I.S.E.T. Nº 2

Investigación Operativa I Análisis de Sensibilidad

Cualquier modelo de una situación es una simplificación de la situación real. Por lo tanto, existe cierta incertidumbre en la determinación de los valores de todos los parámetros involucrados. Debido a ello, es importante estudiar la variabilidad de la solución del problema planteado de acuerdo a eventuales modificaciones de los valores de los parámetros, o bien, debido a la incorporación de nuevos elementos a la situación. El Análisis de Sensibilidad, llamado también Análisis de Post-optimización, es una de las partes más importantes en la programación lineal, es utilizada para tomar en consideración los cambios que pueden ocurrir en los elementos componentes del modelo que consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima del método simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos términos independientes de las restricciones), que se refieren a permutas en coeficientes, variables, restricciones y función objetivo. El Análisis de Sensibilidad se encarga precisamente de estudiar cómo afectaría a la solución óptima obtenida y a la función objetivo el cambio (dentro de un rango predeterminado) de uno de los parámetros, manteniendo fijos los restantes (no se usa en modelos enteros ni cuadráticos). Objetivo Principal del Análisis de Sensibilidad Establecer un intervalo de números reales en el cual el dato que se analiza puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima siempre que el dato pertenezca a dicho intervalo Investigar el cambio en la solución óptima del problema, cuando se producen cambios en los parámetros

del

modelo.

El

objetivo

principal

del

análisis

de

sensibilidad

es

identificar el intervalo permisible de variación en los cuales las variables o parámetros pueden fluctuar sin que cambie la solución óptima. Sin embargo, así mismo se identifica aquellos parámetros sensibles, es decir, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima. Los investigadores de operaciones tienden a prestar bastante atención a aquellos parámetros con holguras reducidas en cuanto a los cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su comportamiento para realizar los ajustes adecuados según corresponda y evitar que estas fluctuaciones puedan desembocar en una solución no factible. Características del Análisis de Sensibilidad • La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el problema en cuestión.

En

particular,

el

proceso

comienza

por

la

observación

cuidadosa

y

la

formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes. • La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional. De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa.

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Investigación Operativa I

• La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución (llamada solución óptima), para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. • En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque de equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas, estadísticas y teoría

de

computación, habilidades

probabilidades, ingeniería, para

economía,

etc.

permitir

la

El

administración

equipo

también

consideración

de

necesita

adecuada

de

empresas tener todas

la las

ciencias

de

la

experiencia

y

las

ramificaciones

del

problema. • La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas y modelos muy útiles a la Ingeniería de Sistemas. Entre ellos tenemos: la Programación No Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera, Programación Dinámica, entre otras. • La

Investigación

de Operaciones

tiende a representar el problema cuantitativamente

para poder analizarlo y evaluar un criterio común.

Resumen del procedimiento para análisis de sensibilidad 1. Revisión del modelo: se hacen los cambios deseados en el modelo que se va a investigar. 2. Revisión de la tabla simplex final: se emplea la idea fundamental para determinar los cambios que resultan en la tabla símplex final. 3. Conversión a la forma apropiada: se convierte esta tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual aplicando (según sea necesario) eliminación de Gauss. 4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución verificando que todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en la columna del lado derecho. 5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es óptima (si es factible), comprobando que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón 0 sigan siendo no negativos. 6. Reoptimización: si esta solución no pasa cualquiera de las pruebas, se puede obtener (si se desea) la nueva solución óptima partiendo de la tabla actual como tabla símplex inicial (haciendo las conversiones necesarias) para el método símplex primal o el símplex dual.

Casos del Ánalisis de Sensibilidad Primer caso: Cambios en las bi (columna lado derecho) Supongamos que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de uno o más de los parámetros bi (i = 1, 2, ..., m). En este caso, los únicos cambios que Resultan en la tabla simplex final se encuentran en la columna del lado derecho, por locual,

se

pueden

omitir

del

procedimiento

general

tanto

la

conversión

a

la

forma

apropiada de eliminación de Gauss como la prueba optimalidad. Segundo caso: se pueden presentar dos casos a) Cambios en los coeficientes de una variable no básica

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Investigación Operativa I

Considere una variable específica xj (j fija) que sea no básica en la solución óptima dada en a tabla simplex final. El caso 2a es aquel en el que los únicos cambios al modelo actual ocurren en uno o más de los coeficientes de esta variable, cj, a1j, a2j...amj. Entonces, si cj y aij, denotan los nuevos valores de estos parámetros con Aj, (columna j de la matriz

A)

como

el

vector

que

contiene

a

aij,

se

tiene

para

el

modelo

revisado,

b) Introducción de una nueva variable Ya obtenida la solución óptima se puede descubrir que la formulación de programación lineal no tomó en cuenta todas las actividades que pudieran ser atractivas. Considerar una

nueva

actividad

requiere

introducir

una

nueva

variable

con

los

coeficientes

apropiados, a la función objetivo y a las restricciones del modelo actual, éste es el caso 2b. Tercer caso: Cambios en los coeficientes de una variable básica Ahora suponga que la variable xj (con j fija) que se está estudiando es una variable básica en la solución óptima que se muestra en la tabla símplex final. El caso 3 supone que los únicos cambios al modelo actual se hacen en los coeficientes de esta variable. Cuarto caso: Introducción de una nueva restricción de desigualdad Este es el último caso en el cual debe introducirse al modelo una nueva restricción, después de que ya se ha resuelto. Este caso puede ocurrir porque se pasó por alto la restricción

en

un

principio

o

porque

surgieron

nuevas

consideraciones

después

de

formular el modelo. Otra posibilidad es que a propósito se haya eliminado la restricción para disminuir el esfuerzo computacional por parecer menos restrictiva que otras ya planteadas en el modelo, pero ahora es necesario verificar esta impresión con la solución óptima que se obtuvo.

Importancia del Análisis de Sensibilidad Es una herramienta que permite calcular los cambios y como esto puede afectar a la solución óptima y por tanto a los datos obtenidos de esta, en conclusión, permite estudiar la solución óptima una vez que se modifica en ella algún valor.

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