Luego el cuerpo se estira 6 pulgadas hacia abajo y se suelta con una velocidad hacia abajo de. 4 pies/seg, halle la solución particular e indique si es estable o ...
Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de libros, libretas, solo puede usar el papel especi…cado en clase. Está prohibido consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar. Debe mostrar todo su trabajo, no se daran puntos por preguntas contestadas sin mostrar su trabajo. Instrucciones:
1.
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: (a)
(12 puntos)
y 000
3y 00 + 3y 0
y = et 3
La ecuación característica es r3 3r2 + 3r 1 = (r 1) = 0 y la solución complementaria es: yc (t) = c1 et + c2 tet + c3 t2 et y la solución particular es de la forma yp (t) = At3 et derivando y sustiyuendo en la ED obtenemos: 8 = 1 yp (t) = At3 et > > < 3 yp0 (t) = At2 et (t + 3) sumando se obtiene: 3 yp00 (t) = Atet t2 + 6t + 6 > > : 1 yp000 (t) = Aet t3 + 9t2 + 18t + 6 6Aet = et ) A = 1=6 y la solución general es: y(t) = c1 et + c2 tet + c3 t2 et + 61 t3 et (b)
(12 puntos)
3y 000 + 2y 00 = 0; y(0) = 1; y 0 (0) =
1; y 00 (0) = 1
La ecuación característica es 3r3 + r2 = r2 (3r + 2) = 0 y la solución general es: 2
y(t) = c1 + c2 t + c3 e 3 t para determinar la solución al problema con valor inicial derivamos dos veces: 2 2 y 0 (t) = c2 32 c3 e 3 t ; y 00 (t) = 94 c3 e 3 t y resolvemos el sistema de ecuaciones: 8 < c1 + c3 = 1 c2 23 c3 = 1 , y su solución es: c1 = 54 ; c2 = 12 ; c3 = 94 : 4 9 c3 = 1 y la solución es: y(t) = (c)
5 4
+ 12 t + 94 e
2 3t
(13 puntos) 4t2 y00 4ty0 + 3y = 8t4=3 ; si y1 = t3=4 ; es una solución linealmente independiente de la ecuación diferencial homogénea. Z
R
4t dt 4t2 3=4 2
Z
e
R 1 dt t t3=2
Z
t dt = dt = t3=2 dt = Por el método de reducción de orden y2 = u y1 donde u = (t ) p p 3=4 5=4 3=4 5=4 2 t; y2 = tt =t y la solución complementaria es yc (t) = c1 t + c2 t y determinamos la solución particular por el método de variación de parametros, es decir, yp (t) = y1 u1 + y2 u2 ; para ello aplicamos la regla de Cramer: t3=4 t5=4 W = 3 1=4 5 1=4 = 12 t 4t 4t p R t5=4 (8t4=3 ) R t3=4 (8t4=3 ) 7 48 12 u1 = dt = t ; u = dt = 48 12 t 2 1 2 7 4t ( 2 t) 4t2 ( 12 t) 7 48 12 3=4 + 7 t t 3=4 5=4 c1 t + c2 t
yp (t) = y(t) =
48t1=12 t5=4 = +
288 34 7 t
288 43 7 t
e
y la solución general es:
2.
(15 puntos) Un peso de 16 libras estira un resorte 1 pie. El resorte se sumerge en un medio cuyo coe…ciente de amortiguamiento es 4. Luego el resorte se lleva a su posición de reposo y se le aplica una fuerza externa de 10 sin 2t. Escriba la ecuación diferencial que le permita determinar la solución transitoria y la estable, indicando el periodo y frecuencia de la segunda. La masa m =
16 32
1 00 0 2 y + 4y + 16y 4t c2 e sin 4t y la T = 22 = seg.
= 12 slug, k =
16 1
= 16; c = 4 y la ecuación diferencial es
= 10 sin 2t; y(0) = y 0 (0) = 0 y la solución transitoria es: yc (t) = c1 e 4t cos 4t + solución estable es de la forma yp (t) = A sin 2t + B sin 2t y su periodo es dado por y su frecuencia es f = 22 = 1 cps. F0 (k mw2 ) (k mw2 )2 +c2 w2
1 2 22 1 2 2 +42 22 2 2
10(16
) = 0:53846 y B = ) 0:30769 y por lo tanto yp (t) = 0:53846 sin 2t + 0:30769 sin 2t
Los valores de A =
3.
=
(16
F0 cw (k mw2 )2 +c2 w2
=
(16
10 4 2 1 2 2 2 2 2 2 ) +4 2
=
(12 puntos) Un cuerpo de 16 libras de peso se ata a un resorte y lo estirap 4 pulgadas. En el tiempo t = 0, se le aplica una fuerza dada por f (t) = sin 4 6t se ata al resorte y se lleva a su posición de equilibrio. Luego el cuerpo se estira 6 pulgadas hacia abajo y se suelta con una velocidad hacia abajo de 4 pies/seg, halle la solución particular e indique si es estable o inestable. 16 32
16 = 12 slug, k = 1=3 = 48; c = 0 y la ecuación diferencial es p 1 00 48y = sin 4 6t; y(0) = 12 pies; y 0 (0) = 4 pies/seg., la solución transitoria es: yc (t) = 2y + p p p p c1 cos 4 6t + c2 sin 4 6t y la solución particular es de la forma yp (t) = At sin 4 6t + Bt sin 4 6t, lo cual indica que la solución es inestable. Los valores de A y B son:
La masa m =
4.
Resuelva los siguientes ejercicios: (a)
(8 puntos) Halle L te2t
(b)
(c)
3s 1 s2 + 5
1
t2 + cos 3t
t2 + cos 3t = L te2t
(6 puntos) Halle L
L te2t
=L
1
L
L t2 + L fcos 3tg =
1 (s
2
2)
s 2 + 2 s3 s +9
3s 1 s2 + 5
1
3s s2 + 5
L
1
p = 3 cos 5t
1 s2 + 5
p1 5
p sin 5t
(8 puntos) Use la de…nición de transformada de Laplace para hallar t 0 t 1 L ff (t)g ; si f (t) = 0 t>1 L ff (t)g = =
R1 0
e
1 st s2 e
st
f (t)dt =
(st +
1)]10
=
R1 0
e
st
tdt +
1 s s2 [e
R1 1
(s + 1)
e
st
0dt =
1] =
1 s2
R1
e st tdt = 0 1 s (s + 1) s2 [e
(d)
(10 puntos) Halle 1
Sabemos que L
L
1
ln
fF 0 (s)g =
s2 + 1 s2 + 4
tf (t); donde F (s) = ln
(e)
(8 puntos) Halle L fcos 3tg =
s ; 2 s +9
L te2t cos 3t =
(f)
ln s2 + 4 y
2s s2 + 1
2s ; y se tiene que s2 + 4 2s 2s = 2 cos t L 1 fF 0 (s)g = L 1 s2 + 1 s2 + 4 2 cos t 2 cos 2t 2 cos 2t 2 cos t f (t) = = t t F 0 (s) =
s2 + 1 = ln s2 + 1 s2 + 4
(s
tf (t) y por lo tanto:
L te2t cos 3t
L ft cos 3tg =
(s
2 cos 2t =
2
2)
2
d ds
s 2 s +9
=
s2
9
(s2
+ 9)
2
y
9 2
2) + 9 f (t) t
Z
1
t
t
e e (8 puntos) Si L = F ( )d ; donde L ff (t)g = F (s); halle L t s (Sugerencia: use propiedades de logaritmo cuando sea necesario para simpli…car el límite.) 1 1 y por el enunciado del problema se tiene f (t) = et e t y F (s) = L fet e t g = s 1 s+1 que: Z 1 Z 1 1 f (t) 1 = F ( )d = ( )d = lim (ln ( 1) ln ( + 1))]bs L b!1 t 1 +1 s s = lim ln b!1
