminante al radicando b 2 − 4ac . Teniendo en cuenta la fórmula de “Baskara” x1, 2 =

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Puede suceder que este discriminante sea positivo, negativo o nulo; es decir, tenemos tres posibilidades: b2 − 4 ⋅ a ⋅ c > 0

b2 − 4 ⋅ a ⋅ c < 0

ó

ó

b2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 0

El discriminante nos permite conocer la cantidad y el tipo de raíces del polinomio. Analizaremos los tres casos en detalle: Caso 1: b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c > 0 En este caso, el polinomio tiene dos raíces reales distintas, como se ha visto en los ejemplos anteriores. Caso 2: b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c < 0 En este caso, nos queda una raíz cuadrada de un número negativo. Por lo cual no existe ninguna raíz real. Diremos entonces que el polinomio no tiene raíces reales, sino raíces imaginarias. Las raíces imaginarias son valores dentro del campo de los números complejos, que no analizaremos en este caso.

− 1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ± − 3 = 2 ⋅1 2 − 3 ∉ R entonces concluimos que el polinomio no tiene raíces reales.

Ejemplo: sea P ( x) = x 2 + x + 1 Como




x1, 2 =

Caso 3: b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 0 En este caso, nos queda la raíz cuadrada de cero, que es cero. Por lo tanto la fórmula queda reducida a: −b x1, 2 = 2a Entonces, en este caso el polinomio tiene una sola raíz que se le llama raíz doble. Ejemplo: sea P ( x) = x 2 − 2 x + 1


x1, 2 =

− (−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ± 4 − 4 2 ± 0 2 = = = =1 2 ⋅1 2 2 2

Entonces concluimos que el polinomio tiene una raíz doble que es x = 1 .

Ejercicio Nro. 2 Hallar las raíces de los siguientes polinomios: a) P ( x) = 2 x 2 + 3 x − 5

b) P ( x) = x 2 + 8 x + 16

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c) P ( x) = 3 x 2 + 2 x + 11

Forma “factorizada” de expresar un polinomio Sea P ( x) = ax 2 + bx + c un polinomio cuadrático. Entonces, si x1 , x2 son sus raíces, este polinomio puede escribirse en forma “factorizada” así: P( x) = a( x − x1 )( x − x2 ) Por ejemplo, sea P ( x) = x 2 − 13 x + 36 cuyas raíces son x1 = 9 ; x2 = 4 . (ver página 1) Entonces la forma factorizada de este polinomio es: P( x) = ( x − 9)( x − 4)

Ejercicio Nro. 3 Escribir en forma factorizada, en caso de ser posible, los polinomios de los ejercicios 1 y 2. P( x) = 8 x 2 − 4 x
P ( x) = x 2 − 100
P ( x) = x 2 + 5 x − 14
P( x) = 2 x 2 + 3x − 5
P ( x) = x 2 + 8 x + 16
P ( x) = 3 x 2 + 2 x + 11


Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es aquella del tipo a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0

donde a, b, c ∈ R ; a ≠ 0 .

Por ejemplo: x 2 − 5 x + 20 = 0 ; 3 x − 4 = x 2 ;

1 2 x = 1 ; 4 = x − x2 2

Resolución de una ecuación cuadrática Para resolver una ecuación cuadrática, es decir, hallar los valores de x que son solución de la ecuación, aplicamos todo lo visto para polinomios cuadráticos. Es decir, se procede igual que para hallar las raíces de un polinomio cuadrático. Por ejemplo: Resolver la ecuación x 2 −

1 1 x= . 4 8

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1 1 x − = 0. 4 8 1 1 Aplicamos “Baskara” sabiendo que: a = 1 ; b = − ; c = − . 4 8 Entonces:

Primero igualamos a cero la ecuación: x 2 −

2

x1, 2

 1  1  1 1 3 −  −  ±  −  − 4 ⋅1⋅  −  1 ± 1 + 1 1 ± 9 ± 4 4 8       4 16 2 = 4 16 = 4 4 = = 2 ⋅1 2 2 2

Luego:

1 3 4 + 4 4 = 4=1 x1 = 2 2 2

Por lo tanto, las raíces son x1 =

;

1 3 2 1 − − − 1 x2 = 4 4 = 4 = 2 = − . 2 2 2 4

1 1 ; x2 = − 2 4

Resolución de problemas Veremos a continuación un ejemplo de cómo resolver un problema en el que aparece una ecuación cuadrática. El problema es el siguiente:

La diferencia entre dos números es 2 y la suma de sus cuadrados es 34. ¿Cuáles son los números que cumplen estas condiciones? Llamaremos x e y a los números buscados. Ahora planteemos las ecuaciones: La diferencia entre dos números es 2
x − y = 2 La suma de sus cuadrados es 34.
x 2 + y 2 = 34 Despejamos de la primera ecuación la variable x : x = 2 + y Sustituimos en la segunda ecuación: (2 + y ) 2 + y 2 = 34 Desarrollando el binomio (2 + y ) 2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ y + y 2 = 4 + 4 y + y 2 nos queda: (2 + y ) 2 + y 2 = 34
2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ y + y 2 + y 2 = 34
4 + 4 y + 2 y 2 = 34 2 y 2 + 4 y − 30 = 0 que es una ecuación cuadrática. Igualamos a cero esta última igualdad: Podemos aplicar “Baskara” sabiendo que: a = 2 ; b = 4 ; c = −30

y1, 2

− b ± b 2 − 4ac =
2a

y1, 2

− 4 ± 4 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−30) − 4 ± 16 + 240 − 4 ± 256 − 4 ± 16 = = = =
2⋅2 4 4 4

Entonces:

y1 =

− 4 + 16 12 = =3 4 4

;

y2 =

− 4 − 16 − 20 = = −5 4 4

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Hemos encontrado dos valores para y . Veamos cuáles son los posibles valores para x : Como x = 2 + y entonces si y = 3 obtenemos que x = 5 . Y si y = −5 , x = −3 . Por lo tanto, hay dos pares de valores que cumplen lo solicitado por el problema: el 3 y el 5, y, el –5 y –3.

Ejercicio Nro. 4 Resolver los siguientes problemas, planteando las ecuaciones cuadráticas: a) Hallar un número tal que su quíntuplo aumentado en seis unidades es igual a su cuadrado.

b) ¿Qué número multiplicado por tres es cuarenta unidades menor que su cuadrado?

c) Determinar tres números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 365.

d) La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 394. ¿Cuáles son esos números?

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