2.45 Una compañía esta planeando hacer depósitos de tal manera que cada uno es 6% mas grande que el anterior. ¿Qué tan grande debe ser el segundo deposito (al final de año 2) si los depósitos se extienden hasta el año 15 y el cuarto depósito es $1250? Utilice una tasa de interés del 10% anual. Datos E 6% t 15 años. A4 $1250 i 10% anual. A2 ?
Solución: A4 D(1 E ) 3
R: el segundo depósito debe ser de : $1112.50
A4 1250 $1049.52 3 (1 E ) (1 0.06) 3 A2 D(1 E ) 1049.52(1 0.06)
D
A2 $1112.50
2.46 Si una persona invierte $5000 ahora en una franquicia que le promete que su inversión valdrá $10,000 en 3 años, ¿Qué tasa de remoto obtendrá? Datos: P $5000 F $10000 t 3 años. i?
Solución: F P (1 i ) t
F i t 1 100 P 10000 i 3 1 100 5000 i 26% anual.
R: obtendrá una tasa de retorno de 26% anual.
2.47 A un empresario le acaban de sugerir la compra de acciones en la compañía GRQ. Cada acción es vendida a $25. Si compra 500 acciones y estas aumentan a $3 por acción en 2 años, ¿Qué tasa de remoto obtendrá en su inversión? Datos: P $12500 F $15000 t 2años. i? Solución: F P (1 i ) t
R: el empresario obtendrá una tasa de retorno de 9.5% anual.
F i t 1 100 P 15000 i 3 1 100 12500 i 9.5% anual. 2.48 Ciertas compañías pagan una prima a cada ingeniero a final de cada año con bases en las utilidades de la compañía para este año. Si la compañía invirtió $2 millones para empezar. ¿Qué tasa de remoto ha obtenido si la prima de cada ingen iero ha sido de $3000 anual durante los últimos 10 años? Suponga que la compañía tiene seis ingenieros y que el dinero pagado de las primas representa el 4% de las utilidades de la compañía. Datos: P $2000000 R $18000 0.96 I t 10 años. i? Solución:
Prueba y Error. i 20% 19% 18% 18.5%
F(i) 4.1925 4.3389 4.4941 4.4154
1 (1 i ) t P R i 4% 18000 96% X X 432000 R 18000 432000 R 450000 1 (1 i ) 10 2000000 450000 i 10 1 (1 i ) 4.4444 i Interpolando:
(18% - 18.5%) (4.4941 - 4.4154) Y (4.4444 4.4154) .5% 0.0787
i 18.5% 0.1842 i 18.3% anual.
Y 0.0290 Y 0.1842% R: Ha obtenido una tasa de retorno de 18.3% anual. 2.49 Si una persona compro una casa hace 5 años a un costo de $80,000, ¿Qué tasa de retomo obtuvo sobre su inversión si encontró que ahora puede vender la casa por $100,000? Suponga que los costos de sierre asociados con la venta ascenderán al 10% del precio de venta Datos: P $80000
F $100000 0.10(100000 ) F 110000 t 5años. i? Solución: F P (1 i ) t
R: obtuvo una tasa de retorno de 6.6% anual.
F i t 1 100 P 110000 i 3 1 100 80000 i 6.6% anual.
2.50 Pedro acaba de heredar $ 100000 de su tío favorito, quien en testamento estipuló que cierto banco guardaría el dinero en dep ósito para su sobrino. El testamento estipulaba además que Pedro podría retirar $ 10000 dentro de 1 año, $ 11000 dentro de 2 años y sumas que aumentan en $ 1000 anualmente hasta que la cantidad original de agotara. Si la herencia tarda 18 años en llegar a cero, ¿qué tasa de interés fue el dinero ganando mientras estaba en depósito? - Flujo de Caja
$100000
$20000 $21000 $18000 $19000 $16000 $17000 $ 1 5 0 0 0 $14000 $12000 $13000 $10000 $11000
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$26000 $27000 $24000 $25000 $22000 $23000
13
14
15
16
17
18
AÑ O S
Datos P = $ 100000 Retiro de $ 10000 dentro de 1 año, de $ 11000 dentro de 2 años y sumas que aumentan en $ 1000 anualmente hasta que la cantidad original se ag otara. t = 18 años i=? - Forma de Solución # 1 100000 (1 i) 18 - 10000 (1 i) 17 - 11000 (1 i) 16 - 12000 (1 i) 15 - 13000 (1 i) 14 - 14000 (1 i) 13 - 15000 (1 i) 12 - 16000 (1 i) 11 - 17000 (1 i) 10 - 18000 (1 i) 9 - 19000 (1 i) 8 - 20000 (1 i) 7 - 21000 (1 i) 6 - 22000 (1 i) 5 - 23000 (1 i) 4 - 24000 (1 i) 3 - 25000 (1 i) 2 - 26000 (1 i) - 27000 0
Para obtener el valor de i en la ecuación antes planteada, se tiene que aplicar algún método numérico. En nuestro caso, se utilizará el método Prueba y Error.
Prueba y Error i F(i) 10 % -179,991.73 12 % -103,081.53 13 % -51,171.80 14 % 13618.65 13.8 % - 476.21 13.9 % 6496.61 13.82 % 906.53 13.81 % 79.64 13.807 % ≈0
R/ La tasa de interés que se le aplicó al dinero mientras estaba en depósito fue del 13.807 % anual.
- Forma de Solución # 2
G
1 18 RG $ 1000 18 i (1 i) - 1
27000 - 10000 $1000 17
RT 10000
10000 18000 100000 * i 18 i (1 i) - 1 1 - (1 i) -18
1 - (1 i) 10000 * i (1 i) -18
18
- 1 1000 (1 i)18 - 1 - (18000 * i) 100000 i 2 * (1 i)18 - 1
Prueba y Error i F(i) 13 % 105,670.47 13.8 % 100,046.48 13.9 % 99,379.89 13.807 % ≈ 100000
2.51 Una pequeña compañía desea empezar a ahorrar dinero, de manera que en 3 años habrá ahorrado para comprar un nuevo sistema de computadoras que cuesta $ 12000. Si la compañía deposita $ 3000 al final del año 1 y luego aumenta su depósito en 15 % cada año, ¿qué tasa de retorno se requerirá sobre la inversión de modo que la compañía pueda comprar el computador en el plazo fijado? - Flujo de Caja
$ 12000
$ 3 9 6 7 .5 $ 3000
0
1
$ 3450
2
3
A Ñ O S
Datos F = $ 12000 t = 3 años Depósito de $ 3000 al final del año 1 y luego aumenta su depósito en 15 % cada año. i=?
F2 3000 (1 i)
F3 3000 (1 i) 3450 (1 i) 3967.5 12000 3000 (1 i) 2 3450 (1 i) - 8032.5 0 1 i 1.159 i 15.9 % R/ Se requiere una tasa de retorno del 15.9 % anual sobre la inversión para que la compañía pueda comprar el computador en el plazo fijado.
2.52 ¿Cuánto tarda multiplicar por cinco un monto inicial de dinero a una tasa de interés del 17 % anual?
5P
P
t = ? i = 17 % anual
Datos F = 5P P=P i = 17 % anual t=? F P (1 i) t Despejando t se obtiene : F log P t log (1 i) 5P log P t log (1 0.17) t 10.25 años
R/ Se tardaría 10.25 años en multiplicar por cinco un monto inicial de dinero a una tasa de interés del 17 % anual. 2.53 ¿Cuánto tardará un prestatario en rembols ar un préstamo de $ 30000 si paga $ 2000 anualmente y la tasa de interés es (a) 0 %, (b) 5 % anual, (c) 18 % anual?
$ 30000
$ 2000
t = ?
Datos P = $ 30000 Pagos de $ 2000 anualmente 1. i = 0 % 2. i = 5 % anual 3. i = 18 % anual
a) t
30000 15 años 2000
c) t (Porque los $ 2000 que pagará anualmente no amortizará ni siquiera los intereses generados por el capital).
b) R
P *i 1 - (1 i) - t
Despejando t se obtiene : t
log R - log (R - Pi) log (1 i)
t
log (2000) - log 2000 - (30000)(0. 05) log (1 0.05)
t 28.41 años
2.54 Si un empleado gana una pequeña lotería por $ 50000, ¿durante cuánto tiempo podrá retirar $ 10000 anuales si puede ganar 12 % anual sobre sus inversiones?
$ 50000
$ 10000
t = ? i = 12 % anual
Datos P = $ 50000 Retiros de $ 10000 anualmente i = 12 % anual t=?
R
P *i 1 - (1 i) - t
Despejando t se obtiene : t
log R - log (R - Pi) log (1 i)
t
log (10000) - log 10000 - (50000)(0.12) log (1 0.12)
t 8.09 años
R/ El empleado podrá retirar $ 10000 anualmente durante un periodo de 8.09 años.
2.55 Si un empleado desea tener $ 10,000 disponibles para unas vacaciones en Australia. ¿Cuándo será capaz de ir si deposita $ 1,000 anulas en una cuenta que gana intereses anuales del 8%? Datos
Rta: Para poder tener disponible los $ 10000 depositando $ 1000 al 8% anual tendría que esperar 8 años. 2.56 Un fondo de pensiones creado hace algún tiempo tiene ahora $ 600,000. Si el primer depósito fue $ 50,000 y cada depósito y cada depósito posterior se redujo en $ 4,000. ¿Hace cuanto tiempo fue abierto el fondo si este gano 11% anuales? Datos
2.57 ¿Cuánto tiempo tardara un fondo de ahorros en acumular una cantidad de $ 15,000 si se depositan $ 1,000 al final de año 1 y la cantidad del depó sito aumentan en 10% cada año? Suponga que la tasa de interés es de 10% anual. Datos
3.1 ¿Cuál es la diferencia entre una tasa de interés nominal y una simple? Que la tasa de interés nominal es una tasa de interés compuesta es decir que hace que gane interés sobre interés, comportándose como una función exponencial, en cambio la simple hace que el interés sea constante en todos los periodos, mejor dicho el que se le aplica al mismo principal. 3.2 ¿Qué significa al periodo de interés y al periodo de pago? El periodo de interés es simplemente el periodo o lapso de tiempo en que se cobran o pagan el interés, mientras que el pago es el tiempo en que hace uno los depósitos o retiros. 3.3 ¿Cuál es la tasa de interés nominal mensual para una tasa de interés de (a) 0.50% cada 2 días y (b) 0.1% diario?. Suponga que el mes tiene 30 días. Datos: Solución:
(a) i 0.5%
J ni
t 2 días.
J 15 0.5%
n 15 J mensual ?
J 7.5% mensual./diario.
(b) i 0.1%
J ni
t diario.
J 30 0.1%
n 30
J 3% mensual./diario.
J mensual ?
3.4 Identifique las siguientes tasas de interés como nominales o efectivas. (a) i = 1½ % Mensual, (b) i = 3% trimestral compuesto trimestralmente, (c) i = 0.5% semanal compuesto diariamente, (d) i = 16% efectivo anual compuesto mensualmente. Solución: Las tasas de interés son respectivamente: (a) Efectiva. (b) Efectiva. (c) Nominal. (d) Nominal.
3.5 Para los niveles de interés del problema 3.4 identifique el periodo de Capitalización. Solución: Los periodos de capitalización son respectivamente: (e) Mensual. (f) Trimestral. (g) Diario. (h) Mensual.
3.6 Complete la siguiente información: una tasa de interés del 4% mensual es una tasa de interés efectivo compuesto mensualmente. Una tasa de interés nominal compuesto semanalmente y una tasa de interés nominal compuesto diariamente.
3.7
Si el interés se capitaliza diaria mente. ¿Cuál es el valor de m en la ecuación (3.3) si se desea encontrar una tasa de interés efectiva (a) anual, (b)semanal, (c) diaria.? n
j i 1 1 n ? n
a) i Anual
b) i sem c) I diario El interés se capitaliza diariamente a) Si J (Anual/Diario) n=365 días b) Si J (Sema/Diario) n=30 días c) Si J (Diario/Diario) n= 1 día
3.8
¿Cuáles son las tasas de intereses nominales y efectivos anuales para una tasa de interés de 0.015% diario?
3.9
¿Qué tasa de interés efectiva mensual es equivalente a una tasa de interés semanal de 0.3%? Suponga que el mes es de 4 semanas.
3.10 ¿Qué tasa nominal mensual es equivalente a un 20% nominal anual compuesto diariamente? Suponga que hay 30.42 dí as en el mes y 365 días en el año.
3.11
¿Qué tasa de interés efectiva trimestral es equivalente a un 12% nominal anual compuesto mensualmente?
3.12
3.13
¿Qué tasa de interés nominal mensual es equivalente a un 14% efectivo anual compuesto (a) mensualmente (b) diariamente? Suponga que se trata de un mes de 30.42 días y un año de 365.
¿Qué tasa de interés trimestral es equivalente a una tasa anual efectiva del 6% anual compuesto trimestralmente?
Datos itrimestral = ? j = 6% anual/trimestralmente Tasa anual efectiva n= 4 ;
Tasa de interés trimestral
RESP: Las tasas de interés trimestral e interés anual equivalentes son de 1.5%trimestral y 6.14%anual, respectivamente. 3.14
¿Qué tasa nominal por 3 años es equivalente a una tasa mensual del 1.5%?
Datos j = ? (por 3 años) imensual = 1.5% t = 3años Solución Si P = C$1 se tendrá: Por tanto: j = 18.02%
18%
RESP: La tasa nominal por 3 años equivalente a una tasa mensual del 1.5% es del 18.02% anual/mensual.
3.15
¿Qué tasa de interés es mejor: 20% anual compues to anualmente o 18% anual compuesto cada hora? Suponga que se trata de un año de 8760 horas.
Datos i = 20%anual j = 18%anual/hora
Solución
RESP: La elección de la mejor tasa de interés estará en función de la situación en la que se encuentre el elector, ya que si se tratase de una deuda evidentemente la tasa de interés más favorable sería la que corresponde a la menor tasa efectiva anual(19.72%); en cambio si el caso el depositar dinero en una cuenta de ahorros en dos bancos los cuales ofrecen las dos
tasas de interés planteadas, la mejor tasa de interés sería la que corresponde a la mayor tasa efectiva anual, lo mismo que ocurriría si se viese desde el punto de vista del acreedor. 3.16
Determine el valor del factor F/P durante 5 años si la tasa de in terés es 1% mensual compuesto diariamente. Suponga que se trata de un mes de 30 días.
Datos j = 1% mensual/diario P = C$1 t = 5años F=?
Solución El F/P = (1 + i) n es el factor de valor futuro o factor de interés compuesto y corresponde al valor futuro de un presente o principal igual a la unidad a interés compuesto en t períodos. En notación estándar: (F/P, i%, t) ; n= 30
; por tanto ; n = 12 : RESP
3.17
¿Qué tasa de interés nominal anual compuesto continuamente sería igual a 25% anual compuesto por semestre?
Datos j = 25% anual/semestre j anual/continuamente = ? n=2 Solución
: RESP
3.18
¿A qué frecuencia de capitalización se igualarían una tasa anual del 10.2% nominal y una tasa anual nominal del 10% compuesto continuamente ?
Prueba y Error
2 3
1.1046 1.1055
2.5 2.55
1.1053 1.1052
Respuesta: La frecuencia de capitaliza ción seria n = 2.5 veces por año
3.19 ¿Cuáles tasas nominales y efectivas mensuales son equivalentes a un 12 % anual compuesto continuamente? Datos J = 12 % anual / continuamente i efectiva del mes = ? J anual / mensual = ?
J iPP (1 ) n - 1 n n iPP e J - 1 i e 0.12 - 1 12.75 % anual J anual / mensual ? 1 12 J 12 (1 0.1275) - 1 12.06 % anual / mensual
i efectiva del mes ? 12.06 % i (mensual) 1.005 % mensual 12
3.20 ¿Cuál es la diferencia en el valor presente de $ 50000 dentro de ocho años si la tasa de interés es 13 % anual compuesto en forma semestral o continua? Datos P = $ 50000 J1 = 13 % anual / semestral J2 = 13 % anual / continuamente t = 8 años Para J1 13 % anual / semestral 2
0.13 i 1 - 1 13.42 % anual 2 F 50000 (1 0.1342) 8 $ 136926.39
Para J 2 = 13 % anual / continuamente
i e 0.13 - 1 13.88 % anual F 50000 (1 0.1388)8 $ 141432.65 Diferencia en el Valor Presente = $ 141432.65 - $ 136926.39 = $ 4506.26 3.21 Como una táctica para atraer depositantes, un banco ha ofrecido a los clientes tasas de interés que aumentan con el tamaño del depósito. Por ejemplo, de $ 1000 hasta $ 9999 la tasa de interés ofrecida es del 8 % anual. Por encima de $ 10000, la tasa es del 9 % anual compuesto continuamente. Dado que sólo cuenta con $ 9000 para depositar, una persona está pensando en obtener un préstamo de $ 1000 de un fondo de crédito cooperativo de manera que tendrá $ 10000 y será capaz de aprovechar la tasa de interés más alta. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual máxima que podría pagar sobre los $ 1000 prestados que ha ría que su plan de endeudarse fuera al menos tan atractivo como no hacerlo?
Datos Depósitos de $ 1000 hasta $ 9999 → i = 8 % anual > $ 10000 → i = 9 % anual / continuamente P1 = $ 9000 → i = 8 % anual P2 = $ 1000 P3 = $ 10000 → i = 9 % anual / continuamente Suponiendo t = 1 año F1 9000 (1 0.08) $ 9720
i e 0.09 - 1 9.42 % F3 10000 (1 0.0942) $ 10942 F3 - F1 $ 10942 - $ 9720 $ 1222 1000 (1 i) i
1222 1 22.2 % anual 1000
R/ La tasa de interés efectiva anual máxima que podría pagar la persona sobre los $ 1000 prestados es del 22.2 %. 3.22
Una persona está contemplando la posibilidad de obtener en pr éstamo $200000 para empezar un negocio. El fondo cooperativo de crédito A le ha ofrecido prestarle el dinero a una tasa de interés del 14% anual compuesto continuamente. El fondo de crédito B le ha ofrecido el dinero con la estipulación que lo reembolse me diante pagos mensuales de $5000 durante 5 años. ¿De cuál fondo de crédito deberá obtener el dinero en préstamo? Se supondrá que el plazo que le da A es de 5 años también.
CASO A Datos P = $200000 j = 14% anual/continuamente t = 5 años Solución
por tanto
CASO B Mensual da $5000, por tanto en 5 años dará $5000*12*5 = $300000
RESP: Si el plazo dado por ambos fondos es el mismo, le conviene obtener el préstamo del fondo B, ya que en éste cancelará el préstamo con una cantidad de dinero menor q ue como lo cancelaría mediante el préstamo del fondo A. 300000
