Ejercicio 1 de funci´on no diferenciable en (0, 0).

Probar que la funci´on  3 3 x − y f (x, y ) := x 2 + y 2  0 no es diferenciable en (0, 0).

si (x, y ) 6= (0, 0), si (x, y ) = (0, 0),

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Soluci´on

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Derivadas parciales: ∂f f (h, 0) − f (0, 0) h3 /h2 (0, 0) = l´ım = l´ım =1 h→0 h→0 ∂x h h ∂f f (0, k) − f (0, 0) −k 3 /k 2 (0, 0) = l´ım = l´ım = −1 k→0 k→0 ∂y k k

Soluci´on

2/5

Derivadas parciales: ∂f f (h, 0) − f (0, 0) h3 /h2 (0, 0) = l´ım = l´ım =1 h→0 h→0 ∂x h h ∂f f (0, k) − f (0, 0) −k 3 /k 2 (0, 0) = l´ım = l´ım = −1 k→0 k→0 ∂y k k

Soluci´on

3/5

L´ımite doble f (h, k) − f (0, 0) − h + k √ = (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

l´ım (h,k)→(0,0)

h3 − k 3 −h+k 2 h2 + k √ = h2 + k 2

h3 − k 3 − h(h2 + k 2 ) + k(h2 + k 2 ) √ = (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

−hk 2 + kh2 √ . (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

Soluci´on

3/5

L´ımite doble f (h, k) − f (0, 0) − h + k √ = (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

l´ım (h,k)→(0,0)

h3 − k 3 −h+k 2 h2 + k √ = h2 + k 2

h3 − k 3 − h(h2 + k 2 ) + k(h2 + k 2 ) √ = (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

−hk 2 + kh2 √ . (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

Soluci´on

3/5

L´ımite doble f (h, k) − f (0, 0) − h + k √ = (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

l´ım (h,k)→(0,0)

h3 − k 3 −h+k 2 h2 + k √ = h2 + k 2

h3 − k 3 − h(h2 + k 2 ) + k(h2 + k 2 ) √ = (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

−hk 2 + kh2 √ . (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

Soluci´on

3/5

L´ımite doble f (h, k) − f (0, 0) − h + k √ = (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

l´ım (h,k)→(0,0)

h3 − k 3 −h+k 2 h2 + k √ = h2 + k 2

h3 − k 3 − h(h2 + k 2 ) + k(h2 + k 2 ) √ = (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

−hk 2 + kh2 √ . (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2 l´ım

Soluci´on

4/5

L´ımite direccional cuando k = mh (m 6= 0, m 6= 1) h3 (m − m2 ) p = h→0 h2 (1 + m2 ) h2 (1 + m2 ) l´ım

h3 (m − m2 ) h3 (m − m2 ) √ = l´ım 2 h→0 h2 |h|(1 + m2 ) 1 + m2 h→0 h |h|(1 + m2 )3/2 l´ım

Pero, l´ım+

h→0

h3 (m − m2 ) m − m2 = h3 (1 + m2 )3/2 (1 + m2 )3/2 m2 − m h3 (m − m2 ) 6= = l´ ım (1 + m2 )3/2 h→0− −h3 (1 + m2 )3/2

En consecuencia, el l´ımite direccional no existe.

Soluci´on

4/5

L´ımite direccional cuando k = mh (m 6= 0, m 6= 1) h3 (m − m2 ) p = h→0 h2 (1 + m2 ) h2 (1 + m2 ) l´ım

h3 (m − m2 ) h3 (m − m2 ) √ = l´ım 2 h→0 h2 |h|(1 + m2 ) 1 + m2 h→0 h |h|(1 + m2 )3/2 l´ım

Pero, l´ım+

h→0

h3 (m − m2 ) m − m2 = h3 (1 + m2 )3/2 (1 + m2 )3/2 m2 − m h3 (m − m2 ) 6= = l´ ım (1 + m2 )3/2 h→0− −h3 (1 + m2 )3/2

En consecuencia, el l´ımite direccional no existe.

Soluci´on

4/5

L´ımite direccional cuando k = mh (m 6= 0, m 6= 1) h3 (m − m2 ) p = h→0 h2 (1 + m2 ) h2 (1 + m2 ) l´ım

h3 (m − m2 ) h3 (m − m2 ) √ = l´ım 2 h→0 h2 |h|(1 + m2 ) 1 + m2 h→0 h |h|(1 + m2 )3/2 l´ım

Pero, l´ım+

h→0

h3 (m − m2 ) m − m2 = h3 (1 + m2 )3/2 (1 + m2 )3/2 m2 − m h3 (m − m2 ) 6= = l´ ım (1 + m2 )3/2 h→0− −h3 (1 + m2 )3/2

En consecuencia, el l´ımite direccional no existe.

Soluci´on

4/5

L´ımite direccional cuando k = mh (m 6= 0, m 6= 1) h3 (m − m2 ) p = h→0 h2 (1 + m2 ) h2 (1 + m2 ) l´ım

h3 (m − m2 ) h3 (m − m2 ) √ = l´ım 2 h→0 h2 |h|(1 + m2 ) 1 + m2 h→0 h |h|(1 + m2 )3/2 l´ım

Pero, l´ım+

h→0

h3 (m − m2 ) m − m2 = h3 (1 + m2 )3/2 (1 + m2 )3/2 m2 − m h3 (m − m2 ) 6= = l´ ım (1 + m2 )3/2 h→0− −h3 (1 + m2 )3/2

En consecuencia, el l´ımite direccional no existe.

Soluci´on

4/5

L´ımite direccional cuando k = mh (m 6= 0, m 6= 1) h3 (m − m2 ) p = h→0 h2 (1 + m2 ) h2 (1 + m2 ) l´ım

h3 (m − m2 ) h3 (m − m2 ) √ = l´ım 2 h→0 h2 |h|(1 + m2 ) 1 + m2 h→0 h |h|(1 + m2 )3/2 l´ım

Pero, l´ım+

h→0

h3 (m − m2 ) m − m2 = h3 (1 + m2 )3/2 (1 + m2 )3/2 h3 (m − m2 ) m2 − m = l´ ım 6= (1 + m2 )3/2 h→0− −h3 (1 + m2 )3/2

En consecuencia, el l´ımite direccional no existe.

Soluci´on

4/5

L´ımite direccional cuando k = mh (m 6= 0, m 6= 1) h3 (m − m2 ) p = h→0 h2 (1 + m2 ) h2 (1 + m2 ) l´ım

h3 (m − m2 ) h3 (m − m2 ) √ = l´ım 2 h→0 h2 |h|(1 + m2 ) 1 + m2 h→0 h |h|(1 + m2 )3/2 l´ım

Pero, l´ım+

h→0

h3 (m − m2 ) m − m2 = h3 (1 + m2 )3/2 (1 + m2 )3/2 h3 (m − m2 ) m2 − m = l´ ım 6= (1 + m2 )3/2 h→0− −h3 (1 + m2 )3/2

En consecuencia, el l´ımite direccional no existe.

Soluci´on

Por tanto, no existe el l´ımite doble; lo que implica que f (x, y ) no es diferenciable en (0, 0).

Pero . . . ¿es f (x, y ) continua en (0, 0)?

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