Una elipse tiene de excentricidad 3/5 y pasa por el punto P(3,4). Se pide: 1º La ecuación reducida de la elipse. 2º La ecuación de la tangente en P. 3º La ecuación de la normal en P. Solución Se pide la ecuación reducida de una elipse conocido un punto y dato relativo a su forma (excentricidad), por lo tanto podemos elegir donde la centramos y si es de eje horizontal o vertical. Para simplificar los cálculos, la suponemos de eje horizontal y centrada en el origen. x2 a2

+

y2 b2

=1

Siendo los parámetros de la elipse: a el semieje mayor, b el semieje menor, e la c a

excentricidad ( e = ) y c la semidistancia focal. La relación entre los parámetros es: a2 = b2 + c2 Planteamiento: - Si P pertenece a la elipse, las coordenadas de P satisfacen su ecuación: 32 a

-

c a

Excentricidad e = =

2

+

42 b

2

=1

:

9 a

2

+

16 b2

=1

3 5

Los dos datos que nos dan y la relación entre parámetros permiten establecer un sistema de tres ecuaciones.  9 16  2 + 2 =1 b a c 3 3 9 2  = : c = a : c2 = a  5 25  2 a 25 2 a = b + c  9 25 34 + =1 : =1 : 2 2 a a a2

La ecuación de la elipse es :

 9 16 + =1 2 16 2  b2 : a : a = b2 9 25 2 2 2 a = b + a 25 

a 2 = 41 : b 2 =

 16  9 + =1 : 2 16 2 a a 25 

16 2 16 544 a = ⋅ 34 = 25 25 25

y2 x2 + =1 34 544 25

Ecuación de la tangente. La forma más sencilla es expresar la recta en forma punto pendiente aprovechando la definición de derivada de una función en un punto: “pendiente de la recta tangente a la función en el punto”. Punto: (3, 4) y − 4 = m ⋅ (x − 3) m = y ′(3, 4)

Para calcular y’, hay que tener en cuenta que la función está expresada en forma explicita.

′ ′  2   2 2 2  2 ⋅ 544 ⋅ x y y x x 2x 2 y ⋅ y ′     25 = − 16 x ′ ′ + = + 1 : 1 : 0 : y = + = = −  34 544   34 544  34 544 2 ⋅ 34 ⋅ y 25 y 25 25  25    16 ⋅ 3 12 y ′(3, 4) = − =− 25 ⋅ 4 25

Sustituyendo en la ecuación, se obtiene la recta punto pendiente de la tangente a la elipse en P. y−4 = −

12 (x − 3) 25

Ecuación de la normal. Por ser perpendicular a la tangente, sus pendientes son inversas y opuestas. mN =

Ecuación de la normal: y − 4 =

25 −1 −1 = = m T − 12 12 25

25 (x − 3) 12