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FALSO

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CIERTO

Espacios de Hilbert Los espacios de Hilbert nos ayudarán a entender conceptos como: ● La descomposición de señales en combinaciones lineales de señales "base" (Fourier, Wavelets, Bancos de filtros,...) ● Mínimos cuadrados ● LMMSE (linear minimum squared error) estimation and filtering (Wiener filter)

Espacios de Hilbert Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con algunas propiedades adicionales. Un espacio vectorial es la generalización del reales.

, de n-tuplas

Un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V con 2 operaciones (note que los elementos de V son llamados vectores y los de F escalares) Los espacios vectoriales satisfacen los siguientes axiomas.

Espacio Vectorial Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

5) tenga la propiedad asociativa:

6) tenga elemento neutro 1: 2) tenga la propiedad asociativa, es decir

Que tenga la propiedad distributiva: 3) tenga elemento neutro , es decir 7) distributiva por la izquierda:

4) tenga elemento opuesto, es decir 8) distributiva por la derecha:

Espacios vectoriales Si el cuerpo K son los números reales se dice que es un campo vectorial real. Si el cuerpo K son los números complejos se dice que es un campo vectorial complejo. Existen otro tipo de espacios vectoriales sobre otros cuerpos K, por ejemplo en teoría de códigos se usan cuerpos finitos. Ejemplos de campos vectoriales:

● V = Fn con la suma y el produco usual de vectores y escalar. ● El conjunto de funciones de los enteros a F (i.e. el conjunto de todas la señales discretas con valores en F). (f+g)[k] = f[k]+g[k], (af)[k] = af[k] ● El conjunto de los polinomios. ● El conjunto de funciones definidas en un intervalo particular. ● El conjunto de variables aleatorias con valores en F. (X+Y)(w) = X(w)+Y(w), (aX)(w) = aX(w) nota: cuerpo es sinónimo de campo.

Campos Vectoriales Teorema 1. Solo existe un elemento neutro. 2. Solo existe un elemento inverso. 3. 0 v = v 0 = 0 4. (-a v) = a(-v) = -(av) Subespacio Es un subconjunto de un espacio vectorial V que a su vez es un espacio vectorial sobre el mismo campo F y con las mismas operaciones de V. Para probar si un subconjunto U es un subespacio solo debe probar que es cerrado bajo la adición y el producto por escalar. +ejemplos: ● La intersección de 2 espacios vectoriales es a su vez un espacio vectorial. ● La suma directa de dos espacios vectoriales es un espacio vectorial.

Subespacio Generado Combinación Lineal Dado un espacio vectorial V, diremos que un vector u es combinación lineal de los vectores de los vectores de S = {v1,v2,...,vn} si existen escalares ai, tal que: u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn Subespacio Generado Notaremos como span(S) el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de S. Dado un espacio vectorial V, y un subconjunto S, el span(S) es el subespacio vectorial de V más pequeño que contiene a S. Ejemplos: ● S está compuesto por 2 vectores cualquiera de R3

Independencia Lineal Un espacio vectorial V es llamado de dimensión finita si V = span(S), para algún conjunto finito S subconjunto de V. Diremos que un conjunto de vectores S={v1,v2,...,vn} es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de S, es decir: Si 0 = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

entonces

a1 = a2 = ... = an = 0

v1, v2 ,...,vn son linealmente dependientes

Bases Sean v1, v2 ,...,vn linealmente independientes, si v elemento de V se puede representar como combinación lineal de v1, v2 ,...,vn , esta representación es única. Una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F, es un subconjunto de V contable {v1, v2 ,...,vn} de vectores linealmente independientes, tal que V = span{v1, v2 ,...,vn}. Ejemplo: el conjunto B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} es una base de F3 Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base. Si existen dos bases diferentes B1, B2 para un espacio vectorial V, entonces el número de elementos de B1y B2 es el mismo. El número de elementos de cualquier base Bi de un espacio vectorial V es llamado dimensión de V.

Producto Interior y Norma Notación: el complejo conjugado de x es x-, también se usa esta notación para vectores en Cn y matrices sobre C. Si A es una matriz (real o compleja), entonces AH =A*= (AT)-. Y se llama Hermitiano. Un producto escalar es una aplicación : V x V -> F donde V es un espacio vectorial sobre F, que satisface: ● Linealidad ● Hermiticidad ● Definida Positiva si y solo si x=0.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

Ejemplos de producto interior

Espacio de Hilbert Algunas veces el producto interior no está bien definido. Así que se redefine el espacio vectorial haciendo uso de clases de equivalencia módulo cero en la norma. Un espacio vectorial V sobre el cuerpo F dotado de un producto interior y completo respecto a la norma se denomina espacio de Hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo. Ejemplos: ● Fn ● lF2(Z) las funciones de Z -> F (funciones discretas) con energía finita. ● LF2(Z) las funciones de R -> F (funciones continuas) cuadráticaintegrables, incluye también las definidas en un intervalo T. ● El conjunto de variables aleatorias con valores en F, con primer y segundo momentos finitos.

Bases Ortogonales y Ortonormales Dos vectores v,w en un espacio de Hilbert son ortogonales si = 0. || v + w ||2 = = + + + = || v ||2 + || w ||2 Ejemplo: Dos variables aleatorias X y Y son ortogonales si E[XY-]=0. En este caso tenemos: E[|X+Y|2] = E[|X+Y|2] + E[|Y|2] Sean v1, v2 ,...,vn ortogonales por parejas (i.e. = 0 para todo i != j), entonces v1, v2 ,...,vn son linealmente independientes. Un subconjunto B={v1, v2 ,...,vn} de un espacio de Hilbert es ortonormal si son ortogonales por parejas y además = 1 para todo i = j

Representación Ortonormal Si B={v1, v2 ,...,vn} es una base ortonormal de V, entonces todo vector u se puede representar como combinación lineal de elementos de la base, y los coeficientes ai de la combinación lineal son ai = . Por tanto todo vector u de V se puede expresar como: v = sum i( u) Ejemplo: Sea V = LC2 el espacio de Hilbert de todas las funciones complejas cuadráticamente integrables. Las funciones gk(x) = exp(inx) con n entero son una base ortonormal, entonces:

Si las bases no son ortogonales qué podemos hacer? Gram-Schmidt