CEC YTEM

ACTIVIDAD 7.0 DEL PARCIAL 3 En esta sección trabajaremos sobre la integración por fracciones parciales, para lo cual se recomienda que se repasen los temas de factorización, en caso de que no los recuerdes revísalos en la parte de ENLACE de esta misma pagina en la penúltima sección. Por ejemplo calcula la siguiente integral. ∫

𝑥2

4 𝑑𝑥 −9

Lo primero que haremos será factorizar el denominador, recordando los diferentes métodos vistos en clase 𝑥 2 − 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) Ahora se escribe A sobre el primero, B sobre el segundo, C sobre el tercero y así sucesivamente 𝐴 𝐵 + (𝑥 − 3) (𝑥 + 3) Enseguida se ase la suma de fracciones, en forma de cruz 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 3) + = (𝑥 − 3) (𝑥 + 3) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) Ahora se iguala la suma con el argumento de la integral original para calcular los valores de A y B 𝑥2

4 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 3) = −9 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)

Se eliminan los denominadores 4 𝑥 2 −9

=

𝐴(𝑥+3)+𝐵(𝑥−3) (𝑥−3)(𝑥+3)

Lo que sobra, se sustitullen dos valos que elimimen primero la A y luego la B 4 = 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 3) 𝑥 = −3

𝑥=3

4 = 𝐴(−3 + 3) + 𝐵(−3 − 3)

4 = 𝐴(3 + 3) + 𝐵(3 − 3)

4 = −6𝐵

4 = −6𝐴

𝐵=

−2 3

2

𝐴=3

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Ahora se sustituye en l integral original 2⁄ −2⁄ 4 3 3 𝑑𝑥 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ + 𝑥 −9 (𝑥 − 3) (𝑥 + 3) Se simplifica ∫

𝑥2

4 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ −9 3 (𝑥 − 3) 3 (𝑥 + 3)

Y por último se resuelve la integral y se simplifica ∫

𝑥2

4 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 2 2 𝑥−3 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ = ln|𝑥 − 3| − ln|𝑥 + 3| + 𝑐 = ln | |+𝑐 −9 3 (𝑥 − 3) 3 (𝑥 + 3) 3 3 3 𝑥+3 3

= ln | √(

𝑥−3 2 ) |+𝑐 𝑥+3

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ACTIVIDAD 7.1 DEL PARCIAL 3 En esta sección trabajaremos sobre la integración por fracciones parciales, para lo cual se recomienda que se repasen los temas de factorización, en caso de que no los recuerdes revísalos en la parte de ENLACE de esta misma página en la penúltima sección. Por ejemplo calcula la siguiente integral. ∫

𝑥2

7 𝑑𝑥 − 4𝑥 − 12

Lo primero que haremos será factorizar el denominador, recordando los diferentes métodos vistos en clase 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 2) Ahora se escribe A sobre el primero, B sobre el segundo, C sobre el tercero y así sucesivamente 𝐴 𝐵 + (𝑥 − 6) (𝑥 + 2) Enseguida se ase la suma de fracciones, en forma de cruz 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 6) + = (𝑥 − 6) (𝑥 + 2) (𝑥 − 6)(𝑥 + 2) Ahora se iguala la suma con el argumento de la integral original para calcular los valores de A y B 𝑥2

7 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 6) = − 4𝑥 − 12 (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)

Se eliminan los denominadores 7 𝑥 2 −4𝑥−12

=

𝐴(𝑥+2)+𝐵(𝑥−6) (𝑥−6)(𝑥+2)

Lo que sobra, se sustitullen dos valos que elimimen primero la A y luego la B 7 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 6) 𝑥 = −2

𝑥=6

7 = 𝐴(−2 + 2) + 𝐵(−2 − 6)

7 = 𝐴(6 + 2) + 𝐵(6 − 6)

7 = −8𝐵

7 = 8𝐴

𝐵=

−7 8

7

𝐴=8

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Ahora se sustituye en l integral original 7⁄ −7⁄ 7 8 8 𝑑𝑥 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ + 𝑥 − 4𝑥 − 12 (𝑥 − 6) (𝑥 + 2) Se simplifica ∫

𝑥2

7 7 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ − 4𝑥 − 12 8 (𝑥 − 6) 8 (𝑥 + 2)

Y por último se resuelve la integral y se simplifica

∫

𝑥2

7 7 𝑑𝑥 7 𝑑𝑥 7 7 7 𝑥−6 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ = ln|𝑥 − 6| − ln|𝑥 + 2| + 𝑐 = ln | |+𝑐 − 4𝑥 − 12 8 (𝑥 − 6) 8 (𝑥 + 2) 8 8 8 𝑥+2 8 𝑥−6 7 = ln | √( ) |+𝑐 𝑥+2

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ACTIVIDAD 7.2 DEL PARCIAL 3 En esta sección trabajaremos sobre la integración por fracciones parciales, para lo cual se recomienda que se repasen los temas de factorización, en caso de que no los recuerdes revísalos en la parte de ENLACE de esta misma pagina en la penúltima sección. Por ejemplo calcula la siguiente integral. ∫

𝑥2

9 𝑑𝑥 − 3𝑥 − 10

Lo primero que haremos será factorizar el denominador, recordando los diferentes métodos vistos en clase 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) Ahora se escribe A sobre el primero, B sobre el segundo, C sobre el tercero y así sucesivamente 𝐴 𝐵 + (𝑥 − 5) (𝑥 + 2) Enseguida se ase la suma de fracciones, en forma de cruz 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 5) + = (𝑥 − 5) (𝑥 + 2) (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) Ahora se iguala la suma con el argumento de la integral original para calcular los valores de A y B 𝑥2

9 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 5) = − 3𝑥 − 10 (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

Se eliminan los denominadores 9 𝑥 2 −3𝑥−10

=

𝐴(𝑥+2)+𝐵(𝑥−5) (𝑥−5)(𝑥+2)

Lo que sobra, se sustitullen dos valos que elimimen primero la A y luego la B 9 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 5) 𝑥 = −2

𝑥=5

9 = 𝐴(−2 + 2) + 𝐵(−2 − 5)

9 = 𝐴(5 + 2) + 𝐵(5 − 5)

9 = −7𝐵

9 = 7𝐴

𝐵=

−9 7

9

𝐴=7

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Ahora se sustituye en l integral original 9⁄ −9⁄ 4 7 7 𝑑𝑥 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ + 𝑥 − 3𝑥 − 10 (𝑥 − 5) (𝑥 + 2) Se simplifica ∫

𝑥2

4 9 𝑑𝑥 9 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ − 3𝑥 − 10 7 (𝑥 − 5) 7 (𝑥 + 2)

Y por último se resuelve la integral y se simplifica ∫

𝑥2

4 9 𝑑𝑥 9 𝑑𝑥 9 9 9 𝑥−5 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ = ln|𝑥 − 5| − ln|𝑥 + 2| + 𝑐 = ln | |+𝑐 − 3𝑥 − 10 7 (𝑥 − 5) 7 (𝑥 + 2) 7 7 7 𝑥+2 𝑥−5 9 √ = ln | ( ) |+𝑐 𝑥+2 7

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ACTIVIDAD 7.3 DEL PARCIAL 3 En esta sección trabajaremos sobre la integración por fracciones parciales, para lo cual se recomienda que se repasen los temas de factorización, en caso de que no los recuerdes revísalos en la parte de ENLACE de esta misma página en la penúltima sección. Por ejemplo calcula la siguiente integral. ∫

𝑥2

2𝑥 − 5 𝑑𝑥 − 7𝑥 + 12

Lo primero que haremos será factorizar el denominador, recordando los diferentes métodos vistos en clase 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) Ahora se escribe A sobre el primero, B sobre el segundo, C sobre el tercero y así sucesivamente 𝐴 𝐵 + (𝑥 − 4) (𝑥 − 3) Enseguida se ase la suma de fracciones, en forma de cruz 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 4) + = (𝑥 − 4) (𝑥 − 3) (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) Ahora se iguala la suma con el argumento de la integral original para calcular los valores de A y B 𝑥2

2𝑥 − 5 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 4) = − 7𝑥 + 12 (𝑥 − 4)(𝑥 − 3)

Se eliminan los denominadores 2𝑥−5 𝑥 2 −7𝑥+12

=

𝐴(𝑥−3)+𝐵(𝑥−4) (𝑥−4)(𝑥−3)

Lo que sobra, se sustitullen dos valos que elimimen primero la A y luego la B 2𝑥 − 5 = 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 4) 𝑥=3

𝑥=4

2(3) − 5 = 𝐴(3 − 3) + 𝐵(3 − 4)

2(4) − 5 = 𝐴(4 − 3) + 𝐵(4 − 4)

1 = −𝐵

3=𝐴

𝐵 = −1

𝐴=3

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Ahora se sustituye en l integral original ∫

𝑥2

2𝑥 − 5 3 −1 𝑑𝑥 = ∫ + 𝑑𝑥 − 7𝑥 + 12 (𝑥 − 4) (𝑥 − 3)

Se simplifica ∫

2𝑥 − 5 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ − ∫ 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 𝑥−4 𝑥−3

Y por último se resuelve la integral y se simplifica

∫

(𝑥 − 4)3 2𝑥 − 5 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ − ∫ = 3 ln|𝑥 − 4| − ln|𝑥 − 3| + 𝑐 = ln | |+𝑐 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 𝑥−4 𝑥−3 𝑥−3

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ACTIVIDAD 7.4 DEL PARCIAL 3 En esta sección trabajaremos sobre la integración por fracciones parciales, para lo cual se recomienda que se repasen los temas de factorización, en caso de que no los recuerdes revísalos en la parte de ENLACE de esta misma página en la penúltima sección. Por ejemplo calcula la siguiente integral. ∫

𝑥2

3𝑥 + 4 𝑑𝑥 + 9𝑥 + 18

Lo primero que haremos será factorizar el denominador, recordando los diferentes métodos vistos en clase 𝑥 2 + 9𝑥 + 18 = (𝑥 + 6)(𝑥 + 3) Ahora se escribe A sobre el primero, B sobre el segundo, C sobre el tercero y así sucesivamente 𝐴 𝐵 + (𝑥 + 6) (𝑥 + 3) Enseguida se ase la suma de fracciones, en forma de cruz 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 6) + = (𝑥 + 6) (𝑥 + 3) (𝑥 + 6)(𝑥 + 3) Ahora se iguala la suma con el argumento de la integral original para calcular los valores de A y B 𝑥2

3𝑥 + 4 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 6) = + 9𝑥 + 18 (𝑥 + 6)(𝑥 + 3)

Se eliminan los denominadores 3𝑥+4 𝑥 2 +9𝑥+18

=

𝐴(𝑥+3)+𝐵(𝑥+6) (𝑥+6)(𝑥+3)

Lo que sobra, se sustitullen dos valos que elimimen primero la A y luego la B 3𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 6) 𝑥 = −3

𝑥 = −6

3(−3) + 4 = 𝐴(−3 + 3) + 𝐵(−3 + 6)

3(−6) + 4 = 𝐴(−6 + 3) + 𝐵(−6 + 6)

−5 = 3𝐵

−14 = −3𝐴

𝐵=

−5 3

𝐴=

14 3

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Ahora se sustituye en l integral original 14 5 − 3𝑥 + 4 3 3 𝑑𝑥 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ + 𝑥 + 9𝑥 + 18 (𝑥 + 6) (𝑥 + 3) Se simplifica ∫

𝑥2

3𝑥 + 4 14 𝑑𝑥 5 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ + 9𝑥 + 18 3 𝑥+6 3 𝑥+3

Y por último se resuelve la integral y se simplifica ∫

3𝑥 + 4 14 𝑑𝑥 5 𝑑𝑥 14 5 1 (𝑥 − 4)14 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ = ln|𝑥 + 6| − ln|𝑥 + 3| + 𝑐 = ln | |+𝑐 (𝑥 − 3)5 𝑥 2 + 9𝑥 + 18 3 𝑥+6 3 𝑥+3 3 3 3 3 (𝑥 − 4)14 = ln | √ |+𝑐 (𝑥 − 3)5

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