Matemáticas
Álgebra y aplicaciones
4.
°
SECUNDARIA
ciencia tecnologÍa producción
Organización del libro El módulo de Álgebra y aplicaciones del libro Matemática 4 está organizado en tres unidades: Sucesiones (Unidad 1), Matemática financiera (Unidad 2), Análisis combinatorio (Unidad 3).
2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Páginas iniciales
Recuerda
ÁLGEBRA y ApLicAcionEs
Matemática financiera Razones y proporciones Tasa porcentual, incrementos y descuentos Interés simple Interés compuesto Valor presente de una deuda Anualidades de capitalización Anualidades de amortización
Razones y proporciones Una razón es una forma de comparar dos cantidades mediante una división. La razón entre las cantidades a y b, en ese orden, a se expresa de la siguiente forma: . b
1. En un colegio, la razón entre el número de chicas y 4 el número de chicos (en ese orden) es de 4 a 3, o . 3 a) Si en el colegio los chicos fueran 360, ¿cuántas serían las chicas?
Una proporción es una igualdad entre dos razones. Si las cantidades a y b están en la misma razón que las cantidades c y d, entonces se dice que las dos parejas de cantidades forman una a c proporción; esta se expresa de la siguiente forma: = . b d
b) Si en el colegio las chicas fueran 600, ¿cuántos serían los chicos?
Por ejemplo: Si José gana Bs 200 por 4 horas de trabajo, la razón entre sus ingresos y sus horas de trabajo, en ese orden, es de 200 a 4, es 200 200 50 decir, , o de 50 a 1 porque . = 4 4 1
2. Halla el término desconocido en las siguientes proporciones. a) 3 es a 5 como x es a 40. b) 12 es a 3 como 96 es a x.
Si Nicolás gana Bs 800 por 16 horas de trabajo, la razón entre sus ingresos y sus horas de trabajo, en ese orden, es de 800 a 16, es 800 800 50 decir, , o de 50 a 1 porque . = 16 16 1
c) 8 es a x como 2 es a 40. d) x es a 15 como 9 es a 33,75.
3. Las edades de un hijo y su padre están en razón de 2 a 7, en ese orden. Si las dos edades suman 54, ¿cuál es la edad de cada uno?
Los ingresos de José y los de Nicolás con respecto a sus respectivas horas de trabajo forman una proporción porque 200 es a 4 200 800 como 800 es a 16, es decir, . = 4 16
porcentaje
La página de la derecha contiene la sección Recuerda; esta contiene información y actividades que te ayudarán a recordar conceptos y procedimientos matemáticos que ya has estudiado en años o momentos anteriores y que son un requisito para entender la unidad.
4. Expresa los siguientes porcentajes mediante razones o fracciones.
Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una forma de expresar una cantidad con respecto a una totalidad que se considera formada por 100 objetos. Por lo tanto, un porcentaje es equivalente a una razón cuyo consecuente es 100, o a una fracción cuyo denominador es 100 y al número decimal respectivo.
a) 24 %
c) 13,5 %
e) 0,8 %
g) 115 %
b) 72 %
d) 42,25 %
f) 0,02 %
h) 120,4 %
5. Expresa las siguientes fracciones o los siguientes números decimales como porcentajes.
Por ejemplo, si en un grupo de 50 personas, 4 están resfriadas, podemos decir que 8 % están resfriadas porque: 4 es a 50 como 8 es a 100. 8 Entonces: 4 de 50 = 8 % = = 0, 08. 100 Para calcular el n % de una cantidad M, multiplicamos esta cantidad por el tanto por ciento expresado como razón o fracción. Por ejemplo, para calcular el 12,5 % de 200: 200 $
La página de la izquierda contiene el índice de los temas desarrollados y muestra fotografías que ejemplifican las relaciones de esos temas con diversos aspectos de la sociedad, la cultura o la naturaleza.
c) Si el colegio tuviera 700 estudiantes entre chicas y chicos, ¿cuántas chicas y cuántos chicos habría en el colegio?
1 4
a)
c)
b) 0, 62
12 15
d) 0,03
e)
5 9
! f) 0, 25
g)
24 10
h) 1,2
6. Una persona se presta la cantidad de dinero indicada comprometiéndose a pagar como intereses el tanto por ciento indicado de aquella cantidad. Calcula los intereses que debe pagar la persona en cada caso.
12, 5 = 200 $ 0, 125 = 25 100
a) Bs 5 000 al 12 %
d) Bs 450 al 9 %
b) Bs 850 al 22 %
e) Bs 700 al 18 %
c) Bs 75 500 al 3 %
f) Bs 5 al 110 %
33
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7. Suma de términos en una sucesión geométrica infinita decreciente Ejemplos El filósofo griego Zenón de Elea (490-430 a.C.) planteó la siguiente paradoja: “Para moverse del punto de partida a la meta, un corredor debe primero recorrer la mitad del trayecto; después, debe recorrer la mitad de la mitad, y así indefinidamente; por tanto, debe recorrer un número infinito de tramos. En cada tramo invertirá un cierto tiempo; pero como los tramos son infinitos, el tiempo invertido no puede ser limitado, debe también ser infinito. Por consiguiente, el corredor no puede pasar de ningún punto a otro en un tiempo limitado; el movimiento es solo una apariencia, no algo real”.
22. Calcula las siguientes sumas con infinitos términos. a)
1 8
1 4
1 16
S4 =
1 -1 2
= 0, 9375 S10 =
1 -1 2
= 0, 999023f S15 =
28
1 1 15 >d n - 1H 2 2 1 -1 2
24. Una pelota cae desde una altura de 11 metros y va rebotando hasta que se detiene. Si en cada rebote sube hasta la mitad de la altura desde la que empezó su caída anterior, ¿qué distancia vertical recorre en total hasta detenerse? 1 Las distancias que recorre la pelota forman dos sucesiones geométricas con r = : 2
= 0, 999969f
De bajada _ 11,
De bajada _ S 3 =
1 10 n = 0, 0009765f 2
d
1 15 n = 0, 0000305f 2
La suma de la serie de Zenón de Elea:
Ahora, la suma S n para un n infinitamente grande (n = 3) se convierte en: a1 _r n - 1 i r- 1
a1 _r 3 - 1 i
& S3 =
r- 1
=
a 1 _0 - 1 i r- 1
- a1 r- 1
=
S3 =
1 2
1
1 - 12
= 2 =1
4. Interés compuesto
Capital
Bs 1 200 1 200 $ 0, 08 = = 96 Bs
1 296 $ 0, 08 = = 103, 68 Bs
1 399, 68 $ 0, 08 = = 111, 97 Bs
Monto = C + I
1 200 + 96 = = 1 296 Bs
1 296 + 103, 68 = = 1 399, 68 Bs
1 399, 68 + 111, 97 = = 1511, 65 Bs
Monto
C+ C$i = = C _1 + i i
Año 2
3
2 k b) d n k= 1 5
9 k c) 2d n 10 k= 0
/
/
21
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La tasa por periodo (es decir, por semestre) es i =
7, 2 % = 3, 6 % . 2 8
n
48
n
C _1 + i i + C _1 + i i $ i = 2
Sabemos que S = 13 002 Bs y que C = 10 000 Bs . Debemos expresar el plazo de 2 años en número de periodos mensuales porque la inversión se capitaliza mensualmente: n = 2 $ 12 = 24 .
= C _1 + i i _1 + i i = C _1 + i i 2
3
De la fórmula S = C _1 + i i despejamos la tasa de interés y sustituimos las variables: n
i=
En el interés compuesto, los intereses obtenidos en un periodo se suman al capital inicial de ese periodo; el monto obtenido se convierte en el capital del siguiente periodo y se usa para calcular los nuevos intereses. El monto, S, que genera un capital, C , al cabo de n periodos de un préstamo (o inversión) con una tasa de interés i por periodo se calcula con la fórmula: S = C _1 + i i
n
n
S -1&i= C
24
13 002 - 1 = 0, 01099 - 1, 1 % 10 000
Esta tasa de interés es mensual; la convertimos a una tasa anual: 1, 1 % $ 12 = 13, 2 % .
Más Problemas resueltos: 30
No olvides
La tasa i y el tiempo n deben ser compatibles.
Actividades 25. Determina el monto final que se obtiene si se depositan Bs 7000 durante 5 años en una caja de ahorros que paga el 14 % anual con el periodo de capitalización indicado.
En la práctica, se proporciona una tasa anual y se especifica el periodo de capitalización. Esta tasa anual se debe transformar a la tasa por periodo, i , que sea pertinente. El periodo de capitalización indica cada cuánto tiempo los intereses se deben añadir al capital; por ejemplo, si se dice que la tasa de interés es capitalizable mensualmente, entonces cada fin de mes el interés obtenido se sumará al capital. Ejemplos
a) Anual
c) Trimestral
b) Semestral
d) Mensual
e) Diario
Considera: 1 año comercial = 360 días
14. Calcula el monto final que resulta de depositar Bs 21 000 durante 4 años en una caja de ahorros que paga el 7,2 % anual capitalizable: a) anualmente; b) semestralmente; c) mensualmente.
26. Si un capital de Bs 100 000 dado en préstamo con un interés compuesto capitalizable semestralmente se convierte en 8 años en Bs 159 384, ¿cuál es la tasa de interés que se ha aplicado?
Sabemos que en todos los casos C = 21 000 Bs , pero la tasa anual del 7,2 % se debe convertir a una tasa que sea pertinente para el periodo de capitalización.
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Mientras menor es el periodo de capitalización, mayor es el monto obtenido.
15. Determina la tasa anual capitalizable mensualmente a la que se deben invertir Bs 10 000 para obtener Bs 13 002 en 2 años.
Podemos ver que los montos parciales (y el monto final) de un proceso de interés compuesto forman una sucesión geométrica de razón _1 + i i.
40
No olvides
El monto final es: S = C _1 + i i & S = 21 000 _1 + 0, 006 i = 27 984, 81Bs .
2
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Estas páginas desarrollan los nuevos contenidos y procedimientos matemáticos con explicaciones claras recuadros que destacan las ideas fundamentales, ejemplos de problemas resueltos de manera razonada y varias actividades que te servirán para poner a prueba tu comprensión y para afianzarla. En los márgenes, encontrarás varios tipos de notas que te proporcionarán información adicional o te ayudarán a entender la información clave de estas páginas. El recurso gráfico Más Problemas resueltos te indica en qué ejemplos de la sección Problemas resueltos puedes encontrar nuevos e interesantes aspectos del razonamiento matemático asociado con los contenidos estudiados.
4
El monto final es: S = C _1 + i i & S = 21000 _1 + 0, 036 i = 27 867, 46 Bs .
2
2
36. En el ejemplo 24, calcula la distancia vertical que recorre la pelota hasta detenerse si en cada rebote sube hasta la fracción indicada de la altura desde la que empezó la caída anterior. 9 2 4 a) b) c) 3 5 10
c) El depósito se capitaliza mensualmente; entonces, los periodos son meses y el número de periodos es n = 4 $ 12 = 48 (meses).
Año 3
= C _1 + i i _1 + i i = C _1 + i i
3
n
C _1 + i i $ i
2
16 32 + +f 9 3
7, 2 % La tasa por periodo (es decir, por mes) es i = = 0, 6 % . 12
C _1 + i i
C _1 + i i + C _1 + i i $ i =
f) 12 + 8 +
35. Expresa los siguientes decimales periódicos como una fracción. ! ! a) 0, 2 c) 0, 9 e) 0, 172172f. ! b) 0, 25 d) 0, 002002f f) 5, 999f
La tasa por periodo (es decir, por año) es i = 7, 2 % .
Bs 1 399,68
C _1 + i i
C _1 + i i $ i
Más Problemas resueltos: 35, 36
El monto final es: S = C _1 + i i & S = 21 000 _1 + 0, 072 i = 27 733, 10 Bs .
Si analizamos esta misma tabla de un modo más general, obtenemos esta otra:
C
11 8 11 16
= 11 m
b) El depósito se capitaliza semestralmente; entonces, los periodos son semestres y el número de periodos es n = 4 $ 2 = 8 (semestres).
Año 3
Intereses del periodo I = C$i
C$i
11 4
a) El depósito se capitaliza anualmente; entonces, los periodos son años y el plazo o número de periodos es n = 4 (años).
Para realizar unas compras, Ana recibió de Sara un préstamo de Bs 1 200 a una tasa de interés del 8 % anual y un plazo de devolución del capital de 3 años, comprometiéndose a capitalizar los intereses al cabo de cada año, es decir, comprometiéndose a aplicar la tasa de interés al monto que, en cada periodo, resulta de sumar el capital y los intereses. La tabla muestra cómo calculamos el monto final (en rojo) que debe pagar Ana a Sara.
Año 1
1 - 12
e) 1 + 0, 9 + 0, 81 + 0, 729 + f
1 1 1 + + +f 4 16 64
/
1- r
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Capital
De subida _ S 3 =
d) 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + f
1 1 1 +f + + 3 9 27
1 k a) 3d n 4 k= 0
20
Intereses
b) 1 +
3
Bs 1 296
= 22 m
a) 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + f
c)
a1
Año 2
1 - 12
11 2
34. Desarrolla los primeros términos de las sumatorias y calcula la suma.
Si a1 , a 2 , a3 , f, a n , f es una SG infinita y decreciente con a1 2 0 y 0 1 r 1 1 , la suma de sus infinitos términos puede calcularse con la fórmula:
Año 1
11
33. Calcula las siguientes sumas.
1 2
Este resultado proporciona la solución a la paradoja de Zenón: el movimiento es real.
S3 =
11 2
11 11 11 11 , , , ,f 2 4 8 16
Actividades Detalles
Es lógico pensar, entonces, que r n = 0 para un n infinitamente grande; este resultado lo podemos anotar así: r3 = 0 .
Sn =
De subida _
La pelota recorre 33 metros en total hasta detenerse.
n ! N ), se aproximan a 0 conforme el valor de n aumenta: d
11 11 11 , , ,f 2 4 8
11m
Calculamos las sumas infinitas:
La razón de nuestra sucesión es un número comprendido entre 0 y 1 ( 0 1 r 1 1 ), es de1 1 n cir, tiene la forma (con k 2 0 ). Las potencias naturales de estas fracciones, c m (con k k 1 4 n = 0, 0625 2
28
28 1 28 100 En este caso: a1 = . Entonces: S 3 = . y r= = 100 = 1 99 100 100 99 1 - 100 100
Vemos que las sumas se aproximan cada vez más a 1. ¿Es posible que la suma de los infinitos términos sea justamente igual a 1? Sí y veamos por qué.
d
Desarrollo de contenidos
10
! 23. Expresa como fracción el número decimal periódico 0, 28 = 0, 282828f . ! 28 0, 28 = 0, 28 + 0, 0028 + 0, 000028 + f = 28 + 28 + +f 100 10 000 1 000 000
¿Es verdad que esta suma es infinita como pensaba Zenón? Calculemos aproximaciones de esta suma para distintas cantidades de términos: 1 1 10 >d n - 1H 2 2
1
10
f
Supongamos que el corredor tendría que invertir 1 unidad de tiempo en pasar de la partida a la meta y que se movería con velocidad uniforme. En este caso, los tiempos invertidos en los infinitos tramos formarían una sucesión geométrica infinita decreciente: 1 1 1 1 1 + f La razón es r = + + + 2 4 8 16 2
1 1 4 >d n - 1H 2 2
7 49 343 + +f + 10 100 1 000 1
Meta 1 2
b) 1 +
1 1 1 3 y r = . Entonces: S 3 = = 3 = . 2 3 3 2 1 - 13 3 7 1 1 10 b) En este caso: a1 = 1 y r = . Entonces: S 3 = . = = 3 10 3 1- 7
Veamos un esquema de la situación: Partida
1 1 1 1 + +f + + 3 9 27 81
a) En este caso: a1 =
27. A un capital de Bs 7 500 se le aplicó una tasa de interés compuesto del 3,1 % mensual durante 8 meses. ¿Cuál es el monto obtenido? 28. Calcula los montos parciales y el monto final al invertir Bs 2 300 por 4 años al 7 % capitalizable anualmente. Calcula los mismos montos para el mismo capital inicial, el mismo tiempo y la misma tasa, pero con un régimen de interés simple. Representa ambos procesos en una línea de tiempo.
En algunas páginas encontrarás un código QR y un link que conduce a un video o a un simulador con el que deseamos abrirte las puertas a otros aspectos de la matemática o a nuevos recursos para entenderla. Aprécialo o utilízalo según tus intereses, no es un requisito para realizar las actividades.
29. Determina la tasa anual capitalizable trimestralmente a la que se deben invertir Bs 24 000 para obtener un monto de Bs 30 800 en 3 años.
41
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Taller dede matemática Taller matemática
Modelos matemáticos Modelos matemáticos
HACER — DECIDIR HACER — DECIDIR
Permutaciones, variaciones y combinaciones Cálculo de raíces
El evento olímpico femeninoyde metros La sucesión de Fibonacci la 400 naturaleza
El objetivo de este taller es aprender a utilizar una calculadora parafórmula determinar El objetivo de este taller es programar una hoja de Excel quecientífica aplique una recursiva el número de permutaciones, variaciones y combinaciones. para calcular la raíz cuadrada de un número.
La llamada sucesión de Fibonacci: Inicio primer mes Vamos a analizar el evento olímpico femenino de 400 metros, En la carrera final, ¿de cuántas formas puede quedar el podio 1, 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21, 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , f en el atletismo, tomando como referencia el desarrollo de considerando los países y no las atletas individuales que parnotablemente interesante como objeto matemático múltiples Fin primer mes esta es competencia en los Juegos Olímpicos de Londres 2012. Elde estudio ticipan?y tiene En este caso el razonamiento es más complejo. aplicaciones el estudioendetres la naturaleza. evento indicado seendesarrolla etapas. • Podios de 3 banderas distintas. Debemos calcular las segundo mes fórmula recursiva de estatodas sucesión es: inscritas para En laLa etapa de series participan las atletas variaciones simples de 5Finbanderas tomadas de 3 en 3: a n =y en a n -cada , a 2 = 1 y nV5$, 3 3= 5 $ 4 $ 3 = 60 . con a1 =7 1comla prueba. Se corren 7 series serie 1+ a n - 2 participan Fin tercer mes petidoras. Para lageneral siguiente directamente los 3 La fórmula noetapa, es tanclasifican fácil de obtener: • Podios de 2 banderas iguales y 1 distinta. Son posibles 8 mejores tiempos de cada serie; además, clasifican nlos 3 mejon 1 - 5casos: 1 directamente. 1+ 5 1 Fin cuarto mes res tiempos de los que no clasifican an = f pf p 2 ^2 EU , 1 JAh ^2 EU , 1 BOh ^2 EU , 1 GBh ^2 EU , 1 RUh 5 las 24 2atletas clasificadas 5 En la etapa de semifinales participan ^2 JA , 1 EUh ^2 JA , 1 BOhFin quinto ^2 JAmes, 1 GBh ^2 JA , 1 RUh en la etapa de series. Se corren 3 semifinales y en cada una participan 8 competidoras. Para la siguiente etapa, clasifican Modelos en la naturaleza En cada uno de estos casos el orden de las banderas es directamente los 2 mejores tiempos de cada serie y, además, importante; entonces, • La sucesión de Fibonacci es la solución de un problema de cría de conejos analizadoen cada caso el número de agrulos 2 mejores tiempos de los que no clasifican directamente. paciones ordenadas de banderas es la5 permutación con por el matemático medieval: “Un criador de conejos tiene inicialmente una pareja que repetición de 3 elementos con 1 que se repite 2 veces: 8 En la etapa finaldeparticipan lasvida 8 atletas clasificadas en launa etapa al cabo un mes de es capaz de procrear pareja cada mes. Todas las parejas 1 1 de semifinales. realiza naturaleza. una sola carrera, la final de lade prueba. tienen laSemisma ¿Cuántas parejas conejos tendrá el criador en un año 3! P 32 = =3 3 2 En el evento de Londres paramorirá la finalyclasificaron 3 atletas suponiendo que 2012, ninguna que cada pareja vive aislada de las otras?”. 2!
La técnica recursiva quesin vamos a estudiar se atribuye al matemático de la antigua cultura 1. Calcula permutaciones repetición. griega Herón de Alejandría (10 - 75); se conoce también como algoritmo babilónico. Para Recordemos que la cantidad de permutaciones de n elementos se calcula con la fórcalcular la raíz cuadrada de x se puede utilizar la siguiente fórmula recursiva: mula Pn = n ! . Así, por ejemplo: 1 5 ! = x120 a n + 1 = P5 = d an + n con a1 $ 1 2 a n de 5 elementos se puede calcular de En la calculadora, el número de permutaciones Estamaneras: fórmula genera una sucesión cuyos términos se aproximan cada vez más a dos
x:
se aproxima cada vez más a
• Utilizando la tecla = 120 a1 x, a! : 2 5, aSHIFT x 3 , a4 , f • Utilizando la tecla nPr. En este caso, si n = r , entonces nP r significa permutación 1. Introduce los números 1 al 15 en el rango B5:B19. de n elementos. Entonces:
2. Escribe en C2 el valor de x, es decir, el número del que hallarás la raíz cuadrada. 5 SHIFT X 5 = 120 3. Introduce en C5sinelrepetición. número 1; este es el primer término de la sucesión cuya fórmula 2. Calcula variaciones recursiva escribiremos en C6. También podemos escribir otros números positivos y Recordemos mayores que a 1. la cantidad de variaciones de n elementos tomados de k en k se n! calcula con la fórmula Vn , k = . Así, por ejemplo: ! Herón: =0,5*(C5+$C$2/C5). _n - k i de 4. Escribe en C6 la fórmula recursiva
a) a1 = 1 c) a1 = 20 e) a1 = 500 5! 5! =f) a1 = = b) a1 = 6 d)C5 ,a3 1== 100 70010 2! $ 3! _5 - 3 i ! $ 3 ! ¿Cómo crees que puede determinarse el valor óptimo de a1 de tal forma que la sucese aproxime mayor a que x ? es lo mismo que e n o y significa En lasión calculadora secon utiliza la rapidez tecla nCr, r 10. Utilizando el programa calcula las siguientes raíces: combinación de n elementos tomados de r en r . La cantidad de combinaciones de 5 elementos a) c) d) 2tomados deb)3 en 340se calcula así: 8 128 5 329
de una combinación sin repetición de 8 elementos tomados Análisis de los modelos de 2 en 2: • Sigue construyendo el proceso de continuidad y reproducción de las parejas de cone8! de clasificadas C 8 , 2jos = y responde = 28 a laconjuntos preguntaposibles del problema de Fibonacci. 6! $ 2! • Comprueba que la razón entre el largo y el ancho de los rectángulos construidos con Final. ¿De cuántas formas pueden otorgarse las medallas de la sucesión de Fibonacci (en el dibujo de la espiral) tiende hacia el llamado número de oro, plata y bronce? En este caso sí importa el orden de lleoro, un número que también aparece en la fórmula general de la sucesión y que tiene gada; entonces, se trata de una variación sin repetición de 8 elementos de 3 en el 3: arte: { = 1 + 5 . grantomados importancia 2 V8 , 3 = 8 $ 7 $ 6 = 336 conjuntos posibles de ganadoras de Steve Fair. Creative Commons Attribution 2.0 Generic medallas
11. Piensa: ¿qué puedes5 hacer 3 = las siguientes raíces? 10 SHIFTpara'calcular a)
4
1 000
b)
8
65 536
c)
8
2
d)
16
En estas secciones el estudio de los temas de la unidad se sintetiza en las cuatro dimensiones del aprendizaje: Saber, Hacer, Ser y Decidir.
de Estados Unidos, 2 de Jamaica, 1 de Botswana, 1 de Gran El diagrama del margen muestra el proceso de reproducción hasta el quinto mes.hay Cada Entonces, en total 8 $ 3 = 24 podios con 2 banderas Bretaña y 1 de Rusia. Los 3 primeros puestos reciben las medapunto es una pareja; las parejas sexualmente maduras se indican iguales.en rojo; una línea llas de oro, plata y bronce. continua representa una relación de identidad; una línea discontinua representa una 13 1 caso (3 • Podios con 3 banderas iguales: solo es posible relación de filiación. del evento Análisis combinatorio banderas de EE.UU.). • ¿De Podemos utilizar la pueden sucesiónclasificar de Fibonacci para construir serie de cuadrados del seSeries. cuántas formas en cada serie las 7 laEntonces, en el podio final podría haber 60 + 24 + 1 = 85 gundo dibujo: laEnunión de los lados delasdos cuadrados es el lado del cuaatletas que compiten? este caso, clasifican 3 primeras sin consecutivos agrupaciones distintas de banderas. drado siguiente. Las medidas de los ladosde deuna estos cuadrados corresponden a la suceimportar su orden de llegada; entonces, se trata comPlantea algunos problemas sión Fibonacci. espiral que tomados se construye de circunferencia modela de combinatoria para el evento binación sinde repetición deLa7 elementos de 3con en 3:los cuartos femenido de 400 metros, tal como se desarrolló en los Juegos la estructura interior de un caracol o de un nautilus. 7! Olímpicos de Londres 2012. C• 7 , 3El=número de = 35 conjuntos posibles de clasificadas 4 ! $ 3 ! pétalos de las flores y el número de espirales en las piñas (los frutos de los pinos) son con frecuencia números de la sucesión de Fibonacci. Semifinales. ¿De cuántas formas pueden clasificar en cada seEstos son solo ejemplos. La caso, presencia de lalas sucesión de Fibonacci en la naturarie las 8 atletas quealgunos compiten? En este clasifican 2 leza es de continuo interés desematemáticos y científicos. primeras sinobjeto importar su orden ydeprofundo llegada; entonces, trata
5! 5! = = 60 2! _5 - 3 i ! 6. Selecciona las celdas C5-C19 y en la opción Celdas/Formato/Formato de celdas... En la(Pestaña: calculadora se utiliza la teclaNúmero) nPr. En este caso, si n 1 r , entonces nP r significa Número; Categoría: asigna 8 posiciones decimales. variación de n elementos tomados de r en r . El número de variaciones de 5 elementos 7. Coloca da formato tomados denombres 3 en 3 se ycalcula así: a las celdas. Protege la hoja para que solo pueda escribirse en las celdas color canela. 5 SHIFT X 3 = 60 8. Obtén aproximaciones de la raíz cuadrada de 1 789. Escribe 1 789 en C2. Observa 3. Calcula sin repetición. obtenida es ya correcta hasta la segunda cifra decimal; para que,combinaciones para n = 9 , la raíz raízla obtenida es correcta hasta ladeoctava cifra decimal. n = 10 , laque Recordemos cantidad de combinaciones tomados de k en k se n elementos n! calcula con la fórmula C n , k = . Así, por ejemplo: 9. Calcula 543 210 modificando $ k! término de la sucesión. _n - keli !primer
5. Copia C6 desde C7 hasta V5 , 3C19. =
2
80 26
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Desarrollamos la expresión y resolvemos la ecuación: 2
_ x + 7 i_ x - 8 i = _ x - 3 i & & x2 - x - 56 = x2 - 6x + 9 & 5x = 65 & x = 13
Podemos determinar la razón de dos formas.
Por lo tanto, la sucesión geométrica es: 20, 10, 5. 5 10 1 La razón es: r = &r= . = 10 20 2
Primera forma Aplicando la fórmula general, a n = a1 $ rn - 1, formamos dos ecuaciones, una para cada término conocido: : a3 = a1 $ r3 - 1 & 24 = a1 $ r2 ( 1 ) : a 6 = a1 $ r 6 - 1 & 3 = a1 $ r 5 ( 2 ) Resolvemos para r el sistema formado por (1) y (2) dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones: a1 $ r 5
3 1 & r3 = & r = = 24 8 a1 $ r 2
3
Reescribimos las dos sumas expresando cada término en función de a1 y r ; usamos la fórmula directa o del término general, a n = a1 $ rn - 1 : : a 5 + a 8 = 144 & a 1 $ r 4 + a 1 $ r 7 = 144 & & a 1 r 4 _ 1 + r 3 i = 144 ( 1 )
Segunda forma Aplicamos la fórmula general suponiendo que a3 es el primer término, que a 6 es el término n-ésimo y que, por tanto, n = ^6 - 3h + 1 = 4 : 1 1 a n = a1 $ rn - 1 & 3 = 24 $ r 4 - 1 & r3 = & r = 2 8
: a 3 + a 6 = 16 & a 1 $ r 2 + a 1 $ r 5 = 16 & & a 1 r 2 _ 1 + r 3 i = 16 ( 2 ) Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro:
Calculamos a1 reemplazando el valor de r en (1): 1 2 24 = a1 $ r2 & 24 = a1 $ d n & a1 = 96 2
a 1 r4 _1 + r3i a 1 r2 _1 + r3i
1 a n = a1 $ rn - 1 & a n = 96 $ d n & 2 1 & a n = 3 $ 2 5 - _n - 1 i & n- 1
: Para r = 3 :
2n - 1 & an = 3 $ 26 - n
3 23
& a9 =
16 4 & a1 = 9 $ 28 63
a 1 $ _ - 3 i 81 + _ - 3 i B = 16 & a 1 = 2
3 8
& a 1 =-
16
3
8 117
9 $ _ - 26 i
&
Calculamos el término general de las dos sucesiones: : Para r = 3 y a1 = 4 63 : 4 4 a n = a1 $ r n - 1 & a n = $ 3n - 1 = $ 3n - 1 & 9$7 32 $ 7 4 4 & a n = $ 3n - 1 - 2 & a n = $ 3n - 3 7 7
Por la definición de sucesión geométrica, el cociente entre el tercer término y el segundo debe ser igual al cociente entre el segundo término y el primero, es decir: x- 8 x- 3 = x- 3 x+ 7
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75. Una en 88. casa Con importadora los dígitos 1vende , 2, 3 , vehículos 4 , 5 , 6 , 7al, contado 8 y 9 , ¿cuántos Anualidades Número de combinatorio amortización $us 10 500, y aldecrédito condistintos $us 4 500 iniciales formar y dos que números 5 dígitos se pueden 82. ¿Qué 95. Calcula monto de aplicando dinero se la ha definición prestadoy una las propiedades. persona que pagoscontengan anuales de3 cifras $us 4pares 000. ¿Qué tasaimpares? de interés cay 2 cifras ha amortizado su deuda mediante 10 anualidades de pitalizable anualmente se aplica en la venta a plazos? 14 7 17 5 6 89. En una familia hay 4 personas adultas y 3 niños. Tres Bs 4 000 con a) esi elo préstamo d) efueo acordado g) un 3 einterés o+e o +e o 9 7 0 0 3 de estas personas irán al cine. ¿Cuántos grupos de 3 anual del 12 % (capitalizable anualmente)? familiares pueden ir al cine si nunca van los tres niños 23 13 13 7 7 83. Para mejorar b) e oel servicio e) de h) e una e transporte o - e o público, o + eal- o solos ni un adulto con dos niños? 20 un préstamo10de 2005millones de 2bolivia-3 caldía recibe 90. ¿Cuántos cuadriláteros podemos formar uniendo 4 nos que debe amortizar en el plazo de 40 años. Si el 13 15 15 10 10 puntos de la siguiente figura? interés anualmente), c) fijo f) 5 e% (capitalizable i) e o + e o e anual o es del o-e o 12 9 6 6 7 ¿cuál es el valor de la cuota anual? 96. Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones. a)
x _ x2 + 6 i
b) e
6
x x x x = e o+ e o+ e o+ e o 0 1 2 3
x- 1 x- 1 x x+ 1 2x - 19 2x - 19 o+ e o+ e o+ e o- e o= e o 17 16 16 16 17 16
21 21 22 23 24 77. Una empresa compró equipos cuyo precio al contado c) e o+ e o+ e o+ e o= e o 2x - 3 2x - 4 2x - 4 2x - 4 4x - 21 era de $us 6 000. Pagará en tres cuotas iguales: una iniDisposiciones circulares cial y dos mensuales. Si la tasa de interés es del 6,5 % 92. Los caballeros de la mesa redonda mensual, ¿cuál es el monto de cada cuota?eran 15. Si el líder 84. Una El binomio de Newtonha y los números combinatorios empresa inmobiliaria vendido un departamense sentaba siempre en el mismo lugar y todas las sillas to en $us 35 000. De este monto, $us 10 000 se han 78. Investiga. qué momento el valor presente de una poeran ¿En ocupadas, ¿de cuántas formas los caballeros 97. Investiga. Calcula de se lossaldará términos de las 5 pridado como cuota iniciallaysuma el resto en cuotas deudadían es igual a la mitad de la deuda? Consiacomodarse endel las valor sillas restantes? meras durante filas del triángulo de Pascal. Indicadel una5,5regla mensuales 15 años con un interés % gedera una tasa del 16,5 % convertible anualmente. para sumar los términos de la fila del triángulo. n valor anualneral (convertible mensualmente). ¿Cuál es el de 93. El rosetón circular de una iglesia está dividido en 8 secla cuota mensual? tores en los que se coloca98. Escribe el desarrollo de los siguientes binomios utiliAnualidades de capitalización rán vidrios de colores. ¿De zando el números es necesario 85. Determina tiempocombinatorios que tardaré en(no pagar un prés-desacuántas maneras puede rrollar cada término). 79. Una persona se integra durante 25 años a un plan de tamo de Bs 88 000 al 4,75 % anual capitalizable mendecorarse el rosetón si se 6 de Bs 955. ¿Qué jubilación que ofrece una compañía de seguros y aporsualmente si pago 5una cuota mensual 1 7 a) _2x + y i b) d - y n c) _16 + x i elegir entre colo-mes. Si el plan ofrece un ta Bs puede 200 al principio de8cada porcentaje de mi deuda corresponde a los intereses? 2 resdel (uno sector)? ¿Y si mensualmente, ¿qué interés 6 %por anual capitalizable se sepuede entre 12 de los 25 años? 86. Omar Bs 42 000 y su el capacidad pago es de capital habráelegir formado al cabo 99. Ennecesita cada caso determina término de indicado. colores? Bs 400 mensuales. 6 7 a) Quinto de _1 + b i c) Central de _ x3 + y i 80. Un banco oferta un plan de jubilación con un interés a) ¿En cuánto tiempo cubriría la deuda si le ofrecen una 94. ¿Cuántas distintas puede adoptar Si la siguiente anual fijo del 5formas % (capitalizable anualmente). una 5 tasa del 9 % anual 1capitalizable mensualmente? configuración de en anillos 4 persona está interesada obtener un capital final de b) Tercero de d - x n d) Segundo de _0, 5 - 2y5 i si 000 en cada sector 2 Bs 250 dentro de 30interior años, ¿qué monto1 de dinero b) ¿Y si le ofrecen una2tasa del 18 % anual? una letradedisdebe escribimos aportar al principio cada año? A B c)100. Si laEntasa es caso del 18determina % anual, ¿cuál es la mínima capaci8 cada el término indicado. tinta y en cada sector ex3 H C dad de pago que necesita Omar para saldar la deuda? 81. Una compañía de seguros ofrece un plan de jubilación. terior, un dígito distinto? a) b) c) Este plan, al 3 % anual y capitalizable mensualmente, d) Si laUndécimo tasa es del 18 %Último anual y la capacidad de pago de G D Central a) De 8 letras y 8 dígitos implica aportaciones mensuales de 7$us 120. Enrique 4 16 10 4 4 Omar es de tiempo podría E F 1 cuánto 1 Bs141100 al mes, ¿en 2x 3 De 14yletras 10 dígitos si le conviene ingresar + tiene b) 38 años está yanalizando o delf monto-presta- p f x -la deuda?, p ¿a equéxporcentaje saldar 3x 2 6 5 x en este plan. ¿A qué edad tendría que jubilarse para 3 2x do equivaldrían los intereses? obtener de la compañía al menos $us 60 000?
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A1 =
8$4 4$2 2$1 =1 = 16 A 2 = = 4 A3 = 2 2 2
Las áreas forman una sucesión geométrica infinita y decreciente con a1 = 16 y r = 0, 25 .
Inicialmente, encontramos el primer término de la sucesión suponiendo que el término n-ésimo es a5 = 10 :
Las áreas totales de los primeros 4 rombos y de los infinitos rombos son:
a n = a1 $ rn - 1 & a5 = a1 $ r5 - 1 & 10 = a1 $ 0, 25 - 1 &
Sn =
a1 _r n - 1 i r- 1
6 250 _0, 2n - 1 i
& 7 812, 4992 =
6 250 _0, 2n - 1 i 0, 2 - 1
&
0, 2 - 1
1 = 0, 2n 9 765 625
1 n n = log 0, 2 & 9 765 625
1 & log d n = n $ log 0, 2 & 9 765 625 log d &n=
1 -1 4
= 21, 25
©Santillana ©Santillana S.A. Prohibida S.A.suProhibida fotocopia.suLey fotocopia. 1322. Ley 1322.
S3 =
! 16 = 21, 3 1- 1 4
En la sección Problemas resueltos se exponen ejemplos adicionales con los que desarrollarás y profundizarás tu comprensión de las formas de razonamiento asociadas con los contenidos de la unidad. El estudio de esta sección te ayudará a abordar con éxito las actividades finales.
36. En el ejemplo 24, considera que la primera caída dura 1,5 segundos y que las caídas posteriores duran el 71 % del tiempo que dura la caída anterior. Supón, además, que el tiempo de subida hasta cierto punto es igual al tiempo de bajada desde ese punto. ¿Cuánto tarda la pelota en detenerse después de realizar infinitos rebotes?
Aplicando logaritmos: log d
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