´ ´ ANALISIS MATEMATICO II. Integral Indefinida I. Calcular las siguientes integrales: Z

x5 dx. Resp.:

1.

x6 +C. 6

√ √ x2 2x x x)dx. Resp.: + +C. 2 3 √ ! Z Ã √ 3 x x 1 √ √ − 3. dx. Resp.:6 x − x2 x+C. x 4 10 Z

2.

(x +

Z

4.

x2 2 √ √ dx. Resp.: x2 x+C. x 5

Z µ

5. Z

6.

¶

4 1 8 1 − √ + 2 dx. Resp.:− − √ − 2x+C. 2 x x x x x

√ dx √ . Resp.:2 x+C. x

Z µ

¶

√ 1 2 x5 3 2 √ 3 x +√ 7. dx. Resp.: + x x2 + 3 3 x+C. 3 x 5 4 Integraci´on por sustituci´on 2

Z

e5x dx. Resp.:

8.

1 5x e +C. 5

Z

9.

cos5xdx. Resp.:

sen5x +C. 5

senaxdx. Resp.:

−cosax +C. a

Z

10. Z

11. Z

12. Z

13. Z

14.

1 lnx dx. Resp.: ln2 x+C. x 2 dx −cotg3x . Resp.: +C. 2 sen 3x 3 dx tg7x . Resp.: +C. 2 cos 7x 7 dx 1 . Resp.: ln|3x − 7|+C. 3x − 7 3 1

Z

15. Z

16.

dx . Resp.: −ln|1 − x|+C. 1−x dx −1 . Resp.: ln|5 − 2x|+C. 5 − 2x 2

Z

17.

tg2xdx. Resp.: Z

18. Z

19. Z

20. Z

21.

−1 ln|cos2x|+C. 2

1 cotg(5x − 7)dx. Resp.: Ln|sen(5x − 7)|+C. 5 dy −1 . Resp.: ln|cos3y|+C. cotg3y 3 x x cotg dx. Resp.:3ln|sen |+C. 3 3 1 tgx.sec2 xdx. Resp.: tg 2 x+C. 2

Z

(ctgex )ex dx. Resp.: ln|senex |+C.

22.

Z µ

S tg4S − cotg 4

23.

¶

dS. Resp.:

Z

sen2 xcosxdx. Resp.:

24. Z

cos3 xsenxdx. Resp.:

25. 26.

Z p

sen3 x +C. 3 −cos4 x +C. 4

1q 2 (x + 1)3 +C. 3

Z

xdx 1p 2 √ . Resp.: 2x + 3+C. 2 2x2 + 3

Z

x2 dx 2p 3 √ . Resp.: x + 1+C. 3 x3 + 1

27. 28. Z

29. Z

30.

x2 + 1xdx. Resp.:

−1 S ln|cos4S| − 4ln|sen |+C. 4 4

cosxdx −1 . Resp.: +C. 2 sen x senx senxdx 1 . Resp.: +C. 3 cos x 2cos2 x 2

Z

tg 2 x tgx dx. Resp.: +C. cos2 x 2

Z

cotgxdx −cotg 2 x . Resp.: +C. sen2 x 2

31. 32. Z

33.

√ dx √ . Resp.: 2 tgx − 1+C. cos2 x tgx − 1

Z

ln(x + 1) ln2 (x + 1) dx. Resp.: +C. x+1 2

Z

√ cosxdx √ . Resp.: 2senx + 1+C. 2senx + 1

34. 35. Z

36.

sen2xdx 1 . Resp.: +C. 2 (1 + cos2x) 2(1 + cos2x)

Z

√ sen2xdx √ . Resp.: 2 1 + sen2 x+C. 1 + sen2 x Z √ tgx + 1 2q 38. dx. Resp.: (tgx + 1)3 +C. cos2 x 3

37.

Z

39. Z

40.

1 sen3xdx √ . Resp.: √ +C. 3 3 4 cos3x cos 3x

Z

ln3 x ln2 xdx . Resp.: +C. x 3

Z

arcsenxdx arcsen2 x √ . Resp.: +C. 2 1 − x2

Z

arctgxdx arctg 2 x . Resp.: +C. 1 + x2 2

Z

arccos2 x −arccos3 x √ +C. dx. Resp.: 3 1 − x2

Z

−arccotg 2 x arcotgx dx. Resp.: +C. 1 + x2 2

41. 42. 43. 44. 45.

1 −1 cos2xdx . Resp.: +C. 3 (2 + 3sen2x) 12 (2 + 3sen2 x)2

3

Z

46. Z

47. Z

48. Z

49.

xdx 1 . Resp.: ln(x2 + 1)+C. 2 x +1 2 x+1 1 dx. Resp.: ln(x2 + 2x + 3)+C. x2 + 2x + 3 2 cosxdx 1 . Resp.: ln(2senx + 3)+C. 2senx + 3 2 dx . Resp.: ln|lnx|+C. xlnx

Z

2x(x2 + 1)4 dx. Resp.:

50. Z

tg 4 xdx. Resp.:

51. Z

52. Z

53. Z

54. Z

55. Z

56.

tg 3 x − tgx + x+C. 3

dx . Resp.: ln|artgx|+C. (1 + x2 )arctgx 1 dx . Resp.: ln|3tgx + 1|+C. cos2 x(3tgx + 1) 3 tg 4 x tg 3 x dx. Resp.: +C. cos2 x 4 dx √ . Resp.: ln|arcsenx|+C. 1 − x2 arcsenx 1 cos2x dx. Resp.: ln|2 + 3sen2x|+C. 2 + 3sen2x 6

Z

57.

cos(lnx)

dx . Resp.: sen(lnx)+C. x

Z

58.

cos(a + bx)dx. Resp.: Z

e2x dx. Resp.:

59. Z

60.

(x2 + 1)5 +C. 5

x

1 sen(a + bx)+C. b

1 2x e +C. 2 x

e 3 dx. Resp.: 3e 3 +C. Z

61.

esenx cosxdx. Resp.: esenx +C. 4

Z

62. Z

63.

2

ax +C. a xdx. Resp.: 2lna x2

x

x

e a dx. Resp.: ae a +C. Z

64.

(e2x )2 dx. Resp.:

1 4x e +C. 4

3x ex dx. Resp.:

3 x ex +C. ln3 + 1

e−3x dx. Resp.:

−1 −3x e +C. 3

Z

65. Z

66. Z

67. Z

ex

68.

Ã

!

(x + 2)dx. Resp.:

1 x2 +4x+3 e +C. 2

1 5x a5x (e5x + a5x )dx. Resp.: e + +C . 5 lna 2 +4x+3

µ ¶x Z

69. Z

70.

(ax − bx )2 dx. Resp.: ax bx

µ ¶x

b a − b a lna − lnb

− 2x+C.

ex dx 1 . Resp.: ln(3 + 4ex )+C. x 3 + 4e 4

Z

e2xdx 1 . Resp.: ln(2 + e2x )+C. 2x 2+e 2 Z √ dx 1 72. . Resp.: √ arctg( 2 x)+C. 2 1 + 2x 2 71.

Z

73. Z

74. Z

75. Z

76.

√ dx 1 √ . Resp.: √ arcsen( 3 x)+C. 3 1 − 3x2 dx 1 3x √ . Resp.: arcsen +C. 2 3 4 16 − 9x dx x √ . Resp.: arcsen +C. 3 9 − x2 dx 1 x . Resp.: arctg +C. 2 4+x 2 2 5

Z

77. Z

78.

dx 1 3x . Resp.: arctg +C. 2 9x + 4 6 2 ¯

¯

dx 1 ¯¯ 2 + 3x ¯¯ . Resp.: ln +C. 4 − 9x2 12 ¯ 2 − 3x ¯

Z

√ dx √ . Resp.: ln|x + x2 + 9|+C. 2 x +9

Z

¯ p dx 1 ¯¯ ¯ √ . Resp.: ln ¯bx + b2 x2 − a2 ¯+C. 2 2 2 b b x −a

Z

¯ p dx 1 ¯¯ ¯ √ . Resp.: ln ¯ax + b2 + a2 x2 ¯+C. 2 2 2 a b +a x

79. 80. 81. Z

¯

¯

¯ ax − e ¯ dx 1 ¯+C. . Resp.: ln ¯¯ 2 2 2 a x −e 2ae ax + e ¯ ¯ ¯ Z ¯ x3 + √5 ¯ x2 dx 1 ¯ ¯ 83. . Resp.: √ ln ¯ 3 √ ¯+C. ¯ 5 − x6 6 5 x − 5¯

82.

Z

84. Z

xdx 1 x2 . Resp.: arctg +C. x4 + a4 2a2 a2

Z

ex dx √ . Resp.: arcsenex +C. 1 − e2x

85. 86. Z

87. Z

88. Z

89. Z

90. Z

91.

xdx 1 √ . Resp.: arcsenx2 +C. 4 2 1−x

r

dx 1 √ . Resp.: √ arcsen 2 5 3 − 5x

µ

5 x+C. 3 ¶

cosxdx 1 senx . Resp.: arctg +C. 2 2 a + sen x a a dx √ . Resp.: arcsen(lnx)+C. x 1 − ln2 x p arccosx − x −1 √ (arcosx)2 + 1 − x2 +C. dx. Resp.: 2 1 − x2

x − arctgx 1 1 dx. Resp.: ln(1 + x2 ) − (arctgx)2 +C. 2 1+x 2 2

6

Z √

1 + lnx 2q dx. Resp.: (1 + lnx)3 +C. x 3 q √ Z q 1+ x √ 4 √ 93. dx. Resp.: (1 + x)3 +C. 3 x 92.

Z

√ x+C.

√ . Resp.: 4 1 + √ q x 1+ x

94. Z

95. Z

96. 97.

q

dx

ex dx . Resp.: arctgex +C. 1 + e2x √ cosxdx √ . Resp.: 3 3 senx+C. 3 sen2 x

Z p

1 + 3cos2 xsen2xdx. Resp.:

Z

98.

p Z

99. Z

100.

sen2x 1 + cos2 x

−2 q (1 + 3cos2 x)3 +C. 9

p

dx. Resp.: −2 1 + cos2 x+C.

1 1 cos3 x dx. Resp.: − +C. 4 sen x senx 3sen3 x q 3

tg 2 x

cos2 x

dx. Resp.:

3q 3 tg 5 x+C. 5 Ãr

Z

!

dx 1 2 . Resp.: √ arctg tgx +C. 101. 2sen2 x + 3cos2 x 3 6 Z Ax + B Integrales del tipo dx: ax2 + bx + c Z

102.

x2

dx 1 x+1 . Resp.: arctg +C. + 2x + 5 2 2

Z

dx 3x − 1 1 +C. . Resp.: √ arctg √ − 2x + 4 11 11 ¯ √ ¯ Z ¯ 2x + 3 − 5 ¯ dx 1 ¯ √ ¯¯+C. 104. . Resp.: √ ln ¯ ¯ x2 + 3x + 1 5 2x + 3 + 5 ¯ 103.

3x2

Z

105.

¯

¯

dx 1 ¯¯ x − 5 ¯¯ . Resp.: ln +C. x2 − 6x + 5 4 ¯x − 1¯ 7

Z

106.

3x2 Z

107. Z

108. Z

109.

dx 1 3x − 1 . Resp.: √ arctg √ +C. − 2x + 2 5 5

(6x − 7)dx . Resp.: ln|3x2 − 7x + 11|+C. 3x2 − 7x + 11 10x − 3 (3x − 2)dx 3 11 +C. . Resp.: ln(5x2 − 3x + 2) − √ artg √ 5x2 − 3x + 2 10 5 31 31 3x − 1 3 1 2x − 1 dx. Resp.: ln(x2 − x + 1) + √ artg √ +C. −x+1 2 3 3

x2 Z

110.

7x + 1 2 1 dx. Resp.: ln(3x + 1) + ln(2x + 1)+C. +x−1 3 2

6x2 Z

111.

2x − 1 1 8 10x − 1 dx. Resp.: ln(5x2 − x + 2) + √ arctg √ +C. −x+2 5 5 39 39

5x2 Z

112.

2 6x4 − 5x3 + 4x2 1 4x − 1 3 − x + 1 ln|2x2 −x+1|+ √ dx. Resp.: x arctg √ +C. 2 2x − x + 1 2 4 2 7 7

Z

113.

2 dx 2tgx + 1 . Resp.: √ acrtg √ +C. 2 + senxcosx + sen x 7 7 Z Ax + B p Integrales del tipo dx: ax2 + bx + C 2cos2 x

Z

114.

p Z

115.

p Z

116.

p Z

117.

8x + 3 1 arcsen √ +C. 2 41

¯

¯

¯ ¯ 1 p . Resp.: ln ¯¯x + + x2 + x + 1¯¯+C. 2 x2 + x + 1

dx

¯ ¯

dS S 2 + 2aS

. Resp.: ln ¯S + a +

p

¯ ¯

2aS + S 2 ¯+C.

dx

1 6x + 7 . Resp.: √ arcsen √ +C. 3 109 −3x2 − 7x + 5

q

q 1 . Resp.: √ ln|6x + 5 + 12x(3x + 5)|+C. 3 x(3x + 5)

dx

Z

119.

− 3x + 2

. Resp.:

p Z

118.

dx −4x2

p

dx −x2

2x + 3 +C. . Resp.: arsen √ 17 − 3x + 2 8

Z

120.

p

q 1 . Resp.: √ ln|10x − 1 + 20(5x2 − x − 1)|+C. 5 5x2 − x − 1

dx

Z

121.

p

ax2 + bx + c

Z

122.

p

p

4x2 + 4x + 3

p Z

125.

. Resp.:

(x − 3)dx −11x2 + 66x + 3

Z

124.

dx. Resp.: 2 ax2 + bx + c+C.

(x + 3)dx

Z

123.

p

2ax + b

(x + 3)dx −4x2 + 4x + 3

(3x + 5)dx

q

p 5 1p 2 4x + 4x + 3+ ln|2x+1+ 4x2 + 4x + 3|+C. 4 4

. Resp.:

. Resp.:

. Resp.:

x(2x − 1)

−1 p 3 + 66x − 11x2 +C. 11

7 2x − 1 −1 p 3 + 4x − 4x2 + arcsen +C. 4 4 2

q 3p 2 23 2x − x + √ ln(4x − 1 + 8(2x2 − x)+C. 2 4 2

II. Integraci´ on por partes: Z

xex dx. Resp.: ex (x − 1)+C.

126. Z

127.

µ

¶

1 1 xlnxdx. Resp.: x2 lnx − +C. 2 2

Z

128.

xsenxdx. Resp.: senx − xcosx+C. Z

lnxdx. Resp.: x(lnx − 1)+C.

129. Z

130.

arcsenxdx. Resp.: xarcsenx +

√ 1 − x2 +C.

Z

131.

ln(1 − x)dx. Resp.: −x − (1 − x)ln(1 − x)+C. Z

µ

132. Z

133.

xarctgxdx. Resp.:

1 2 [(x + 1)arctgx − x]+C. 2

Z

134.

¶

xn−1 1 x lnxdx. Resp.: lnx − +C. n+1 n+1 n

xarcsenxdx. Resp.:

p 1 [(2x2 − 1)arcsenx + x 1 − x2 ]+C. 4

9

Z

(ln(x2 + 1)dx. Resp.: xln(x + 1) − 2x + 2arctgx+C.

135. Z

√ √ √ arctg xdx. Resp.: (x + 1)arctg x − x+C.

Z

√ √ √ √ arcsen x √ dx. Resp.: 2 xarcsen x + 2 1 − x+C. x

136. 137.

r

Z

138.

arcsen

r

x dx. Resp.: xarcsen x+1

Z

xcos2 xdx. Resp.:

139. Z

140.

xarcsenx p

1 − x2

Z

141.

x2 1 1 + xsen2x + cos2x+C. 4 4 8

dx. Resp.: x −

p

xarctg x2 − 1dx. Resp.: Z

143.

¯

ln(x +

p 1 2 1p 2 x arctg x2 − 1 − x − 1+C. 2 2 ¯

p

¯ ¯

p

1 + x2 )dx. Resp.: xln ¯x +

Z

145.

1 − x2 arcsenx+C.

¯ 1 − 1 − x2 ¯ 1 arcsenx ¯ ¯ dx. Resp.: ln ¯ ¯ − arcsenx+C. ¯ ¯ x x2 x

Z

144.

p

1 1 arctgx xarctgx x + arctgx − dx. Resp.: +C. 2 2 2 (x + 1) 4(1 + x ) 4 2 1 + x2

Z

142.

√ √ x − x + arctg x+C. x+1

p

¯ ¯

1 + x2 ¯ − ¯

p

1 + x2 +C. ¯

arcsenx 1 ¯¯ 1 − x ¯¯ + ln ¯ +C. . Resp.: √ 1 + x¯ 1 − x2 2 (1 − x2 )3

arcsenx q

xdx

Utilizar sustituciones trigonm´ etricas en los ejemplos siguientes: √ Z √ 2 a − x2 a2 − x2 x 146. dx. Resp.:− − arcsen +C. 2 x x a Z

Z

148.

p

x2 4 − x2 dx. Resp.:2arcsen

147.

x 1 p 1 p − x 4 − x2 + x3 4 − x2 +C. 2 2 4

√ dx 1 + x2 √ . Resp.:− +C. x x2 1 + x2

10

149.

Z √ 2 x + a2

x

√ a dx. Resp.: x2 − a2 − a arccos +C. x

Z

150.

dx x 1 √ . Resp.: 2 √ +C. a a2 + x2 ( a2 + x2 )3 Integraci´ on de funciones racionales: ¯ (x − 2)3 ¯ 2x − 1 ¯ ¯ dx. Resp.:ln ¯ ¯+C. ¯ (x − 1)(x − 2) x−1 ¯

Z

xdx 1 (x + 3)6 . Resp.: ln +C. (x + 1)(x + 3)(x + 5) 8 (x + 5)5 (x + 1)

Z

¯ x2 (x − 2)5 ¯ x5 + x4 − 8 x3 x2 ¯ ¯ dx. Resp.: + + 4x + ln ¯+C. ¯ 3 3 ¯ x − 4x 3 2 (x + 2) ¯

Z

x4 dx x2 1 (x − 1) 16 . Resp.: − 2x + ln + ln(x + 2)+C. (x2 − 1)(x + 2) 2 6 (x + 1)3 3

Z

3 (x − 2)2 (x − 8)dx . Resp.: + ln +C. x3 − 4x2 + 4x x−2 x2

Z

(3x + 2)dx 4x + 3 x2 . Resp.: + ln +C. 3 2 x(x + 1) 2(x + 1) (x + 1)2

Z

x2 dx x+4 5x + 12 + ln . Resp.:− 2 (x + 2)2 (x + 4)2 x + 6x + 8 x+2

151. 152. 153. 154. 155. 156. 157. Z

158.

¯

¯

µ

¶2

+C.

dx x . Resp.:ln √ +C. 2 x(x2 + 1) x +1

Z

2x2 − 3x − 3 (x2 − 2x + 5) 2 1 x−1 dx. Resp.:ln + arctg +C. 2 (x − 1)(x − 2x + 5) x−1 2 2

Z

x3 − 6 x2 + 4 3 x 3 x √ dx. Resp.:ln + arctg − √ arctg √ +C. 4 2 x + 6x + 8 2 2 2 x2 + 2 2

Z

2x2 − 3x − 3 (x2 − 2x − 5) 2 1 x−1 dx. Resp.: ln + arctg + C. 2 (x − 1)(x − 2x − 5) (x − 1) 2 2

Z

dx 1 (x + 1)2 1 2x − 1 . Resp.: ln + √ arctg √ + C. 3 2 x +1 6 x −x+1 3 3

159. 160.

161. 162.

¯

¯

Z

3

3

11

Z

x2 + 4 1 x 3x − 7 dx. Resp.: ln + arctg + C. x3 + x2 + 4x + 4 (x + 1)2 2 2 √ √ Z 4 dx 1 x2 + x 2 + 1 √ 2x √ 164. . Resp.: √ ln 2 + 2arctg + C. 4 x +1 1 − x2 2 x −x 2+1

163.

Z

165.

(4x2 − 8x)dx 3x2 − 1 (x − 1)2 . Resp.: +ln +arctgx+C. (x − 1)2 (x2 + 1)2 (x − 1)(x2 + 1) x2 + 1

Z

x−1 dx 10 2x − 1 . Resp.: ln − √ arctg √ − 2 2 − x)(x − x − 1) x 3 3 3 2x − 1 − + C. 3(x2 − x − 1) Integracion de funciones irracionales: √ Z ³√ ´i x 4 h√ 4 3 − ln 4 x3 + 1 √ 167. dx Resp.: x +C 4 3 x3 + 1 Z √ 3 √ √ x − 3x 2 √ 2 12 4 9− √ 168. dx Resp.: x x13 + C 64x 27 13 ¯√ ¯ Z s ¯ 1 − x + √1 + x ¯ √1 − x2 1 − x dx ¯ ¯ √ 169. +C Resp.: ln ¯ √ ¯− ¯ 1 − x − 1 + x¯ 1 + x x2 x 166.

(x2

Z s

s √ √ 1 − x dx 1+x− 1−x 1−x √ 170. Resp.: ln √ +C + 2 arctg 1+x x 1+x 1+x+ 1−x √ √ · Z 7 √ √ ¸ √ 1√ 1 14 1√ 1 14 x+ x 7 7 14 3− 2+ √ √ 171. x − x + x x x5 + C. dx Resp.: 14 7 14 2 3 4 5 x8 + x15 Z s

172.

Ã

p 2 + 3x 11 7 dx. Resp.: 3x2 − 7x − 6+ √ ln x − + x−3 6 2 3 Z

Integrales del tipo

R(x,

r

x2

p

ax2 + bx + c)dx

¯√ ¯ √ ¯ x2 − x + 3 − 3 1 ¯¯ 1 ¯ p + √ ¯+C. 173. . Resp.: √ ln ¯ x 3 ¯ 2 3¯ x x2 − x + 3 ¯√ ¯ √ Z dx −1 ¯¯ −x2 + x + 2 + 2 1 ¯¯ p . Resp.: √ ln ¯ + √ ¯+C. 174. x 2 ¯ 2 2¯ x −x2 + x + 2 Z

dx

12

!

7 − x − 2 +C. 3

Z

175.

176.

x x2 + 4x − 4 Z p 2 x + 2x

x Z

177.

178.

dx

p

q Z p

180.

p

x2 + 2x|+C.

p 1 [(x − 1) 2x − x2 + arcsen(x − 1)]+C. 2

2x − x2 dx. Resp.: dx

p

x2 − 1

p x2 x p 2 1 + x − 1 − ln|x + x2 − 1|+C. 2 2 2

. Resp.:

¯ ¯ p ¯ x + 1 + x + x2 ¯ ¯ ¯ p p . Resp.: ln ¯ ¯+C. ¯ 2 2 (1 + x) 1 + x + x 2+x+ 1+x+x ¯

dx

Z

181.

x2 + 2x + ln|x + 1 +

x−1 . Resp.: p +C. 2x − x2 (2x − x2 )3

x− Z

p

dx. Resp.:

dx

Z

179.

1 x−2 arcsen √ +C. 2 x 2

. Resp.:

x+1 p

(2x +

x2 )

2x +

x2

−1

dx. Resp.: p

2x + x2

+C.

¯ ¯ p ¯ 2 + x − 2 1 + x + x2 ¯ ¯ ¯ p dx. Resp.: ln ¯ 182. ¯+C. 2 ¯ ¯ 2 x x 1+x+x Z p 2 p x + 4x 8 p + ln|x + 2 + x2 + 4x|+C. dx. Resp.: − 183. 2 Z

1−

p

1 + x + x2

x x + x2 + 4x Integraci´ on de los binomios diferenciales: Z

q

184. Z

185.

x

1 3

√ ´3 ³ 1+ 3x 1 2 3 √ dx. Resp.: 2 1 + x +C. 3 x2 ³

Z

186.

dx (1 + x2 )

Z

187.

3 2

´1 4

x 1 + x2

+C. 2

3

x2 (1 + x2 ) 2 4

2

´5 2 10x 3 − 16 ³ dx. Resp.: 2 + x 3 4 +C. 15

. Resp.: p

dx

Z r³

188.

2+x

2 3

1

1 + x2

. Resp.: −(1 + x )

´3

dx. Resp.:

−1 2

µ

¶

1 +C. 2x + x

√ 7 8 √ (7 x − 4)(1 + x) 4 +C. 77 13

Z

q

189. Z

190.

√ √ √ 3 2− 3x 2(4 + 3 3 x)(2 − 3 x]) 2 √ dx. Resp.: +C. 3 5 x q

5 5x3 − 3 (1 + x3 ) 3 +C. 40 Integraci´ on de las funciones trigonom´ etricas:

x5

3

(1 + x3 )2 dx. Resp.:

Z

sen3 xdx. Resp.:

191. Z

192. Z

193. Z

194.

2 cos5 x sen5 xdx. Resp.: −cosx + cos3 x − +C. 3 5 1 1 cos4 xsen3 xdx. Resp.: − cos5 x + cos7 x+C. 5 7 cos3 x 1 dx. Resp.: cscx − csc3 x+C. 4 sen x 3

Z

195.

cos2 xdx. Resp.:

x 1 + sen2x+C. 2 4

sen4 xdx. Resp.:

3 sen2x sen4x x− + +C. 8 4 32

cos6 xdx. Resp.:

sen3 2x 3 1 (5x + 4sen2x − + sen4x)+C. 16 3 4

Z

196. Z

197. Z

µ

4

Z

tg 3 xdx. Resp.:

199. Z

200.

tg 2 x + ln|cosx|+C. 2

1 1 cotg 5 xdx. Resp.: − cotg 4 x + cotg 2 x + ln|senx|+C. 4 2

Z

cotg 3 xdx. Resp.: −

201. Z

sc3 xdx. Resp.:

202.

cotg 2 x − ln|senx|+C. 2

tg 7 x 3tg 5 x + + tg 3 x + tgx+C. 7 5

Z

203.

¶

sen8x 1 3x − sen4x + +C. sen xcos xdx. Resp.: 128 8 4

198.

1 3 cos x − cosx+C. 3

tg 4 xsc4 xdx. Resp.:

tg 7 x tg 5 x + +C. 7 5 14

Z

204. Z

205. Z

206. Z

207.

dx 1 . Resp.: tgx + tg 3 x+C. 4 cos x 3 cosx dx. Resp.: −cscx+C. sen2 x 1 5 sen3 x 3 √ dx. Resp.: cos 3 x + 3cos− 3 x+C. 3 4 5 cos x

senxsen3xdx. Resp.: − Z

208.

cos4xcos7xdx. Resp.: Z

209.

sen4x sen2x + +C. 8 4

sen11x sen3x + +C. 22 6

cos2xsen4xdx. Resp.: − Z

cos6x cos2x − +C. 12 4

1 3 cosx 1 sen xcos xdx. Resp.: − + cos x+C. 4 4 2 2 ¯ x ¯ ¯ ¯ Z dx 1 ¯¯ tg 2 − 2 ¯¯ 211. . Resp.: ln ¯ ¯+C. 4 − 5senx 3 ¯¯ 2tg x − 1 ¯¯ 2 210.

Z

212. Z

213. Z

214. Z

215.

¯

¯

¯ dx 1 x¯ . Resp.: arctg ¯¯2tg ¯¯+C. 5 − 3cosx 2 2

2 senxdx . Resp.: x + x+C. 1 + senx 1 + tg 2 cosxdx x . Resp.: x − tg +C. 1 + cosx 2 sen2x dx. Resp.: arctg(2sen2 x − 1)+C. + sen4 x

cos4 x Z

216. Z

217.

dx x 1 x 1 . Resp.: tg + tg 3 +C. 2 (1 + cosx) 2 2 6 2 µ

¶ µ √ sen2 x tgx √ − x+C. dx. Resp.: 2arctg 1 + cos2 x 2 II. Calcular las siguientes integrales: Z

218.

¶

dx 1 1 tgx . Resp.: − [cotgx + √ arctg √ ]+C. sen2 x + tg 2 x 2 2 2

15

Z

219.

q

dx

x 1 − (lnx)2 Z

220.

x2 )ln(x

+

1+

1 + x2 )+C.

x2 )

1 (4 + 2x + x2 )e−2x dx. Resp.: − (2x2 + 6x + 11)e−2x +C. 4

Z

222.

q

. Resp.: 2 ln(x +

q

(1 + Z

r

dx

r

221.

. Resp.: arcsen(lnx)+C.

xsec2 axdx. Resp.:

1 1 xtgax + 2 ln(cosax)+C. a a Z

223. Calcular una f´ormula de reducci´on para la integral Z

Como aplicaci´on, calcular

x4

p

a2 − x2

xn

p

a2 − x2

dx.

+C. Z

224. Calcular una f´ormula de reducci´on para la integral In = Como aplicaci´on, calcular I3 .

(a2

dx . + x2 )n

Z

225. Calcular una f´ormula de reducci´on para la integral In =

tag n xdx.

Como aplicaci´on, calcular I5 . Z

x5 − x4 − 3x + 5 x2 1 dx. I = +x− + ln(x2 + 4 3 2 x − 2x + 2x − 2x + 1 2 x−1 1) − 2ln(x − 1) + arctagx+ C.

226. Calcular

227. Calcular

Resp.: I =

Z

p

x3 + x2 + x + 1 p dx √ (x − 3) x − 2 x3 − x2 − 5x − 3

11 x2 − 5x + 6 + Argch(2x − 5) − 20 2

228. Calcular

Z

I= Resp.: I = −

cos2xsen6xdx

1 (cos8x + 2cos4x)+C. 16

16

s

x−2 +C. x−3

229. Calcular

Z

I= Resp.: I =

sen4 xcos4 xdx

1 3 1 1 ( x − sen4x + sen8x)+C. 64 2 2 16

17