•

CAPITULO VIII TENSOR

A-

METRICO

INTRODUCCION Vamos a estudiar ahora un tensor que nos permite cuantificar el espacio que estemos considerando; el tensor métricO, como veremos, es simplemente un conjunto de cantidades, en general funciones, que nos sirve para Il!edir distancias sobre el espacio y por lo tanto calcular áreas y volúmenes; en otras palabras, con el tensor métrico logramos introducir una métrica en ese espacio, sea euclediano o no -euclediano. Llamamos espacio euclediano n-dimensional aquel en el cual la distancia entre dos puntos cercanos PI (x"'P1),:-p1. . . '- -"X"",,) y 1\ (]{'fll+~X1'1 , __ _ -- ___ x-rl'l'\-\"~t;>"'" ") se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras en n dimensiones siempre y cuando pueda existir siquiera un sistema coordenado -::t~ ( x" "Lt.,- _--:xfil) fijo en el espacio con referencia al cual se pueda expresar para todos los pares de puntos próximos de ese espacio la distancia entre ellos ( A y) corno: -

8-1

Jj'ff

"Z..

=-

'"

A

:L-r,

"lo

T

'l..

"lo

+- ~::L-p""

l\ X'f" -+- b .:t:'f3 +- - __ - -

1.\ Y., es la distancia entre los puntos cercanos PI. y P2 ; si la misma fór-

mula (con referencia al mismo sis tema coordenado) se puede aplicar para cualquier otro par de puntos a.1(:::c.~'J:LiIl~, ___ . .:tQ.... ) y a. . . (~~,+Al(EI.~_-;;Cq ...+ll:tt!_) decimos que el espacio es euclideano, así ~v~ será: "l.

..6 y~ .:;

'1...

A XCilI

't..

+

/j:t.. Q. 'L

'

..

6 ::I..~~ +- - - -

,

b:(' ~"'t'\

Espacios euclideanos que conocemos son por ejemplo: un plano en 2 dimensiones y nuestro espacio ordinario -intuitivo tridimensional I sin embargo, no hay razón para que no conside,remos espacios euclideanos de mayor número de dimensiones; en todos e,l1os la característica es la de la introducción de un solo sistema coordenado que nos permita para cualquier par de puntos próximos medir la distancia entre ellos de acuerdo con Pitágoras. Llamamos espacio no-euclideano n-dimensional ( o espacio riemanniano) aquel en el cual no es posible encontrar un sistema coordenado fijo (;x 1) X "lo - - - x~que nos permita para todos los pares de puntos próximos de ese espacio expresar la distancia entre ellos según 8-1; de este modo para medir distancias en un espacio no euclideano se necesita considerar coordenadas variables en ese espacio; por ejemplo la superficie esférica es un espacio no euclideano de dos dimensiones porque no

52

Xz )

se puede encontrar un sistema de coordenadas ( Xl) fijo en esa superficie de modo que se pueda expresar para todos los pares de puntos próximos en la esfera la distancia /J. y como

Pocemos también apreciar que la superficie esférica se puede considerar como espacio euclideano si se estudia en un número mayor de dimensiones que dos ya que si introducimos en el espacio tridimensional un sistema (xl x 1 x 3 ) para todos los pares PI, t.i si se puede expresar 6 v por: ) 2

-

Se puede generalizar, (esto se demuestra en el estudio de las geometrías no euclideanas) y afirmar que todo espacio riemanniano n-dimensional se puede estudiar como euclideano si se considera en un número mayor de dimensiones; por lo tanto todos los espacios no euclideanos de dos dimensiones se comportan euclideanamente (esto es Av se mide por 8-1) si se analizan en el espacio ordinario tridimensional. Debemos pues notar que el carácter de euclideanidad o de no-euclideanidad se define cuando se considera el espacio n-dimensional en esas mismas n-dimensiones, no en un espacio mas amplio; así, nos encontramos con la no eucledianidad de una superficie bidimensional (se pueden considerar" superficie s de 3 ... n-dimensiones, los llamados manifold s en inglés) si estudiamos su geometría intrínseca es decir referida a coordenadas variando sobre la superficie, pero no cuando es eudiamos esa superÍicie con ejes coordenados fijos . 11

B-

Componentes del tensor métrico (componentes covariantes del tensor métrico ó fundamental) . Hemos visto en la introducción que para un espacio euclediano n-dimensional la distancia entre dos puntos cercanos se puede calcular• utilizando la regla de Pitágoras y tomando un sistema cartesiano fijo yl; si los puntos en cuestión están infinitamente próximos, la distancia entre ellos la llamamos d,5 y se cumple entonces:

8-2)

(sumando sobre i= 1, 2 .. n según la convención de Eisntein) .

Si el espacio es no euclcdiano de todos modos se pl.!ede estudidr como

S3 euclediano o sea aplicar 8-2 con tal de tomar un número suficientemente grande de dimensiones; por lo tanto 8-2) es la expresión de d.s para todo espacio sea euclediano o riemanniano. Ahora , si definimos un nuevo sis tema coordenado xi ::z:1::,zJ (

J' J 1._ - - - :1"'1)

;t"'-:. x""

L:r~

I

tal que

7~:::t-z..f...j"'JJ: ---J~) •, 1,

o en general inversa es

X

.:i L'

L',.

---J""')

j'Z.J -

(J', J 'Z.,

------

J "")

y si la transformación

J' -:. J' l Xl, X"L, ___ - - -.x. '>l) J J" (X" .:i.. '2-, ____ - - -X 7)) 'Z..::

,I

.),'1'1::,. •

J~(:t.J:t I

•

'J -= 1 ( d J L'::;

o en general

L

cambiamos el índice mudo

'2.. J

-

(:X., X2. I

---

-

_-:i..

-- --

.."

.:t"")

) , entonce s tenemos:

•

d~j

J

( sumando sobre j= 1,2 -n)

en el segundo factor por 1< para efectuar la multiplicación.

Tenemos así:

iI.jL· d.-=t i d:L K dX"

I

En el espacio n-dimensional esta expresión de llamemos: •

•

8-3)

•

~.:¿t, .d ':.r a:;tJ axll.

(suma sobre i, j, k = 1,2 3 .. n)

::. 3J ""

c.\-5:2-

tiene n 3 sumando;,

o s ee :

a:e',

"dJ~ + ,2>.1: d'j:J, d ::(J' ct:L ,;. d::L J a.x.""

)

S4

(j I k índices mudos = 1, 2 I --n)

Resulta: •

Sabemos que los d J.. son las componentes contravariantes del vector desplazamiento y como d..:S1.. es un invariante, ya que la distancia entre dos puntos cercanos no depende del sistema coordenado empleado, ob tene mos de 7-3 que los ;}ix son las componentes covariantes de un tensor; este tensor es el llamado tensor métrico el cual propiamente habIendo es d..s 'L (invariante) y sus componentes las podemos escribir en la siguiente matriz en el caso de espacio tridimensional: ""J

~ll

;]12

§-21

~22

~31

-

De la definición de ~il( en 8-3) observamos que:

;entonces corno para el

gú'

tensor métrico se cumple g,:.i = por lo tanto: 8-4) d.5"L;;: ~f.i :tldxJ'

a

,

,

,

decimos que es un tensor Slmetnco con {j'J'simétrico,

Veamos como está relacionado el tensor métrico ~ IJ' (lo designamos --":lO por una componente genérica) y los vectores base covariantes 0., a1..J

a;

J ---

«I';J .

,J

-

~

~

En el sistema cartesiano en n-dimensiones ( jI) Jz. ____ ~ j ...... ) si l.,) t:~ ,----.i I'Y) son los vectores unitarios ba se la expresión del vector posición Y de un punto 'j t' (i= 1,2 n ) es la siguiente: )

I

"

La expresión para el elemento ds es:

-:=

G~I~"l.+- @Jl..)~?- ~----- @-J"')~ d J t' d 'j t' (L' ::. 2 , ---- M) , J)

~

y

Ahora: d. puede expresarse en funci.ón del nuevo sistema de coordenadas curvil~as ~'}~\ ~~ ___ x"" con 'XL':: xL'tt'f~· __ -.:(")así:

dy "'- pY. é) X

Ji' I

1"

Ji? J.~ a:::l. 'l.

1.

+ __ ,

t-

a"?..

'o x:....

d. x

"'l

~

ay

.;:;.:x.

LX L l'

55

,

solo varía y en cada una de las derivadas parciales a lo lar. go de la coordenada Xl (para un i específico) permaneciendo constantes ~ los dsmás .:x J , ; esta derivada 9'( es el vector base Q.,' (t':IJ 2.-,.,.,\

a.xJ

')

definido en el capitulo 3..

Obtenemos así:

--?

a. -::; , a.. ~L. ay , el ~J' J

-

aY!.

d

)!. t'

8-5

r-

d]i.J

,

ax.

-=-~

--

Comparando 8-5 con 8-4 concluimos: 8-6) gaJ'" Q,·.a,j' ;para emplear una notación utilizada ampliamente en los libros sobre cálculo tensorial. seguiremos llamando de ahora en adelante los vectores bases covariantes (o directos corno los hemos llamado por diferenciarlos de los vectores b::¡" -::;?¡ ) ~ ' esto podernos escribir ses reCIprocas..,.., V~t' ar: como ?ci l ' ; segun 8-6): ~U· = €lt" ~j" ó sea que cada component~ ¿j'".J del tensor métrico es igual al producto escalar de los correspondientes vectores bases fJ¡.· ~i ; desde este punto de vista se puede apreciar nuevamente la simetría del tensor métrico ya que el producto escalar es conmutativo e s decir: -.-, -';>

--

J

~I:J

: fll"

~J' ~

\,""l..

A partir de Al-.J se introduce una métrica en el espacio considerado de modo que se puede encontrar la expresión para los diferenciales de área y de volumen en espacios referidos a coordenadas curvilíneas y luego por integración se encuentra longitud de curvas, área de superficies y volumenes de sólidos; esto lo estudiaremos en el artículo referente a tensores relativos, /

Veamos algunos ejemplos del tensor métrico f/I'J' referido a varios sistemas coordenados en el espacio de 3 dimensiones. a)

Coordenadas cartesianas

J5'L-"" (J ~ 1) 1.. +@1")1.. + -- _~ j"')"l.. por lo tanto: 8,1 :=. I I /ln.,;:. ') 833:::' I y el resto de los ~ L'J' es cero; por lo tanto en coorSabemos que

denadas cartesianas el tensor métrico coincide con el delta de Kronecker ~IJ' = áLJ' ; si colocamos los componentes del tensor CJ

S9

a"

:=

--

'8" 'J, =-

I

De los resultados obtenidos en los tres casos anteriores se desprende que el diferencial de arco J ~ se puede expresar en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas respectivamente I de la siguiente manera:

cf!,?.~ G~,)"t+(d)'lr-+@)l)\

d-;'"l. + J'j'-4-

d?::"2..

dS7..:: G.:t')l"t"(X·)~Xl)\@y?)\:: d~1.. ~ .(2-d.'8-"L+ d~?.

J5

1..

~ @X') 1. +-C?l' )'(d :r1.) '"+ (t ~ xl.) ~ y))'L:= dY1. .f- Y'dcJ,'L+- . (l 5.v~;t rp Je."l..

Estas expresiones de el ') nos permiten por ejemplo, hallar la longitud de un arco de curva referida a un sistema dado de coordenadas ( sea cartesiano , cilíndrico, esférico u otro tipo cualquiera); en este caso, ca-mo se e studia en geometría diferencial, las variables :;:L' X \ x ~ (y por lo tanto los correspondientes diferenciales dx', d x"L, d,,¿3) son funciones de un solo parámetro) por lo tanto d.s queda expresando en función de una sola variable pudiéndose hallar la longitud de un arco finito de curva por simple integración. J

c-

Componentes contravariantes del tensor métrico ( tensor conjugado) -'l..

Acabamos de estudiar la cantidad d S como un invariante que se puede expresar en función de los diferenciales contravariantes Jx t ' (i =1,2 , . , n en el espacio n-:- dimensional) y de ciertos coeficientes ~'T los cuales, como hemos visto, son propiamente las componentes del tensor d? estos se transforman doblemente covariantes al cambiar 1")'

8

--3i

)

de un sistema coordenado a otro; también hemos estudiado que ~I:'f = ~'" por lo tanto podemos apreciar que la fórmula: d:$'Z.:: g. .f d. ~l' cJ ::t J ' expresa el hecho de que el tensor se encuentra referido a la base covariante lJ,· (llamada al' en el artículo 3) ; sabernos sin embargo que las componentes de todo tensor se pueden expresar ya sea referidas a la base covariante ( 4:. ) o a la base recíproca o contravariante (aL' -=- ~t' ) ; -

-#

en síntesis: 8-6)

-,

siendo d'X l..' los diferenciales tomados a lo largo d e la base contravarian--. te al :: V ::t l' (ver ecuación S-7 a) ,

60 Así como en la parte B de este artículo concluimos que 'l,,{ son las componentes covariantes del tensor. , métrico, de la misma manera podemos ahora (de 8-6 ) concluir que son las componentes contravariantes de un tensor de 2 o. Orden ya que a 1 multiplicarla s por las componente s covariantes de dos vectores ( J.:t~) d~i :componentes covariantes del vector d-:; ) produce el invariante c1~~ (ver art. 7 cociente tensorial).

g'J

I

Encontremos el valor de los términos

:J ''J' del

3

tensor conjugado

l'

•

J

•

Tenemos en coordenadas cartesianas: -

_1

'1.

L'

)

L'

a ':1 a ~ ;:: d ~ " d J(' ya que en el sistema cartesiano no hay diferencia entre las componentes covariante s y contravariantes de cualquier vector (ver art: 5: producto escalar). Ahora I si pasamos a otro sistema coordenado Xl (i = 1,2 I • • n) sabemos que las componentes covarian tes se transforman así:

doS

:=.

por lo tanto: I I

,

d. :::i.i

I

Tenemos entonces:

J

d::t. I C

con:

•

I

a~J axl( 01 'jL' -d 'j'"

por lo tanto

J

. a.:tt., ~ x

son:

,

8-7)

.

é)'jK

los términ03

S J'J'

J

.'

a~1(

(k: índice mudo :1,2, .. n)

(m: índice mudo: 1,2

Ahora: de 8- 3 " por lo tanto el producto interno

a- 'j ~. a

){.J

a

'j 1(

.,

n)

es igual a:

j"?1"¡

pero:

a:xJ . 'dX 1

a

I

•

Tenemos pue s ',

(vale -.l para k= m y --º para k;i: m )

a::t.' _ a.~R ,

\

61 L•

.'

Al concluir que;S-S) ~ü. ~ tJ :: &R hemos deducido que el tensor conjugado t"J' como matriz, es la matriz inversa del tensor métrico ya que el producto interno de dos tensores I el uno doblemente covariante y el otro doblement~ covariante nos produce, como matriz, la matriz producto yademás como matriz, es la matriz unitaria; por ejemplo si estamos en el espacio tridimensional S-S} resulta:

9

I

S;,

$11

g12

'/13

Ó21

3-22

~23

J31

!-32

d33

•

~12

l21

~22

d(f23

31

~32

J33

3-

dI' 3/1 á'1l. d

'l.' +

~

l' d

11

/ + 3,1 d .¡.8,) 8 S ~" 33 d" 3d d r,lo ~d" ~JI 3 1-

l.l

2

13

¿ZI 8" +:Jo d

13

-

1

o

o

O

1

o

o

o

1

de sarrollando se obtiene:

•

./ 1"

~ll

11

+-

32)

~31

:; I -:-0

:.0

"'0

Estas 3 2 ecuaciones (n2 en el espacio n-dimensional) estan representadas tensorialmente por la ecuación gJ"~ 'j '"

.;;J'j"

fJj3

vectores unitaria;

l..)

(, J

J

é)'j,

,

'V'Xj

~ 1(1

é) .'J'~

"d.:ú' • ;;) jJ' •

-

.;3 'j J