ANÁLISIS MATEMÁTICO – TRABAJO PRÁCTICO FINAL PRIMERA PARTE TEMA: Límite y continuidad de una función. 1. Desde la información presentada en la gráfica definir: a) Dominio e Imagen de la Función b) Ecuación de las asíntotas c) Algunos intervalos de positividad y negatividad d) Valor máximo en [2, 4) e) ¿Puede la función presentar una asíntota oblicua? ¿Por qué? Operación Resultado ∞  k 2. En la tabla se muestran las distintas formas que puede adoptar una expresión una vez que hayamos “pasado al límite”. Determinar el resultado final en cada uno de los casos. 3. Evaluar los límites que se plantean a partir de la gráfica siguiente.

∞+∞ ∞-∞ ∞ . (  k) ∞.∞ 0.∞ 0/k k/0 k/∞ ∞/k 0/∞ ∞/0 0/0 ∞/∞ 0 K 0 0 0 ∞ 0

K

k

∞

∞

0 ∞ ∞ ∞ 1

5. Escribir las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones:

6. Obtener 5 de los siguientes límites, al menos. x2  5 e2x 3 a) lim 3 b) lim c) lim(  1) t x 0 x   t   x 2x  1 4t f) Lim x   ( 2 / x 3 )

2

x 5

g) lim

x 

x

3Sin 4 (2 x) x 0 x.Tang 3 x

h) lim Cos 22x  1 i)

3

x 0

e) lim 2t  1

d) lim

x

t  5t  2

Lim x  1 (3 2 x )

7. Verificar no menos de 10 de los siguientes límites x1

d ) lim x2

x0

x 2 x2

Rtta.

sen3x x0 sen4 x

f ) lim

3x  5 x  2 x  3

h) lim

Rtta :

Rtta :

tg 2 7 x  x 0 5x

m) lim



1

3 4

Rtta : 0

x  1

x 0

2 2

Rtta. 0

c) lim 2 x  3  1

e) lim

x 3  2 x 2  3x x3  4x

g ) lim x 4

3 2x  1 i ) lim 2 x  x  3 x  5 2

x 3  6 x 2  12 x  8 x  2 x 2  3x  2

k ) lim



b) lim x 2  4  4

a ) lim 3 x  1  2

x 2 x4

Rtta : 0

l ) lim x 3

Rtta :

sen 2 x x 0 3x

Rtta : 

Rtta :

x2  2x  1 x2 1

5 7

Rtta : 0

8. Analizar la continuidad de la siguiente función. Representarla gráficamente.

f ( x) 

3 4

1 4

x3  2x  3 x  3 x 2  5 x  1

j ) lim

x2  x  6 x2  x  2

n) lim

Rtta.

SEGUNDA PARTE: TEMA: Integrales definidas e indefinidas 1) Resolver al menos 6 de las siguientes integrales indefinidas inmediatas.

a)

b)

c)

g)

d)

h)

e)

i)

f)

j)

2) Determinar la función f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2,4) y que su derivada es f´(x) = 1/x4 + 2x 3) Dada la función f(x) = 4x3 + 10x + 8, se pide: a)calcular una primitiva F(x) que cumpla que F(1) = 20. 4) Resolver las siguientes integrales por el método de sustitución a)  SenxCosxdx

b) Cos ( x 2 ) 2 xdx 

c)

d)

e)

tagx dx 2 x

 cos

5) Resolver las siguientes integrales aplicando el método “por partes”. a)

 ln( x)dx

b)

 e Cos ( x x

) dx

c)

 xCos ( x

) dx

6) A partir de la siguiente gráfica, calcular cada una de las integrales definidas utilizando formulas geométricas.

3

7) Resolver la integral

 3e

2 x

dx

2

8) Calcular el área encerrada por la curva y = (x)(1/2) , el eje “x” y las rectas x = 2 y x = 4 9) Dadas las funciones f(x) = x2 y

g(x) = 3 − 2x, se pide:

a) Representar gráficamente en un mismo par de ejes y calcular el área encerrada. b) Calcular la primitiva de la función [f(x). g(x)] que pasa por (−1, 7).

10) Encontrar el área encerrada por las gráficas de la f(x) = x2 + 2 , x = - 2 , y = - x – 2 y la recta tangente a la gráfica de f(x) que pasa por el punto (2 , 6). Representar gráficamente la región dada. 11) Resolver 4 de las siguientes integrales definidas. Representar gráficamente dos de las que no han tenido la virtud de ser seleccionadas. 4

a)  ( x 2  9 x)dx 1

6

e)

 2

5

b)  ( x 3  x 2  8)dx 2

3

dx 4x  1

4

c)

f)

 0

dx 1 (3  5x) 2

11

9  x dx

dx g)  2 dx 2 9 x  36

2 x  3dx

3

 /2

3

2



d)

h)

 [2 x  Sin(2 x)]dx

 /4

12) Aplicar integrales definidas para resolver los siguientes ejercicios.

a) Demostrar la fórmula del volumen de un cilindro y de una esfera

b) Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de la función y = (x)1/2 considerando como limites laterales a x = 1; x = 4. Solución (15/2) π

c) Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de y = 2 – x cuando esta gira alrededor del eje x, considerando como limites laterales x = 0; x = 2 Solución: (8/3) π

13) Expresar con la integral correspondiente el área de la región sombreada. a)

b)

c)