INTEGRALES DEFINIDAS. CALCULO DE PRIMITIVAS 3

1. Calcular

∫

2. Calcular:

∫

3. Sea a =

x ⋅ 1 + x 2 dx Solución.

0 π

cos 2 x ⋅ dx Solución. π

−π

π/ 2

∫0

x ⋅ sen 2 x ⋅ dx y b =

Solución. a + b =

∫ 5. ∫ 6. ∫ 4.

2π

0 2π

−π π

7 3

π/2

∫0

x ⋅ cos2 x ⋅ dx . Calcular a + b, a − b y obtener los valores de a y b.

π2 π2 1 π2 1 1 ; a−b = ; a = + ; b= − 8 16 4 16 4 2

e x ·sen x ⋅ dx Solución.

1 − e 2π 2

x sen x ⋅ dx Solución. −3π 1 − cos x ⋅ dx Solución. 2 2

0

ex

Ln 2

1

∫0 (e x + 4)2 ⋅ dx Solución. 30 dx 3 8. ∫ Solución. 8 x (1 + Ln x ) 7.

e

3

1

9.

3x − 9

1

∫

10.

−1

4 x 2 − 3x + 1 x3

1

∫ 1+ x 0

2

11. Calcular: 12.

∫

π

4

0

14. Calcular:

∫

π

0

4

⋅ dx Solución.

∫

π

2

sen x 2

3 + sen x

0

∫( 2

0

)

1 Ln 2 − 2 2

dx

0

1+ x

Ln3 4

⋅ dx Solución.

π 2 − 4 3

x − 3 x ⋅ dx Solución.

1

∫

3 2 4

⋅ dx Solución. −

tg 4 x ⋅ dx Solución.

13. Calcular:

15.

8

4 3 2− 32 3 2

Solución. 2 2 − 1

sen 3 x ⋅ cos 4 x ⋅ dx Solución.

2 9 2 − 35 560

16. Calcular la siguiente integral definida:

e3

∫1

Ln x + 1 dx x

Nota.- El símbolo Ln representa al logaritmo neperiano. Solución. 1

∫0 3 18. Calcular ∫ (x − 2) ⋅ (x − 4) dx 1

17. Calcular: arcsen x ⋅ dx Solución.

14 3

π −1 2

En donde a representa el valor absoluto de a. Solución. 2  x ² + e x Sí x ≤ 0 Calcular: 19. Se considera la función: f ( x ) =   1 − x ² Si 0 < x ≤ 1 2 π Solución. e − + 3 4

1

1

∫

−2

f ( x ) ⋅ dx

20. Determinar f (x) sabiendo que f ’’’(x)=24x , f (0) = 0 , f ’(0) = 1 y f ’’(0) = 2. Solución. f ( x ) = x 4 + x 2 + x 21. Encontrar una función F, sabiendo que F' ' (x ) = Solución. F(x ) = x − Ln x

1 x2

y que F'(1)=0 y F(1)=1.

22. Encontrar una función f(x) tal que la derivada sea f ′(x ) =

1 + 2x 2

1 π y cumpla f   = 2 4

1 + 4x 1 1 π Ln 2 2 Solución. f (x ) = arctg 2 x + Ln 1 + 4x + − 2 4 8 4 23. De una función se saben los siguientes datos: f ′′(x ) = 7 , f ′(1) = 1 , f (0 ) = 0 . Calcular f(x).

(

Solución. f (x ) =

)

7x 2 − 6x 2

2

ÁREAS 1. Se considera la función: y =

2x

2

9− x2 a) Dibujar su gráfica indicando su dominio de definición. b) Calcular el área de la región acotada limitada por la curva anterior y la recta y = 1.

Solución. b) 6 3 + 6 Ln

3 −3 3 +3

(

= 6 3 + 6 Ln 2 − 3

2. Se considera la función y =

)

x3 . 2

a) Dibujar su gráfica. b) Calcular la recta tangente en x = 1 a la gráfica dibujada y calcular el área limitada por dicha gráfica la tangente y el eje OX. 27 2 Solución. b) u 8 3. Hallar el área de la región acotada del plano limitada por las parábolas y = x² − x , y² = 2x. Solución. 2 u2 4. Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones y = x2 − 2x − 1, y = 2x − 3. Hacer primero una representación esquemática de estas gráficas. 8 2 2 Solución. u 3 5. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: x f (x ) = 1 + y g(x ) = x + 1 3 1 Solución. u 2 6 6. Área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) = 6x − x2 ; g(x) = −2x + x2 64 2 Solución. u 3 7. Hallar el área encerrada por las líneas cuyas ecuaciones son f(x) = x · ex; y = 0; x = 0; x = 1 2 Solución. 1u 8. Calcular el área de la región del semiplano y ≥ 0 limitada por la curva f(x) = Ln x

(Ln = logaritmo neperiano), su tangente en x = 1 y la recta x = 3 Solución. 4 − Ln 27 u2

9. Calcular el área comprendida entre f(x) = x3 − 3x + 2, y g(x) = x + 2. Solución. 8 u2 10. Hallar el área de la región plana acotada limitada por la curva. 1 f (x ) = 2 x +1 El eje horizontal y las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexión de la curva. π Solución. u 2 3

3

11. Hallar el área limitada por la función f (x ) =

x = π. Solución.

1 + cos x , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y 2

π + 3 u2 6

12. Calcular el área de la región plana acotada limitada por la curva f(x) = |x−1|·ex, el eje OX y las rectas x = −2, x = 2. Nota: La notación |a| representa el valor absoluto de a. 4 2 Solución. 2e − u e2 13. Sea la función f(x) = x·|x – 1|. Se pide: Calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 0; x = 1. 1 Solución. u 2 6  x + 1 Sí x ≤ 0 g(x ) =  − x + 1 Sí x > 0 a) Dibujar las gráficas de ambas funciones en un mismo diagrama. b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las gráficas de ambas funciones. 5 Solución. b) + 3 3 u 2 3

14. Considérese la función f(x) = x2 −x − 2, y,

15. Hallar el área de la región plana acotada limitada por el eje de abscisas y la curva f(x) = sen 2 x cos x en el intervalo [−π , π]. 4 Solución. u 2 3 16. Calcular el área del recinto plano determinado por las rectas y = x, y = 2x y la parábola y = x2 11 2 Solución. u 6 17. Hallar el valor de la constante b para que la función f(x) = x3 − 2x2 + bx tenga por tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante. Calcular entonces el área de la región limitada por esa tangente y la gráfica de f. 4 Solución. b = 1; u 2 3 18. Calcular y dibujar el área comprendida por la función f (x ) =

1 2

x +3

y sus tangentes trazada

en los puntos de inflexión de la curva. 45 − 8π 3 2 Solución. u 72 19. Encontrar un numero a >1 para que el área limitada por la curva y =

abscisas y las rectas x = 1 y x = a sea 9. Solución. e3 u2

4

Ln 2 x , el eje de x

20. Sabiendo que el área comprendida entre la curva y = x y la recta y = b·x es 1, calcular el valor de b. 1 Solución. 3 6 21. La parábola y = ax2 y la cúbica y = x3 se cortan en el primer cuadrante encerrando una región limitada, de área igual a 2/3 a. Calcular el valor de a. Solución. a = 2 22. Calcular el valor de a sabiendo que el área comprendida entre la parábola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 es 36. Solución. a = 5 23. Calcular el área de un trapecio de base menor b, base mayor B y altura h. (B + b ) Solución. A = h ⋅ 2 24. Calcular el área de una circunferencia de radio R Solución. A = πR 2 25. Calcular el área de la elipse de ecuación Solución. A = πab u 2

5

x2 a2

+

y2 b2

= 1.

VOLUMENES 1. Calcular el volumen de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto π2 3 limitado por la gráfica y = x ⋅ sen x , 0 ≤ x ≤ π y el eje OX. Solución. u 4 2. Determinar el volumen generado al girar respecto al eje OX (eje de abscisas) la región acotada 64 π u3 por las gráficas de las funciones f (x) = x² y g (x) = 2x. Solución. 15 3. Encontrar el volumen de la figura que se obtiene girando la gráfica de la función f(x), en torno al eje OX, en el intervalo [−2,2]. x ⋅ e −x

f (x ) =

Solución.

(

2

)

π 1 − e −8 u 3 2

4. Calcular el volumen de la figura de revolución determinada por la región comprendida entre 2 x = 0 y x = 2 y las curvas f(x) = (x−2)2 y g(x) = x2 al girar sobre el eje OX. Solución. π u 3 5 5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las π gráficas de y = f(x) = 2x − x2; y = g(x) = −x + 2. Solución. u 3 5 6. Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la 1 3 región delimitada por f (x ) = + cos x , el eje de abscisas y las rectas x =0 y x =π. Solución. π 2 u 3 2 4 7. Se quiere fabricar un candelabro macizo a partir de la figura de revolución determinada por la ( x − 2)² + 1 x ∈ [0 , 2] al girar sobre el eje OX, cuyas magnitudes vienen expresadas en función f ( x ) =  x ∈ (2 , 4]  1 decímetros. Calcular el precio de dicho objeto fabricado en cobre de 0’15 €./cm³. Solución. 7'41 € 8. Calcular el volumen del cilindro de radio R y altura h. Solución. V = π ⋅ R 2 h 9. Calcular el volumen de una esfera de radio R. Solución. V =

4 πR 3 3

10. Calcular el volumen del cono de radio R y altura h. Solución. V =

π 2 R h 3

11. Calcular el volumen del elipsoide que se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX la

superficie delimitada por la parte positiva de

x2 a

2

+

y2 b

2

6

= 1 . Solución. V =

4 πab 2 3