3. Señales Introducción y outline

Outline Señales y Sistemas Discretos: SLIT, Muestreo, análisis tiempo-frecuencia, autocorrelación, espectro, transformada Z, DTFT, DFT, FFT Filtros y Estimación: Filtros FIR - IIR, filtros adaptativos, filtro Wiener, Steepest Descent. Aplicación: Procesamiento de voz

Sistemas SLIT Lineal: la señales de entrada x1(t) y x2(t) generan salidas y1(t) y y2(t), respectivamente, y sí a1 y a2 son constantes, entonces la señal de entrada: a1x1(t) + a2x2(t) genera la salida a1y1(t) + a2y2(t). Invariante en el tiempo: Si la señal de entrada x(t) genera la salida y(t), entonces, para cada número real s, la señal corrida en el tiempo x*(t) = x (t - s) genera la salida corrida en el tiempo y*(t) = y(t - s).

Respuesta impulso la respuesta del sistema a cualquier entrada es completamente determinada por la respuesta impulso h[n] del sistema (la salida cuando la entrada es un solo impulso en tiempo 0)

Funciones propias de SLIT Todas las funciones exponenciales son funciones propias de los SLIT. Si z es cualquier número complejo, entonces la señal: x[n] = zn es llamada una señal exponencial. Si introducimos esta señal a cualquier sistema SLIT con respuesta impulso h[n], la salida del sistema es:

Donde: H(z) es un valor propio de la exponencial completa y es constante independiente del tiempo n. H(z) es también la transformada Z

Causalidad y estabilidad Un sistema causal no responde hasta que no haya una entrada en el sistema. En particular la respuesta impulso no puede comenzar antes de n=0. Un SLIT es causal si y solo si su respuesta impulso satisface: h[n] = 0 para todo n < 0 Un sistema es estable si toda entrada acotada genera un salida acotada. En general, si una entrada acotada x[n]< B, se mete a un SLIT con respuesta impulso h[n], la salida:

Por tanto un SLIT es estable si y solo si su respuesta impulso es absolutamente sumable, o equivalentemente el círculo |z| = 1 esta contenido en la ROC de la transformada Z de la respuesta impulso.

Análisis de Fourier Serie de Fourier: Señales periódicas, descomposición en bases ortonormales (exponenciales complejas)

Transformada de Fourier: Generalización asumiendo señales periódicas de periodo infinito.

Análisis de Fourier DTFT (Discrete Time Fourier Transform): Muestrear la señal contínua en el tiempo y ver el espectro

DFT (Discrete Fourier Transform): Muestrear el espectro de la DFT para tenerlo

FFT (Fast Fourier Transform): Implementaciones rápidas de la DFT -> O(N2) operaciones aritméticas, mientras que la FFT se puede computar solo en O(N log N) operaciones.

Relación entre DTFT y transformada Z La DTFT es un caso especial de la transformada Z. Es la evaluación de la transformada Z en el círculo unitario en el plano complejo.

Filtros FIR Finite Impulse Response

No requieren retroalimenatión (no se retroalimentan los errores). Fácil implementación. Todos los polos están en el origen y por tanto son estables. Se puede tener fase lineal al hacer la secuencia de coeficientes simétrica. No son tan eficientes como los IIR.

Filtros IIR Infinite Impulse Response

Es necesario lidiar con la salida del filtro para valores t = 0. Generalmente se diseñan primero análogamente (Chebyshev, Butterworth) y luego se discretizan usando por ejemplo la transformación bilineal.

Predicción Lineal Operación matemática en la que futuros valores de una señal discreta son estimados como una función lineal de las muestras previas.

Minimizar el valor esperado el error al cuadrado E[e2(n)] Linear predictive coding (LPC) es una herramienta usada para representar señales digitales usando predicción lineal. Es una de las más poderosas técnicas de análisis de voz para codificar voz de buena calidad a tazas de bits bajas, provee estimados acertados de parámetros de voz. Otra técnica de predicción es el filtro Wiener, su propósito es reducir la cantidad de ruido presente en una señal por comparación con el estimado de la señal de ruido requerida. El filtro Wiener está muy relacionado con la solución de mínimos cuadrados. Se puede implementar como filtro FIR.

Autocorrelación La autocorrelación es la cross-correlación de la señal consigo misma. Es la similitud de las observaciones como función de la separación entre ellas. Sirve para encontrar patrones que se repiten, como la presencia de señales periódicas bajo ruido, o para identificar componentes de frecuencia faltantes en una señal. La autocorrelación tiene su máximo en t=0. La autocorrelación de una señal periódica es tabmién periódica con el mismo periodo de la señal.

Estimación Espectral Queremos estimar la densidad espectral de potencia de las señales.

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DFT Usar ventanas: Barlett, Welch, Blackman Modelos ARMA (autoregresive-moving average) Algoritmo MUSIC y ESPRIT (también sirven para estimación de DOA - direction of arrival)