Sistemas informáticos industriales

2017

Algebra de Boole

Algebra Boole Se denomina así en honor a “George Boole” (1815-1864). El algebra de Boole se emplea en sistema de control digitales, desde los sistemas de refrigeración hasta los complejos sistemas de control de vuelo. Aunque los circuitos electrónicos de estos sistemas pueden tener niveles de complejidad muy diferentes, todos se basan en combinaciones de elementos muy simples, llamados puertas lógicas.

Estados lógicos y función lógica: los elementos que constituyen estos sistemas digitales solo tienen dos estados: ‘0’ o ‘1’ o en forma equivalente “falso” o “verdadero”. Tabla de verdad S(llave)

L(foco)

Abierto(0)

Apagado(0)

Cerrado(1)

Encendido(1)

Algebra Boole Función lógica: es la función que relaciona las entradas con las salidas de un sistema lógico. Se puede expresar mediante: 



Tabla de verdad: En ella se representan a la izquierda todos los estados posibles de la entradas y a la derecha el estado correspondiente de cada salida. Función booleana: es una expresión algebraica que usa operadores booleanos.

Operadores lógicos elementales: Se definen como

elementos lógicos que toman como entrada una o dos señales binarias y devuelve una salida lógica binaria en función de estos valores.

Algebra Boole Compuerta AND: el funcionamiento de la compuerta

AND es equivalente a tener dos llaves en serie, es necesario que las dos llaves estén cerradas para que la lámpara se encienda.

A

L=A^B

B

A

B

L=A^B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Algebra Boole Compuerta OR: el funcionamiento de la compuerta OR es

equivalente a tener dos llaves en paralelo, es necesario que alguna de las dos llaves esté cerrada para que la lámpara se encienda. L=A+B

A B

A

B

L=A+B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Algebra Boole Compuerta NOT: la salida de la compuerta NOT es

simplemente el complemento de la entrada. Si la entrada es ‘0’ la salida es ‘1’ y viceversa.

L=NOT A

A

A

L = ~A

0

1

1

0

Algebra Boole Compuerta NAND: A

L=~ (A^B)

B

Compuerta NOR: A B

L=~ (A+B)

A

B

L= ~ (A^B)

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

A

B

L= ~ (A+B)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

Algebra Boole Compuerta XOR: L=A ⊕ B

A B

= L AB + AB

Compuerta XNOR: A

L=~ (A ⊕ B)

B

= L AB + AB

A

B

L= (A ⊕ B)

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

A

B

L= ~ (A ⊕B)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Algebra Boole Propiedades: Conmutativa

Idem. Potencia

A+ B = B + A A^ B = B ^ A

Distributiva

A ^ ( B + C )= A ^ B + A ^ C A+ (B ^ C) = ( A + B) ^ ( A + C )

Asociativa

A ^ ( B ^ C ) = ( A ^ B) ^ C A + ( B + C ) = ( A + B) + C

DeMorgan

A ^ B= A + B A+ B = A^ B

Elem. nulos

A+0 = A A ^1 = A

A+ A = A A^ A = A

Algebra de boole: ese definen variables, constantes y

funciones para describir sistemas binarios: 

Constantes booleanas: son dos, “0” (falso) y “1”(verdadero).



Variables booleanas: son magnitudes que pueden tomar distintos valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada o de salida y reciben nombres de caracteres alfabéticos (A, B, C). Toman valores binarios.



Funciones booleanas: describen el comportamiento de un sistema. Se expresa con notación de algebra booleana.

Algebra Boole Tabla de verdad: es un tabla que contiene el valor de la

función de salida para cada entada. Si tiene una definición para cada combinación posible se denomina completa, caso contrario incompleta. X2

X1

X0

F(X2, X1. X0)

0

0

0

F(0,0,0)

0

0

1

F(0,0,1)

0

1

0

F(0,1,0)

0

1

1

F(0,1,1)

1

0

0

F(1,0,0)

1

0

1

F(1,0,1)

1

1

0

F(1,1,0)

1

1

1

F(1,1,1)

Algebra Boole Representación de funciones lógicas: se pueden

describir funciones booleanas a partir de la tabla de verdad de dos formas: mintermino o maxtermino. a) Mintermino: se genera un mintermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale “1”. 1.

2.

Un mintermino contiene el producto de cada variable de entrada. Tal que la variable de entrada esta negada si para esa fila vale “0” y no negada si vale “1”. La expresión total es la suma de todos los minterminos.

Maxtermino: se genera un maxtermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale “0”.

b) 1.

2.

Un maxtermino contiene la suma de cada variable de entrada. Tal que la variable de entrada esta negada si para esa fila vale “1” y no negada si vale “0”(a la inversa que para mintermino). La expresión total es el producto de todos los maxterminos.

Algebra Boole Ejemplo Mintermino: Fila A

B

F (A, B)

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

0

3

1

1

1

-Se genera un mintermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale “1”. Para la fila 1 se tiene el término producto: m1 ( A, B ) = A ^ B Para la fila 3 se tiene el término producto: m3 ( A, B ) = A ^ B -La expresión total es la suma de todos los minterminos:

F= ( A, B )

( A, B ) ∑ m= i

= A^ B + A^ B

m1 ( A, B ) + m3 ( A, B )

Algebra Boole Ejemplo Maxtermino: Fila A

B

F (A, B)

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

0

3

1

1

1

-Se genera un maxtermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale “0”. M 0 ( A, B )= A + B Para la fila 0 se tiene el término suma: Para la fila 2 se tiene el término suma: M 2 ( A, B )= A + B -La expresión total es el producto de todos los maxterminos:

= M ( A, B ) ∏

= F ( A, B )

i

M 0 ( A, B ) ^ M 2 ( A, B )

= ( A + B) ^ ( A + B)